期中复习讲义02一元二次函数、方程和不等式（7大考点专练）2026-2027学年高一上学期数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

期中复习讲义02一元二次函数、方程和不等式（7大考点专练） 【考点一】 作差法比较大小 【考点五】 “三个二次”关系（根与系数） 【考点二】 不等式性质的真假判断 【考点六】 恒成立与能成立问题 【考点三】 基本不等式求最值 【考点七】 实际应用（面积最值） 【考点四】 含参一元二次不等式的解法 考查角度 常见题型 考查层次 不等式性质与作差法 选择、填空 基础 基本不等式求最值 选择、填空 基础—培优 一元二次不等式（含参） 选择、填空、解答 基础—培优 恒成立与能成立问题 选择、填空、解答 培优—压轴 实际应用（面积、用料、利润） 解答 培优 考点一　不等式性质与作差法 作差法：要比较两个代数式的大小，作差后再与 0 比较。 的关系即得结论。 ；； 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立。 不等式的基本性质（设 a、b、c、d 为实数）： 性质 内容 对称性 传递性 加法法则 同向相加 乘法法则 同向正乘 幂运算 开方 易错提醒：运用可乘性时务必注意 符号；同向相加要求两不等式同向，同向正乘还要求两侧均正数；开方运算要求两侧均为正数。 考点二　基本不等式及其应用 基本不等式：若 ，则 ，当且仅当 时等号成立。 常用变形：；；。 利用基本不等式求最值须满足“一正、二定、三相等”：一正——各项均为正数；二定——和为定值（积有最大值）或积为定值（和有最小值）；三相等——等号能取到。 常用结论：当 时，；当 时， 考点三　一元二次不等式的解法 一元二次不等式的一般形式： 或 判别式： 求根公式：。 韦达定理：， 解一元二次不等式的一般步骤（设 a＞0）：化正（二次项系数化为正）→ 求根（求对应方程 ax²＋bx＋c＝0 的根）→ 画图（画 y＝ax²＋bx＋c 的开口向上的草图）→ 写解集（取图象在 x 轴上、下方对应的 x 的范围）。 考点四　“三个二次”的关系 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点、一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根、一元二次不等式 ax²＋bx＋c＞0（＜0）的解集三者一一对应，是“三个二次”的核心。下表以 a＞0 为例： 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2 (x1 < x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 考点五　含参一元二次不等式的分类讨论 解含参数的一元二次不等式时，通常按以下次序分类讨论：① 二次项系数 a 是否为零（a＝0 退化为一次不等式）；② 判别式 Δ 的符号（决定方程有无根、有几个根）；③ 两根的大小关系（决定解集的区间顺序）。分类要做到“不重不漏”，并把各种情况的解集分别写出。 考点六　恒成立与能成立问题 判别式法：对 ， 恒成立 ； 恒成立 分离参数法：若 对 恒成立，则 ；若 恒成立，则 考点七　一元二次不等式的实际应用 实际应用问题（围栏面积、用料最省、利润最大等）一般步骤为：设变量 → 建立目标函数关系式（常转化为一元二次函数或基本不等式最值问题）→ 求最值并作答。注意变量要符合实际意义（如长为正、宽度限制等），并检验最值能否取到。 【考点一】作差法比较大小 1．（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）（1）证明：，时，. （2）已知，，求，，的范围. 3．（24-25高一上·河北邯郸·期中）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【考点二】不等式性质的真假判断 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 6．（25-26高一上·甘肃武威·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高一上·广西钦州·期中）下列不等式成立的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高一上·安徽合肥·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·河南南阳·期中）（多选）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 13．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【考点三】基本不等式求最值 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为. 18．（26-27高一上·广东惠州·期中）（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 20．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是______，的最小值是______. 21．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 22．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 23．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 24．（26-27高一上·河北保定·期中）（1）已知，且，求的最大值； （2）已知求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值. 【考点四】含参一元二次不等式的解法 25．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 27．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·浙江·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 31．（25-26高一上·云南曲靖·期中）（多选）若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·贵州遵义·期中）（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 33．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 34．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为_________. 35．（25-26高一上·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 36．（26-27高一上·山东青岛·期中）已知不等式． (1)若当时不等式成立，求实数的取值范围； (2)解这个关于的不等式． 【考点五】“三个二次”关系（根与系数） 37．（26-27高一上·山东青岛·期中）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 38．（25-26高一上·广西玉林·期中），，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（26-27高一上·云南昆明·期中）（多选）已知关于的不等式解集为，则下列结论正确的有（     ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为或 40．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 41．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)已知，，若，求关于的不等式的解集． 42．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知二次函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围． 43．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 44．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，实数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【考点六】恒成立与能成立问题 45．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·山东临沂·期中）（多选）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·黑龙江·期中）（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 49．（26-27高一上·广东惠州·期中）若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为______. 50．（25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 51．（26-27高一上·河北衡水·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围. 52．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 53．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 54．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 55．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【考点七】实际应用（面积最值） 56．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 57．（25-26高一上·山东济宁·期中）现有一面足够长度的墙，用一段长为30米的篱笆以墙为一边围成矩形菜园，则当菜园面积最大时，这个矩形的长为（）米 A．112.5 B．15 C．10 D．5 58．（25-26高一上·山西大同·期中）做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高一上·黑龙江·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（    ）． A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．与物品价格有关 60．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，甲每一小时以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑．其中，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 61．（25-26高一上·云南曲靖·期中）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 62．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 63．（25-26高一上·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 64．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 65．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 66．（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 67．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 68．（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 69．（25-26高一上·广东深圳·期中）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 70．（25-26高一上·广东汕头·期中）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (2)设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义02一元二次函数、方程和不等式（7大考点专练） 【考点一】 作差法比较大小 【考点五】 “三个二次”关系（根与系数） 【考点二】 不等式性质的真假判断 【考点六】 恒成立与能成立问题 【考点三】 基本不等式求最值 【考点七】 实际应用（面积最值） 【考点四】 含参一元二次不等式的解法 考查角度 常见题型 考查层次 不等式性质与作差法 选择、填空 基础 基本不等式求最值 选择、填空 基础—培优 一元二次不等式（含参） 选择、填空、解答 基础—培优 恒成立与能成立问题 选择、填空、解答 培优—压轴 实际应用（面积、用料、利润） 解答 培优 考点一　不等式性质与作差法 作差法：要比较两个代数式的大小，作差后再与 0 比较。 的关系即得结论。 ；； 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立。 不等式的基本性质（设 a、b、c、d 为实数）： 性质 内容 对称性 传递性 加法法则 同向相加 乘法法则 同向正乘 幂运算 开方 易错提醒：运用可乘性时务必注意 符号；同向相加要求两不等式同向，同向正乘还要求两侧均正数；开方运算要求两侧均为正数。 考点二　基本不等式及其应用 基本不等式：若 ，则 ，当且仅当 时等号成立。 常用变形：；；。 利用基本不等式求最值须满足“一正、二定、三相等”：一正——各项均为正数；二定——和为定值（积有最大值）或积为定值（和有最小值）；三相等——等号能取到。 常用结论：当 时，；当 时， 考点三　一元二次不等式的解法 一元二次不等式的一般形式： 或 判别式： 求根公式：。 韦达定理：， 解一元二次不等式的一般步骤（设 a＞0）：化正（二次项系数化为正）→ 求根（求对应方程 ax²＋bx＋c＝0 的根）→ 画图（画 y＝ax²＋bx＋c 的开口向上的草图）→ 写解集（取图象在 x 轴上、下方对应的 x 的范围）。 考点四　“三个二次”的关系 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点、一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根、一元二次不等式 ax²＋bx＋c＞0（＜0）的解集三者一一对应，是“三个二次”的核心。下表以 a＞0 为例： 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2 (x1 < x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 考点五　含参一元二次不等式的分类讨论 解含参数的一元二次不等式时，通常按以下次序分类讨论：① 二次项系数 a 是否为零（a＝0 退化为一次不等式）；② 判别式 Δ 的符号（决定方程有无根、有几个根）；③ 两根的大小关系（决定解集的区间顺序）。分类要做到“不重不漏”，并把各种情况的解集分别写出。 考点六　恒成立与能成立问题 判别式法：对 ， 恒成立 ； 恒成立 分离参数法：若 对 恒成立，则 ；若 恒成立，则 考点七　一元二次不等式的实际应用 实际应用问题（围栏面积、用料最省、利润最大等）一般步骤为：设变量 → 建立目标函数关系式（常转化为一元二次函数或基本不等式最值问题）→ 求最值并作答。注意变量要符合实际意义（如长为正、宽度限制等），并检验最值能否取到。 【考点一】作差法比较大小 1．（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【详解】(1)不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. (2)由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）（1）证明：，时，. （2）已知，，求，，的范围. 【详解】（1）， 因为，，所以， 所以，所以 （2）因为，， 所以，所以 又，所以， 因为，所以， 根据同向同正可乘性有：，所以. 3．（24-25高一上·河北邯郸·期中）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【详解】（1）令，，，即， 则有解得．     又，，所以，，     所以，即．         （2）．     因为，，所以，．         当时，，即；     当时，，即．     综上所述，当时，；当时，． 【考点二】不等式性质的真假判断 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 6．（25-26高一上·甘肃武威·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，取，此时，故C错误； 对于D, 若，则，所以，故D正确， 故选：D 7．（25-26高一上·广西钦州·期中）下列不等式成立的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，若，令，则，故B错误， 对于C，令，则，故C错误； 对于D，若，，则， 所以， 即，故D正确. 故选：D. 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对于A，若，则.故A错误. 对于B，由，知，所以.故B正确. 对于C，若，则，则； 若，则，则； 若，则，则.故C错误. 对于D，，所以.故D错误. 故选：B. 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】A：由，，则成立，对， B：由，则，对， C：若，则，所以，对， D：由，则，错. 故选：ABC 11．（25-26高一上·安徽合肥·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，，故选项C错误； ， ，，，， ，，故选项D正确. 故选：AD. 12．（25-26高一上·河南南阳·期中）（多选）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 13．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【详解】因为，所以，所以，所以，即，故A正确； 取，可得，故B错误； 因为，所以，又，所以，故C正确； 取，可得，满足，但，故D错误. 故选：AC. 【考点三】基本不等式求最值 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 16．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当且仅当等号成立. 故选：A. 17．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为. 【答案】D 【详解】对于A：由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由题可知，故，则. 当时，二次函数取得最小值，故B正确； 对于C：， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D错误. 故选：D. 18．（26-27高一上·广东惠州·期中）（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】BC 【详解】对于A选项：所以， 当且仅当，即，时取得，与，相符，即的最大值为，故A错； 对于B选项：， 当且仅当，即，时取得，与，相符，故B对； 对于C选项：， 当且仅当即，时取得，与，相符，故C对； 对于D选项：，又因为，可得， 是开口向下的二次函数，在时取最大值，但与不符，因此，故D错. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 20．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是______，的最小值是______. 【答案】 2 【详解】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 21．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. （2）因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 22．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 23．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 【答案】（1）4；（2）4；（3）. 【详解】（1）由题设，当且仅当时取等号，故的最小值为4； （2）由，， 当且仅当时取等号，则的最小值为4； （3）当时，,当，则， 当且仅当时取等号，则的最大值为. 24．（26-27高一上·河北保定·期中）（1）已知，且，求的最大值； （2）已知求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）因为，， 所以，即， 所以，即， 当且仅当，即，时，等号成立. 故的最大值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故函数的最大值为. （3）因为，所以， 所以， 当且仅当，时，等号成立. 故函数的最小值为. 【考点四】含参一元二次不等式的解法 25．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 由韦达定理得，即. 所以不等式可化为即， ，则， 所以不等式的解集为. 故选：A 26．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 27．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于关于的不等式，可得， 若不等式恰有三个整数解，即为2，3，4， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 28．（25-26高一上·浙江·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为. 故选：C. 29．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 30．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 【答案】BCD 【详解】对于A：因为不等式的解集为， 所以对应函数开口向上，所以，A错误； 对于B：由已知可知的两根为， 由韦达定理可得，所以，B正确； 对于C：因为不等式的解集为， 所以的解集为， 即的解集为，C正确； 对于D：由得， 所以， 当时，取得最大值，D正确； 故选：BCD. 31．（25-26高一上·云南曲靖·期中）（多选）若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，对应方程的根分别为和， 当，即时，不等式的解集为， 由题意可知，得， 当时，即，不等式的解集为 ，在区间上不存在整数解，故不成立， 综上可知，满足条件的的取值范围是， 选项中满足条件的是和. 故选：BC 32．（25-26高一上·贵州遵义·期中）（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【详解】对于A，由题可知二次函数开口向上则，且对应方程的两根为 、， 代入不等式对应方程可得：，A选项正确； 对于B，解不等式 ，代入 ，： ，两边除以 （负数）需变号： ，B选项正确； 对于C，解不等式 ，代入 ，： 两边除以 可得： 解方程 ： 不等式 的解集为：或，C选项错误； 解不等式 ，代入 ，： 可得：，两边除以 ， ， 解集为：或，D选项错误. 故选：AB 33．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 【答案】 【详解】由得，解得， 由得，解得， 当是的充分不必要条件时，可得是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值集合是. 故答案为：. 34．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为_________. 【答案】 【详解】因为不等式的解集为，其中， 故， 故不等式可化为， 故，而，故， 故不等式的解为，即解集为， 故答案为：. 35．（25-26高一上·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】，即， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 36．（26-27高一上·山东青岛·期中）已知不等式． (1)若当时不等式成立，求实数的取值范围； (2)解这个关于的不等式． 【详解】（1）依题意，当时，， 整理得， 解得或， 所以实数的取值范围是. （2）当时，不等式化为，原不等式的解集为； 当时，原不等式可化为. 当时，原不等式同解于， 解得或，原不等式的解集为或； 当时，原不等式同解于， 解得，原不等式的解集为； 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. 【考点五】“三个二次”关系（根与系数） 37．（26-27高一上·山东青岛·期中）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【详解】对方程，分情况讨论： ①若，方程化为，有实数根，与“没有实数根”矛盾，故； ②若，方程为一元二次方程，没有实数根，则判别式： 化简得：，解得 此时考虑方程， 因为，所以可能为零（当时），也可能不为零， 当时，方程化为：，有且仅有 个实数根； 当且时，方程为一元二次方程， 判别式： 因为，所以，故，方程有两个不相等的实数根； 综上，方程的实数根个数为1或2． 38．（25-26高一上·广西玉林·期中），，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 39．（26-27高一上·云南昆明·期中）（多选）已知关于的不等式解集为，则下列结论正确的有（     ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为或 【答案】ABD 【详解】对于A，由已知可得和 是方程 的两个实根，且，故A正确； 对于B，，即，所以，故B正确； 对于C，，即，所以，故C错误； 对于D，，代入不等式 可得， 结合，整理得，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 40．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 41．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)已知，，若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)当时，的解集为；当时，的解集为 【详解】（1）由题意可知方程有两个解分别为，，且， 即，则，代入，得， 又，所以， 解得或， 故所求不等式的解集为或. （2）依题意，, 的函数图象的对称轴为直线， 已知，则； ①若，即时， 在上恒成立； ②若，即或， 令，解得，，其中， （a）若，则，故， 可知在上恒成立； （b）若，则，故， 可知，即的解集为， 综上所述，当时，的解集为；当时，的解集为. 42．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知二次函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时,解集为或;当时,解集为;当时,解集为或. (2) 【详解】（1）因为,所以方程的两根为,. 二次项系数为,故的解集为两根之外的实数,需按两根的大小分类讨论. 当,即时,解集为或. 当,即时,,不等式的解集为. 当,即时,解集为或. （2）即,其解集为两根之间的部分. 当时,两根满足,解集为,其中整数最大为. 若恰有3个整数,则这3个整数只能是,故,解得. 当时,解集为,不含整数,不合题意. 当时,两根满足,解集为,其中整数最小为. 若恰有3个整数,则这3个整数只能是,故,解得. 故的取值范围为. 43．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3， 根据韦达定理，得. 所以. （2）由（1）得，代入不等式， 得，即. 解得：，或. 所以不等式的解集为或. 44．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，实数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【详解】（1）由得对一切实数恒成立， 当时，显然恒成立； 当时，则要满足题意需，解之得； 综上实数的取值范围为：； （2）由得， 若，解不等式得； 若，解不等式得或； 若，解不等式得； 若，解不等式得； 若，解不等式得； 综上：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【考点六】恒成立与能成立问题 45．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 46．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 47．（25-26高一上·山东临沂·期中）（多选）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】， 当时，转化为，不等式对恒成立， 当时，对恒成立， 则有，解得， 综上可知，不等式对恒成立，的范围的集合为， “关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件 须是集合的真子集，故选项A和C正确. 故选：AC. 48．（25-26高一上·黑龙江·期中）（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，关于的不等式有解， 即在上有解，即， 令，可得，因为，则， 将代入，可得，其中， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为， 设满足题意的必要不充分条件构成集合，则满足，即为的真子集， 结合选项，可得AB项符合题意. 故选：AB. 49．（26-27高一上·广东惠州·期中）若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为， 不等式 可化为， 整理得， 所以对任意实数恒成立， ①若，即，不等式化为，即，不是对所有实数成立，舍去； ②若 ，则必须同时满足， 解不等式得， 由，即， 解不等式得或， 综上，实数的取值范围为. 50．（25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 51．（26-27高一上·河北衡水·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，. 因式分解得，解得. 所以原不等式的解集为. （2）要使恒成立，即恒成立. ①当时，，恒成立，符合题意； ②当时，需满足，解得， 即. ③当时，二次函数开口向下，不可能恒大于，不合题意. 综上，实数的取值范围是. 52．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 53．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 【详解】（1）：存在实数，使成立， 则， 解得或 所以实数的取值范围为. （2）方法一：任意实数，使恒成立，. 因为时，， 则， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 方法二：，， 因为时，， 则即， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 54．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 55．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得； （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 【考点七】实际应用（面积最值） 56．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 57．（25-26高一上·山东济宁·期中）现有一面足够长度的墙，用一段长为30米的篱笆以墙为一边围成矩形菜园，则当菜园面积最大时，这个矩形的长为（）米 A．112.5 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【详解】设矩形菜园平行于墙的一边的长为米，与之相邻的边的长为米，菜园的面积为平方米， 则， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，取得最大面积112.5， 所以当矩形菜园的长为15米，宽为7.5米时，菜园的面积最大，最大面积是112.5平方米． 故选：B 58．（25-26高一上·山西大同·期中）做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设底面的长和宽分别为，（，）， 因为体积为，高为，所以底面积为，即， 所用材料的面积， 当且仅当时取等号， 所以当底面的长和宽均为时，所用的材料表面积最少，其最小值为. 故选：B. 59．（25-26高一上·黑龙江·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（    ）． A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．与物品价格有关 【答案】D 【详解】设两次购买此种商品的单价分别为，， 方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y， 其中，，x，y均为正数， ∴方案一的平均单价为； 方案二的平均单价为， 当且仅当时取等号， 所以当相等时，两种方案一样， 当时，第二种购买方案更实惠． 综上，哪种购买方案更实惠与物品价格有关. 故选：D． 60．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，甲每一小时以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑．其中，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意知： 所以,, , 由基本不等式知， 所以, 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故B正确，A错误； ，则D正确； 又, , 取,此时，故C错误， 故选：BD 61．（25-26高一上·云南曲靖·期中）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 【答案】 【详解】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 62．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 63．（25-26高一上·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 64．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 65．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 66．（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 67．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 68．（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 69．（25-26高一上·广东深圳·期中）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【答案】(1)7.5万元 (2)该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益 【详解】（1）由题可知，，，故获得的收益为万元； （2）设该个体户向B商品投入万元，则向A商品投入万元，设总收益为. ①当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即当时，最大收益为万元； ②当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取到最大值，即当时，最大收益为10万元. 因为，故该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益. 70．（25-26高一上·广东汕头·期中）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (2)设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 【详解】(1)采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量依次为， 则两次平均价格为， 又，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济. （2）由（1）知，，，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $