3.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时：椭圆的定义、求椭圆的标准方程） 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 （第1课时：椭圆的定义、求椭圆的标准方程） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【例3】已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为，求的方程； 【基础夯实】 一、单选题 1．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 3．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 6．与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 8．已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 11．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____________. 12．过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是______，这样的椭圆方程有______个． 四、解答题 13．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 14．已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 （第1课时：椭圆的定义、求椭圆的标准方程） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【答案】（1）8（2）13 【详解】（1）由椭圆得， 根据椭圆定义可得， 所以的周长为. （2）设椭圆的左右焦点为，由题可得，， 由椭圆的定义， 即. 所以点P到右焦点的距离为. 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 【例3】已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可； （2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【详解】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即的取值范围为； （2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为，求的方程； 【答案】 【分析】将代入椭圆方程求出，再利用椭圆的定义以及等面积法求出即可. 【详解】由题意知，，则， 令，则，得，则， 由椭圆的定义可知，， 因为点到直线的距离为，， 所以， 则，即， 又，得， 故的方程为. 【基础夯实】 一、单选题 1．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 3．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案 【详解】由椭圆可得， 所以，，所以， 所以在中，， 因为，且， 所以， 设的坐标为，且， 所以， 所以点P到y轴的距离为， 故选：C 4．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 5．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 6．与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，所以选C. 二、多选题 7．若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误. 故选：AB. 8．已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】AB 【分析】首先确定c的值，然后分类讨论焦点位置在x轴和y轴两种情况求解m的值即可. 【详解】因为，所以， 当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 又，解得. 当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 解得. 综上，解得或． 故选：AB. 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆的定义确定长半轴长 ；再利用椭圆上一点到一个焦点的距离的最小值为 求出 ，由 求出 ．题目未说明长轴方向，需分别考虑长轴在 轴和 轴上的两种情况． 【详解】由 ，得 ，所以 ． 由题意，，所以 ，从而 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 因此符合条件的是 A、C． 三、填空题 10．已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． 11．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 12．过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是______，这样的椭圆方程有______个． 【答案】 或（写一个即可） 2 【分析】首先分析满足条件的三点，再设椭圆方程的一般形式，再代入椭圆方程，即可求解. 【详解】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况． 设椭圆方程为（，，）． 当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得 ，解得，所以椭圆的方程为． 同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得 ，得； 该椭圆的方程为． 故答案为：或（写一个即可）； 四、解答题 13．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 14．已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）根据椭圆的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得可得故椭圆的方程为． （2）根据椭圆的定义，得， 所以的周长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $