3.1求椭圆的标准方程专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

求椭圆的标准方程专题训练 一、单选题 1．焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆长轴长、短轴长的定义，结合椭圆焦点的位置进行求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，中心在原点， 所以设该椭圆的标准方程为， 因为该椭圆长轴长为10，短轴长为8， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：D 2．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 3．经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 4．已知定点和，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，，而， 因此点的轨迹是以为上下焦点，长轴长的椭圆， 而半焦距，则短半轴， 所以动点的轨迹方程为. 故选：C 5．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 6．已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A 7．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 8．在平面直角坐标系中，已知圆 （圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 二、多选题 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆的定义确定长半轴长 ；再利用椭圆上一点到一个焦点的距离的最小值为 求出 ，由 求出 ．题目未说明长轴方向，需分别考虑长轴在 轴和 轴上的两种情况． 【详解】由 ，得 ，所以 ． 由题意，，所以 ，从而 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 因此符合条件的是 A、C． 10．已知椭圆C满足：椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为12，且椭圆C上的点到其焦点的距离的最大值为9，则椭圆C的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，得，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为或． 11．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 三、填空题 12．椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 13．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 14．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，运用待定系数法求解即得. 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 四、解答题 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)经过点，焦点坐标分别为，； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，椭圆焦点在轴上，， ，， ∴椭圆的标准方程为. （2）由题意可得，椭圆焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 代入点得，化简得，解得或（舍）， ∴，∴椭圆的标准方程为. （3）由题意可得，所求椭圆焦点在轴上，， 设所求椭圆方程为，则， 代入点可得，， 化简得，解得或（舍）， ∴椭圆的标准方程为. 16．过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． 求动点的轨迹的方程； 【答案】 【分析】利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $求椭圆的标准方程专题训练 一、单选题 1.焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为() 4品*首 c岩品1 D. +=1 2516 2.若椭圆的两个焦点分别为0，-2和0,2小且椭圆过点-3,5 则椭圆的方程是() 2’2 A.+公=1 B.x2 48 106-1 2 D. 3.经过点A(-2,V3)和B(1,23)的椭圆的标准方程为() +-1 64 4.已知定点A0,-2和B0,2,动点P满足PA)+PB=6,则动点P的轨迹方程为() A.+上1 +=1 95 D.3632 苔苦-1生 B:35(y4 c.+=1x≠±5 54 D.￥+上-1y≠±5) 45 6.已知圆C1:X+y2+6x+5=0和圆C2:x+y2-6x-91=0若动圆p与圆C,外切，同时与圆 C,内切，则该动圆圆心p的轨迹方程为() 试卷第1页（共3页） 荒芳1 +=1 c. D. 79 63 7.已知圆C的方程为x2+y2=8,直线1为圆C的切线，记A-2,0,B2,0两点到直线1的距离分别为 d,'d,动点P满足PA=d:PB=d则动点P的轨迹方程为（） A.x2+y=4 X+y=1 B.612 C.x2+y2=12 8.在平面直角坐标系x0y中，已知圆A:X-3P+y=100(圆心为A},点B-30:点p在圆A上运 动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则点Q的轨迹方程为() A+-1 167 B.2516 c.7*16 +y-1 D.625 二、多选题 9.已知椭圆C的两个焦点分别为F,'F,:点p为椭圆C上的动点，PF,+PF,=I6:且|PF,的最小 值为4，则椭圆C的标准方程可能是() X+=1 A.6448 B. +=1 C. D. y+义=1 6416 6448 6416 10.己知椭圆C满足：椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为12，且椭圆C上的点到其焦点的距离 的最大值为9，则椭圆C的标准方程可能是() ct D. 11.若椭圆Γ上的动点到T的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到T的焦点的距离的最小值为2， 则Γ的标准方程可能是() +=1 c.9+25 D若若 三、填空题 12,椭圆兮+y=1上有动点P,点ER.B是椭圆的丙个焦点，则△PF,E的重心M的轨迹方程为 13.已知△4BC的顶点4，B的坐标分别为-4,0l,4,0,C为动点，且满足sinB+sinA=三sinC,则 点C的轨迹方程为 试卷第2页（共3页） 14.已知圆M:X+2P+yY=36'点A2,0'若点p是圆M上一动点，线段Ap的中垂线卢直线MP相交 于点Q,则点Q的轨迹方程为 四、解答题 15.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (①)焦点坐标为-5,0和5,0，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26： ②经过点1,2焦点坐标分别为0,30，-3 与耀苓+y产=1有相同的生女、且经过1，引 2 16.过圆O:x+y2=9上的动点M向x轴作垂线，垂足为D,动点N满足DN=2NM, 求动点N的轨迹E的方程； 试卷第3页（共3页）