精品解析：天津市南开中学2024-2025学年高一上学期期中阶段性质量监测数学试卷

南开中学 2024-2025 学年度第一学期阶段性质量监测高一数学试卷 考试时间: 100 分钟 本试卷分第 I 卷 （选择题） 和第II 卷 （非选择题） 两部分， 共 100 分. 考试结束后， 将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后， 用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑. 2. 本卷共 10 题， 每题 4 分， 共 40 分. 一、选择题 （在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2. 本卷共 10 题， 共 60 分. 二、填空题 （本大题共 6 小题， 每小题 5 分， 共 30 分） 11. 幂函数在上是减函数，则的值为_____ 12. 若，则____ 13. 若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_____ 14. 的单调递增区间为_____. 15. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________. 16. 已知 为定义在 上的奇函数 当 时， 且对任意 ， 恒有 ，则实数 的取值范围为_____ 三、解答题 （本大题共 4 小题， 共 30 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.） 17. 解下列关于 的不等式: （1）: （2） 18. 解关于的不等式：. 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数a的值； （2）判断的单调性，并证明你的判断； （3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由. 20. 设，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学 2024-2025 学年度第一学期阶段性质量监测高一数学试卷 考试时间: 100 分钟 本试卷分第 I 卷 （选择题） 和第II 卷 （非选择题） 两部分， 共 100 分. 考试结束后， 将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后， 用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑. 2. 本卷共 10 题， 每题 4 分， 共 40 分. 一、选择题 （在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集与补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 3. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断得用. 【详解】若，则，而当时，或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断ACD的正误，根据反例可判断B的正误. 【详解】对于AD，因为，故，且，故A成立，D错误 对于B，取，则，但，故B错误； 对于C，因为，故，故C错误； 故选：A 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数，构造函数并利用奇偶性求出函数值. 【详解】函数的定义域为R，令，定义域为， ，即函数是奇函数， 于是，，即， 所以. 故选：A 7. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性定义以及分段函数性质，限定得出对应不等式可得结果. 【详解】由任意，当时都有成立可知在定义域上单调递增； 因此当时，若为单调递增函数，可得，解得； 当时，若为单调递增函数，可得，解得； 又在定义域上单调递增，还需满足，解得； 综上可得，即可得的取值范围是. 故选：D 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法求解即可. 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又， 所以. 故选：D. 9. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先明确函数在上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分、和三种情况分析即可求解. 【详解】由题意可知，且在上单调递增，在上单调递减，如图： 当时，，故，此时； 当时，满足； 当时，，， 此时，则，所以， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 10. 已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意可得，， 故当或时，， 当时，， 故当或时，， 当时，， 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，， 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B. 第II卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2. 本卷共 10 题， 共 60 分. 二、填空题 （本大题共 6 小题， 每小题 5 分， 共 30 分） 11. 幂函数在上是减函数，则的值为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质求出，即可得解. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 若，则____ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 13. 若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解二次不等式即可. 【详解】由，故可得，则， 当且仅当，即时取得等号，故的最小值为； 由题可知，，也即，解得，即的范围为. 故答案为：. 14. 的单调递增区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质可知求得函数的单调递减区间即可. 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而来， 由复合函数单调性可知求出函数的单调递减区间即可， 利用二次函数性质可知，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 15. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 转化条件为直线与函数的图象有3个交点，数形结合即可得解. 【详解】方程有三个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有3个交点， 在直角坐标系中作出的图象,如图， 若要使直线与函数的图象有3个交点，数形结合可得，. 故答案为：. 16. 已知 为定义在 上的奇函数 当 时， 且对任意 ， 恒有 ，则实数 的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，再根据与函数图象平移分析即可. 【详解】由题意可得，当时，，当时，，结合 为定义在 上的奇函数可作出的图象，. 又的函数图图象为向左平移2个单位，则的图象在的上方， 则，解得. 故答案为： 三、解答题 （本大题共 4 小题， 共 30 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.） 17. 解下列关于 的不等式: （1）: （2） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）化分式不等式右边为0，再转化为一元二次不等式求解. （2）利用指数函数单调性求解不等式. 【小问1详解】 不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式， 则，解得或， 所以原不等式的解集为. 18. 解关于的不等式：. 【答案】当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】原不等式可化为，然后对的取值范围进行分类讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】解：原不等式可变形为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的解为，， （1）当时，解不等式，得； （2）当时，即当时，解不等式，得或； （3）当时，即当时，原不等式即为，即， 而不等式对任意的实数恒成立； （4）当时，即当时，解不等式，得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数a的值； （2）判断的单调性，并证明你的判断； （3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由. 【答案】（1）； （2）当时，， 则函数在上为增函数，在上为减函数， 证明：设， 则， ， ，， ， 即， 故在上为增函数； 同理可证在上为减函数； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义即可求得a的值； （2）用函数单调性的定义即可判断并证明； （3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可. 【详解】（1）函数为偶函数， ， 即， ； （2）略 （3）函数在上为增函数， 若存在实数，使得当时， 函数的值域为， 则满足，即， 即m，n是方程的两个不等的正根， 则满足， 解得， 故存在，使得结论成立. 【点睛】易错点点睛： ，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意. 20. 设，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）求解在上的值域，进而根据与的子集关系，求解的范围即可， （3）作出的图象，对分类讨论，求解的最值，即可根据分类讨论得解. 【小问1详解】 当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图）， 令，解得，故 由图可知：的值域为 【小问2详解】 函数， 由于，，所以，故， 当时，， 在单调递减，在单调递增， 且，故在取最大值，在取最小值 故， 当时，，在单调递增， 若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集， 故，解得，或者，解得 综上，所求的范围为. 【小问3详解】 令，解得或， 故的图象如下： ，即 当时，此时在单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去， 当时，，此时在上的最大值为，最小为 只需要，，解得， 当时，，此时在上的最大值为， 只需要，且且，无解， 综上可得： 【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $