第2讲：一元二次函数、方程与不等式讲义【考点梳理+十大题型+高分演练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2讲：一元二次函数、方程与不等式 题型一：不等式的性质 2 题型二：基本不等式 2 题型三：由一元二次方程的解确定参数 3 题型四：解含有参数的一元二次不等式 3 题型五：一元二次方程根的分布问题 4 题型六：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 4 题型七：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 5 题型八：一元二次不等式在某个区间有解问题 5 题型九：一元二次不等式的实际应用问题 6 题型十：一元二次不等式的压轴综合问题 7 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； ①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 知识点三：一元二次方程与不等式 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 题型一：不等式的性质 【例1】．（26-27高一上·全国·期中）对于实数 、、、，下列说法正确的是（　　） A．若 >，则 B．若 >，>，则 > C．若 >，则 < D．若 >，>，则 > 【变式1】．（26-27高一上·天津滨海新区·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式2】．（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）下列命题中为真命题的是（　　） A． B． C．若 ，则 D．若 ，，则 ， 题型二：基本不等式 【例2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正实数，，满足，则下列正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）下列选项不正确的是（  　） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为2 C．若正实数，满足，则的最小值为8 D．若，则的最小值为2 【变式2】（26-27高一上·广东茂名·期中）下列结论正确的是（　　） A．已知，则 的最小值为 B．对任意， 的最小值为2 C．若正数 x，y 满足，则的最小值为3 D．若正数 x，y 满足，则的最大值为3 题型三：由一元二次方程的解确定参数 【例3】．（26-27高一上·全国·期中）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式1】．（26-27高一上·甘肃金昌·阶段检测）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A．或 B．. C．或 D． 题型四：解含有参数的一元二次不等式 【例4】．（26-27高一上·四川泸州·期中）解关于的不等式()． 【变式1】．（26-27高一上·全国·期中）解关于的不等式（为常数）． 【变式2】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）求下列的不等式的解集 (1)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集． 题型五：一元二次方程根的分布问题 【例5】．（26-27高一上·全国·期中）若方程 − 的两根都为正数，则实数 的取值范围是（　　） A． B．> C．> D．<−或 > 【变式1】．（26-27高一上·山东青岛·期中）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【变式2】．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 题型六：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 【例6】．（26-27高一上·全国·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B．< C． D．< 【变式1】．（25-26高一上·宁夏银川·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型七：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·北京·期中）设，则“”是“，恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型八：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例8】．（26-27高一上·甘肃兰州·期中）若对任意，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九：一元二次不等式的实际应用问题 【例9】．（25-26高一上·湖北·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 【变式1】．（25-26高一上·湖北荆州·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并入该工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：）成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：）之间的函数关系为（实数为常数）.记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S（单位：万元）. (1)试解释的实际意义，并写出S关于的函数关系； (2)该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值. (3)要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积（单位：）的取值范围. 题型十：一元二次不等式的压轴综合问题 【例10】．（26-27高一上·河南周口·期中）已知二次函数满足 (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若时，函数的值域为，求实数的取值. 【变式1】．（26-27高一上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)若在区间上的最小值为，求的值． 【变式2】．（26-27高一上·河南·期中）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若，函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（26-27高一上·甘肃·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·期中）不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D． 3．（26-27高一上·甘肃·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（26-27高一上·全国·期中）若方程 −的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·期中）若对任意实数 ，使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·全国·期中）已知方程 有两个不相等的负实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 7．（26-27高一上·全国·期中）若正实数 ，满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C．< D．> 8．（25-26高一上·四川乐山·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·上海·期中）已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A． B． C． D． 二、多选题 11．（26-27高一上·甘肃·期中）已知正实数，满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最小值是4 D．的最小值为 12．（25-26高一上·四川乐山·期中）下列选项中正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 D．若关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 13．（26-27高一上·四川达州·阶段检测）下列命题为真命题的有（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 14．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）“关于的一元二次方程的所有解均为负实数”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（26-27高一上·全国·期中）已知 −，，则 的取值范围是__． 16．（26-27高一上·山东烟台·期中）已知，，且，则的最小值为________． 17．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 18．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）已知，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值为________. 四、解答题 19．（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）求解下列问题： (1)已知正实数 ， 满足 ，求 的最小值； (2)已知 ，求 的最小值； (3)已知正数 ， 满足 ，求 的最小值． 20．（26-27高一上·江苏·期中）已知关于x的函数，其中a为实常数． (1)当时，解不等式． (2)当时，解关于x的不等式． (3)若不等式在区间内有解，求a的取值范围． 21．（26-27高一上·西藏拉萨·期中）国庆假期期间，拉萨某景区文创店销售"藏装彩韵"系列冰箱贴.已知该冰箱贴进价为每件40元，售价为每件元（）.市场调研发现：售价每比40元高出1元，每天将少售出2件；当售价为40元时，每天可售出200件. (1)若要求每天利润不低于1800元，求售价的取值范围； (2)若售价，求每天利润的最大值，并写出此时的售价； (3)国庆期间，景区管委会要求文创店每天从利润中拿出元（）用于捐赠.若要求存在售价，使得捐赠后每天利润最大值仍不低于1000元，求的最大值. 22．（26-27高一上·福建漳州·阶段检测）已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：一元二次函数、方程与不等式 题型一：不等式的性质 2 题型二：基本不等式 3 题型三：由一元二次方程的解确定参数 5 题型四：解含有参数的一元二次不等式 6 题型五：一元二次方程根的分布问题 8 题型六：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 9 题型七：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 10 题型八：一元二次不等式在某个区间有解问题 11 题型九：一元二次不等式的实际应用问题 13 题型十：一元二次不等式的压轴综合问题 16 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； ①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 知识点三：一元二次方程与不等式 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 题型一：不等式的性质 【例1】．（26-27高一上·全国·期中）对于实数 、、、，下列说法正确的是（　　） A．若 >，则 B．若 >，>，则 > C．若 >，则 < D．若 >，>，则 > 【答案】B 【详解】对于A，取 ，，，则 ，A错； 由不等式性质知 B正确； 对于C，取 >>，则 >>，C错； 对于 D，取 ，，，，则 ，，不满足 >，D错. 【变式1】．（26-27高一上·天津滨海新区·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【详解】选项A：举反例，设，，，，满足，，可，所以A为假命题； 选项B：举反例，设，，满足，可，所以B为假命题； 选项C：根据不等式性质推论2：如果，，那么.可知C为真命题. 选项D：举反例，若，，所以D为假命题. 【变式2】．（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）下列命题中为真命题的是（　　） A． B． C．若 ，则 D．若 ，，则 ， 【答案】CD 【详解】A：取，，则，错误； B：取，，满足 但，错误； C：由，两边同乘 得；两边同乘 得， 所以，正确； D：由 得 ，而，所以，结合 得，正确． 题型二：基本不等式 【例2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正实数，，满足，则下列正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】对于A选项，根据基本不等式，可得，又，即，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故选项A错误； 对于B选项，由基本不等式可得，又，即， 当且仅当，即，时等号成立，故选项B正确；对于C选项，因为， 所以，即的最小值为， 当且仅当，即，时等号成立，故选项C错误； 对于D选项，由可得，所以， 由C选项，可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故选项D正确. 【变式1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）下列选项不正确的是（  　） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为2 C．若正实数，满足，则的最小值为8 D．若，则的最小值为2 【答案】ACD 【详解】对于A，显然当时，故A错误， 对于B，因为，所以均大于， 所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确， 对于C，，由题意得均大于， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误， 对于D，令，因为，所以，即， 原式转化为求函数在的最小值， ，当且仅当，即时等号成立， 但，即，所以取不到，故D错误. 【变式2】（26-27高一上·广东茂名·期中）下列结论正确的是（　　） A．已知，则 的最小值为 B．对任意， 的最小值为2 C．若正数 x，y 满足，则的最小值为3 D．若正数 x，y 满足，则的最大值为3 【答案】AC 【详解】令，，当且仅当，即时取等号，故A正确； 当时，，故B错误； 由得，则， 当且仅当时取等号，故C正确；由选项C可知，无上界，故D错误． 题型三：由一元二次方程的解确定参数 【例3】．（26-27高一上·全国·期中）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由解集知，且，是的两根. 由韦达定理：，， 解得，， 则等价于，解得. 【变式1】．（26-27高一上·甘肃金昌·阶段检测）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】因为不等式的解集为或， 则且方程的两根分别为和，由韦达定理可得，解得， 故不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为. 【变式2】．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A．或 B．. C．或 D． 【答案】B 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，， 解得，， 将、代入不等式，得 ， 因为，得 ，即 ， 因式分解得，所以， 故不等式的解集为. 题型四：解含有参数的一元二次不等式 【例4】．（26-27高一上·四川泸州·期中）解关于的不等式()． 【详解】解：由已知得， ①当时，由，得． ②当时，不等式可化为， 解得或， ③当时，不等式可化为 若，即，则； 若，即，则不等式的解集为空集； 若，即，则． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式1】．（26-27高一上·全国·期中）解关于的不等式（为常数）． 【详解】方程的判别式． 当，即或时，方程有两个不相等的实根， ，，且． 又二次函数的图像开口向上，所以不等式的解集为. 当，即或时，，原不等式化为， 所以解集为，即当时解集为，当时解集为． 当，即时，对任意恒成立，解集为． 综上，当或时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式2】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）求下列的不等式的解集 (1)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以二次函数的开口向下，一元二次方程的两个根为， 所以，即.将代入不等式，得， 因为，所以不等式化为，，解得. 因此不等式的解集为. （2）不等式化为， 因为，两边同时除以得， 对应方程的两根为，，分三类讨论： ①当时，即，不等式的解集为或； ②当时，即，不等式的解集为； ③当时，即，不等式的解集为或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或. 题型五：一元二次方程根的分布问题 【例5】．（26-27高一上·全国·期中）若方程 − 的两根都为正数，则实数 的取值范围是（　　） A． B．> C．> D．<−或 > 【答案】A 【详解】方程的两根都为正数,需同时满足,,. 由根与系数的关系得,. 由恒成立,又,得. 又,解得或. 与取交集,得. 【变式1】．（26-27高一上·山东青岛·期中）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【详解】对方程，分情况讨论： ①若，方程化为，有实数根，与“没有实数根”矛盾，故； ②若，方程为一元二次方程，没有实数根，则判别式： 化简得：，解得 此时考虑方程， 因为，所以可能为零（当时），也可能不为零， 当时，方程化为：，有且仅有 个实数根； 当且时，方程为一元二次方程， 判别式： 因为，所以，故，方程有两个不相等的实数根； 综上，方程的实数根个数为1或2． 【变式2】．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 题型六：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 【例6】．（26-27高一上·全国·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B．< C． D．< 【答案】A 【详解】当时，恒成立，符合题意； 当时，要使不等式对任意实数恒成立， 即要满足判别式，解得， 因为，所以； 当时，二次函数开口向下， 所以不等式不可能对任意实数恒成立，不满足题意. 综上所述，的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一上·宁夏银川·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使对一切实数恒成立， 则对应的二次函数图象开口向下，且与轴无交点，因此：， ， 解得， 结合，可得的取值范围为. 【变式2】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 题型七：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·北京·期中）设，则“”是“，恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，恒成立， 当时，则，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：，即“，恒成立”等价于“”， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“，恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】．（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则 ，， 而，当且仅当 即 时取等号， 由题意，在上恒成立，故 <. 【变式2】．（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，求右侧函数在区间上的最大值. 【详解】，即  ，， 令 ，在上单调递减，最大值 ，故 . 题型八：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例8】．（26-27高一上·甘肃兰州·期中）若对任意，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分离参数得对 恒成立，转化为求右侧函数的最小值． 【解答】由 得 对任意 恒成立． 因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ， 所以 ，即 ． 【变式1】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 题型九：一元二次不等式的实际应用问题 【例9】．（25-26高一上·湖北·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得 (3) 【详解】（1）当时，；   当时，，   所以； （2）若，即， 当时，万元；   若时，， 当且仅当时，即时，万元，   因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. （3）当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.   当时，由，即， 解方程，得两根为，   由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. 【变式1】．（25-26高一上·湖北荆州·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)16 (2). 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米， 因为两块绿草坪的面积均为400平方米，所以， 因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则，即， 解得，所以草坪宽的最大值为16米； （2）设整个绿化面积为S平方米， 由题意可得，，当且仅当时取等号， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 【变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并入该工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：）成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：）之间的函数关系为（实数为常数）.记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S（单位：万元）. (1)试解释的实际意义，并写出S关于的函数关系； (2)该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值. (3)要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积（单位：）的取值范围. 【答案】(1)为未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费；， (2)该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元 (3) 【详解】（1）的实际意义是修建这种沼气发电池的容积为时的用电费用， 即未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费. 由题意可得：，则， 所以该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为，. （2）由（1）可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元. （3）为使S不超过114万元，即， 整理得，即，解得， 且，可得， 所以的取值范围是. 题型十：一元二次不等式的压轴综合问题 【例10】．（26-27高一上·河南周口·期中）已知二次函数满足 (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若时，函数的值域为，求实数的取值. 【详解】（1）等价于 ，整理得，即. 解得或. 故不等式的解集为. （2） 在上，恒成立. 因为，所以. 当时，恒成立，. 当时，分离参数得. 令，则，. 所以 ， 当且仅当，即（）时，等号成立. 要使小于等于该式恒成立，需. 综上，实数的取值范围为. （3） . 该函数开口向上，对称轴为，最小值为. 因为值域为，且最小值为，所以对称轴必须包含在区间内， 即，所以. 又区间的最大值为 2，对于开口向上的二次函数，在闭区间上的最大值必在距离对称轴较远的端点取得. 即. 若，区间为，单调递减，值域为，符合题意. 若，区间为，单调递增，值域为，符合题意. 若，要使最大值为，则必有或. 由，得解得或（均不在内，舍去）. 由，得，解得或（均不在内，舍去）. 所以使得值域为的只能取端点值，即或. 【变式1】．（26-27高一上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)若在区间上的最小值为，求的值． 【详解】（1）当时，，解得，解集为． （2），解得，取值范围是． （3），图象开口向上，对称轴为． ① 当时，在上单调递增，最小值为， 解得，不满足，舍去； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，解得，取； ③ 当时，在上单调递减，最小值为， 解得，不满足，舍去． 综上所述，． 【变式2】．（26-27高一上·河南·期中）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若，函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围． 【详解】（1）不等式的解集为可转化为的解为，， 则由韦达定理可得，，则. （2），则，故， 则在上恒成立，要满足， ，解得， 所以实数的取值范围为. （3）当，则，对称轴为， 若区间在对称轴的右侧，则，此时在区间上单调递增，则， 所以和是方程，即的两个不相等的实数根， 故，解得， 令，对称轴为， 则，解得， 所以； 若区间在对称轴的左侧，则，此时在区间上单调递减， 则， 两式相减得， 整理可得， 又因为，所以，则，将其代入可得， ，即， 因为，所以，将其代入可得， ，即， 故和是方程的两个不相等的实数根， 则，解得， 令，对称轴为，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 一、单选题 1．（26-27高一上·甘肃·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的解集为，可知 ，且，所以，代入：，得， 因为，所以，原不等式等价于，解得：，因此解集为. 2．（26-27高一上·全国·期中）不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由可得，等价于，解得， 故不等式的解集为. 3．（26-27高一上·甘肃·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于选项A，， ，，A错误；     对于选项B，，，，B错误；     对于选项C，，，根据不等式性质可知， ，即，C正确； 对于选项D，，，，D错误. 4．（26-27高一上·全国·期中）若方程 −的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ， 则函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为. 由方程 −的两根都大于， 得函数的零点大于. 所以，解得，所以. 所以实数的取值范围是. 5．（26-27高一上·全国·期中）若对任意实数 ，使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于任意实数，使不等式成立，等价于的最小值大于， ，因为，对任意使得成立， 因为，故． 6．（26-27高一上·全国·期中）已知方程 有两个不相等的负实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】两根不相等负根：判别式大于，两根和小于，两根积大于. 设两根为 、，需 ，，,得 . 7．（26-27高一上·全国·期中）若正实数 ，满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C．< D．> 【答案】A 【详解】由得,于是. 因为,,所以,. 由基本不等式得,当且仅当,即时取等号. 结合解得,,说明等号可以取到. 于是的最小值为,不等式恒成立等价于. 8．（25-26高一上·四川乐山·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知函数定义域为， ，故是上的奇函数， 又函数均为定义在上的减函数，故是上的减函数， 不等式移项得：， 由奇函数性质得：，即， 又是上的减函数，故，整理得：， 因式分解得：，故的取值范围是. 9．（26-27高一上·上海·期中）已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 10．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知且，对前两项通分化简， 因此原不等式等价于， 令，由基本不等式得，当且仅当时取等号，故， 原问题转化为对所有，不等式恒成立， 将不等式变形为，因为，所以， 要使不等式恒成立，只需大于等于右侧函数在上的最大值， 而是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此当时，取得最大值，故. 二、多选题 11．（26-27高一上·甘肃·期中）已知正实数，满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最小值是4 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A选项，因为且，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B选项，因为且，所以， 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 因为，等号无法取到，所以 （即2不是最小值），故B错误； 对于C选项，由基本不等式可得：， 当且仅当，即时取等号， 又因为，且，由基本不等式可得：， 当且仅当 时取等号， 所以，所以， 因为两次使用基本不等式取等号的条件均为，条件一致， 所以最小值可以取到8，因此的最小值是8，故C错误； 对于D选项，， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故的最小值为，故D正确. 12．（25-26高一上·四川乐山·期中）下列选项中正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 D．若关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 【答案】ABD 【详解】对于A，不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为，故A正确. 对于B，因为不等式是一元二次不等式，所以， 当时，二次函数开口向上， 所以不等式不可能对一切实数x都成立； 当时，二次函数开口向下， 要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则判别式， 解得， 综上所述，的取值范围是，故正确. 对于C，不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，即 且和是方程的两个根， 由韦达定理得：，， 即，，代入不等式中得： ， 即，解得或， 所以关于x的不等式的解集为，故C错误. 对于D，因为方程是一元二次方程，所以， 一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是： 判别式且两根之积小于0， 即，解得， 由韦达定理得，解得， 所以有一个正根和一个负根的充要条件是， 所以是的充分不必要条件，故正确. 13．（26-27高一上·四川达州·阶段检测）下列命题为真命题的有（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据差的完全平方公式判断即可；对于B，根据特殊值法判断即可；对于C，根据不等式的性质判断即可；对于D，根据作差法判断即可. 【详解】对于A，由，得，即， 当且仅当时，等号成立，A正确. 对于B，当，，，时，满足，， 但，不满足，B错误. 对于C，如，则，C正确. 对于D，若，则，即. 又，所以，即，D正确. 14．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）“关于的一元二次方程的所有解均为负实数”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由关于的一元二次方程的所有解均为负实数，得解得， 结合选项可知：“关于的一元二次方程的所有解均为负实数”的充分不必要条件可以是或. 三、填空题 15．（26-27高一上·全国·期中）已知 −，，则 的取值范围是__． 【答案】 【详解】分别求 与 的范围，再同向相加. 由 −得 −；由 得 ； 同向相加得 −，取值范围为 . 16．（26-27高一上·山东烟台·期中）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】由，通分整理得 ， 则 ，即. 由，根据基本不等式， 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 17．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】当时，即当时，此时不等式为恒成立，符合题意； 当，即时，则有，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 18．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）已知，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由方程，解得或 因为方程有两个相等的实数根， 可得，即，其中， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题 19．（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）求解下列问题： (1)已知正实数 ， 满足 ，求 的最小值； (2)已知 ，求 的最小值； (3)已知正数 ， 满足 ，求 的最小值． 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （3）令 ，，则 ，， 由 得 ， ， 当且仅当 时取等号，结合可得，， 根据 ，，可得， ， 所以当， 时， 取最小值，最小值为 ． 20．（26-27高一上·江苏·期中）已知关于x的函数，其中a为实常数． (1)当时，解不等式． (2)当时，解关于x的不等式． (3)若不等式在区间内有解，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，， 不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为. （2）时，， 不等式等价于， 解不等式得， 解不等式， 对于方程，解得，， 当时， ， 不等式的解为或， 所以原不等式的解为或，即； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即； 当时， ， 不等式的解为， 又因为，所以原不等式的解为； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）由题意可知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 等价于在区间内有解， 当时，， 又因为，所以， 所以 在区间内无解； 当时，不等式为，无解； 当时，， ，所以取，不等式成立， 即此时在区间内有解； 当时，，， 所以，所以 在区间内无解. 综上所述，符合题意的a的取值范围为. 21．（26-27高一上·西藏拉萨·期中）国庆假期期间，拉萨某景区文创店销售"藏装彩韵"系列冰箱贴.已知该冰箱贴进价为每件40元，售价为每件元（）.市场调研发现：售价每比40元高出1元，每天将少售出2件；当售价为40元时，每天可售出200件. (1)若要求每天利润不低于1800元，求售价的取值范围； (2)若售价，求每天利润的最大值，并写出此时的售价； (3)国庆期间，景区管委会要求文创店每天从利润中拿出元（）用于捐赠.若要求存在售价，使得捐赠后每天利润最大值仍不低于1000元，求的最大值. 【详解】（1） 设每天利润为元，可得， 令，整理得， 解得， 故的取值范围为； （2）由（1）将利润函数整理为， 可得当时，每天利润取最大值5000元； （3）捐赠后每天利润为，要满足捐赠后利润的最大值不低于1000元， 需满足利润最大值减去捐赠额不低于1000， 由（2）可得：， 解得，即的最大值为4000. 22．（26-27高一上·福建漳州·阶段检测）已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【详解】（1）由得，即， 因为不等式的解集为，所以，解得. （2）由（1）不等式即，整理得， 若，则对应二次函数开口向上，，解得或； 若，则不等式变为，解得； 若，则对应二次函数开口向下，，解得； 若，则不等式即，无解； 若，则对应二次函数开口向下，，解得. 综上，当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）当时，，不满足对任意，恒成立； 当时，若对任意，恒成立，则，即， 所以，令，则， 则，因为， 所以，所以当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $