第01讲 集合的概念（九大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念，系统梳理元素与集合的定义、元素的确定性互异性无序性特性，元素与集合的属于关系及常用数集符号，集合的列举法描述法图示法等核心知识点，构建从基础概念到应用的完整学习支架。 该资料通过丰富题型（含例题及变式题），结合具体实例（如判断能否构成集合、利用元素特性求参数）培养学生数学眼光中的抽象能力和数学思维中的推理意识，通过不同表示法训练数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第01讲 集合的概念 【人教A版】 模块二 集合的概念 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 集合的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解题思路】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【解答过程】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【解题思路】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【解答过程】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)我国现在的直辖市； (2)比较小的自然数的全体； (3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体； (4)比2小的质数． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)不能组成集合，因为标准不明确 (3)能组成集合，为有限集，其中有2个元素 (4)能组成集合，为空集 【解题思路】（1）根据集合的定义判断； （2）根据集合的定义判断； （3）根据集合的定义判断； （4）根据集合的定义判断． 【解答过程】（1）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集； （2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合； （3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和两个，能组成集合，是有限集； （4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集． 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解题思路】根据集合定义逐一判断即可. 【解答过程】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【解答过程】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【解答过程】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解题思路】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【解答过程】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C. 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【解题思路】利用集合元素的互异性讨论即可. 【解答过程】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的互异性对进行分类讨论即可. 【解答过程】当时，，违反集合互异性； 当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】利用集合元素的互异性可求解. 【解答过程】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则__________． 【答案】1 【解题思路】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【解答过程】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 模块三 元素与集合的关系 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列所给四个关系中：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】根据实数集、整数集、自然数集、有理数集的概念以及集合与元素的关系即可判断. 【解答过程】是实数，故①正确；不是整数，故②错误； 是自然数，故③正确；不是有理数，故④错误. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【解答过程】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【解答过程】1是自然数，故，故①正确； 不是正整数，故，故②正确； 是有理数，故，故③正确； 是实数，故，故④正确； 是无理数，故，故⑤错误. 所以正确的说法有①②③④共4个. 故选：D. 【变式4-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【解答过程】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据且，建立不等式求解即可. 【解答过程】因为集合，而且， 且，解得. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【解答过程】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 【变式5-2】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【答案】0 【解题思路】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【解答过程】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 【变式5-3】（25-26高一·全国·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【解题思路】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【解答过程】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 【题型6 集合中元素的个数问题】 【例6】（25-26高二上·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出，进而求出即可. 【解答过程】由题意有：，又，所以， 所以或或， 所以，所以中的元素个数为3个， 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【解答过程】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【解答过程】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 【变式6-3】（25-26高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【解题思路】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【解答过程】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或. 模块四 集合的表示法 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 用列举法表示集合】 【例7】（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的表示方法求解. 【解答过程】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，结合得的值即可求解. 【解答过程】由得，，即， 又，∴ 故 . 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【解答过程】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 【解答过程】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 【题型8 用描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【解答过程】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【解答过程】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【变式8-2】（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【解答过程】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【解答过程】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【解答过程】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【解题思路】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误. 【解答过程】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 【变式9-2】（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是可积数集，理由见解析； (2)； (3)或 【解题思路】（1）根据可积数集得定义判断； （2）由新定义可得，或，或，或，或，或，讨论求解； （3）由题意可得，，分，，讨论求解. 【解答过程】（1）不是可积数集，理由如下： 因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. （2）若为可积数集，则，或，或， 或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或， 解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. （3）若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去. 综上，所求实数的取值范围为或. 【变式9-3】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 【答案】(1)不是“完美集”， 是“完美集”； (2)； (3)“完美集” ． 【解题思路】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【解答过程】（1）（1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； （2）是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以 ； 即的取值范围是； （3）若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集” ． 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解题思路】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【解答过程】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 3．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解题思路】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【解答过程】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B. 4．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【解答过程】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 5．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】由进行求解. 【解答过程】由条件知，解得. 故选：B. 6．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【解答过程】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 7．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【解答过程】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【解答过程】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【解题思路】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【解答过程】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 10．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【解答过程】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 11．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 【答案】BCD 【解题思路】根据题意若，则，则；若，则，则，则；由此逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项：假设，则，又因为，则无意义，与题意矛盾，故A错误； 对于B选项：假设，则，则，则， 若中有3个元素，则，此时中所有元素之积，故B正确； 对于C选项：假设，则，则，则，则， 若中有4个元素，则，此时中所有元素之积，故C正确； 对于D选项：若由四个元素组成，则， 所有元素之和为3，即，化简得， 两边同时除以得， 所以或， 当时，， 当时，, 所以 所以，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合中只有一个元素，则实数的取值集合是____________. 【答案】 【解题思路】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【解答过程】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____________． 【答案】 【解题思路】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【解答过程】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为____________． 【答案】 【解题思路】分析集合中可能的元素组成，再求它们的积. 【解答过程】若，则，所以，所以. 因为方程，均无解，所以集合不可能只含有1个元素， 所以集合中含有元素的个数为3的倍数. 由，所以若集合中含有3的奇数倍个数的元素时，所有元素的积为； 当若集合中含有3的偶数倍个数的元素时，所有元素的积为. 综上可知，中所有元素之积的所有可能值为：. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·吉林·阶段检测）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可． 【解答过程】（1）利用列举法表示集合； （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合． 16．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 17．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【解答过程】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合， ， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【解答过程】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 19．（25-26高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”. 【答案】(1)集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由见解析； (2)证明见解析； (3)且 【解题思路】（1）根据“好集”还是“坏集”的定义，依次验证集合即可得到结论； （2）有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，根据指数函数单调性和“坏集”定义可得结论； （3）首先确定且为“超级好集”，再证明不可能存在其他元素即可. 【解答过程】（1）集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由如下： 对于集合，当时，，；集合是“坏集”； 对于集合，不妨令， 当时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”. （2）证明：假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，， ，，，，有限集合是“坏集”. （3）当且时，，，是“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其他元素. 由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素， 若，且为中大于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其他元素. 满足题意的“超级好集”且. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念 【人教A版】 模块二 集合的概念 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 集合的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式1-1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【变式1-2】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式1-3】（25-26高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)我国现在的直辖市； (2)比较小的自然数的全体； (3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体； (4)比2小的质数． 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-1】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【变式3-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为__________． 【变式3-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则__________． 模块三 元素与集合的关系 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列所给四个关系中：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【变式5-2】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【变式5-3】（25-26高一·全国·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【题型6 集合中元素的个数问题】 【例6】（25-26高二上·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【变式6-1】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式6-2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【变式6-3】（25-26高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 模块四 集合的表示法 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 用列举法表示集合】 【例7】（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【题型8 用描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【变式8-2】（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-1】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【变式9-2】（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【变式9-3】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 4．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 5．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 6．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 10．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 11．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 三、填空题 12．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合中只有一个元素，则实数的取值集合是____________. 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____________． 14．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为____________． 四、解答题 15．（25-26高一上·吉林·阶段检测）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 16．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 17．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 19．（25-26高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $