椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题专项训练 椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题专项训练 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的中点弦问题 椭圆中面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由短轴长和离心率列式求出即可得解. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式即可计算求解. 【详解】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为. （2）联立， 故， 设，则， 所以. 所以弦的长度为. 例2．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解即可. 【详解】（1）已知，是椭圆上两点, 可得，解得：， 所以椭圆C的标准方程为； （2）设过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为， 与椭圆相交的交点坐标分别为， 此时交点弦长，不符合题意， 所以设过点的直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 则 ， 整理得：，即， 所以直线l的方程为或. 例3．（25-26高二上·河南驻马店·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意列式整理即可得轨迹方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，联立方程利用韦达定理整理可得.解法一：换元令，结合二次函数求最值；解法二：利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设，得， 整理得M的轨迹C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时； 当直线l的斜率存在时，设方程为，，， 联立方程，消y得， 恒成立，故， 则，， 所以， 法一：令，，则， 可得， 当，即，时，取得最大值3； 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为； 法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为. 变式1．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长度. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题设条件建立方程组，求得，代入椭圆方程即得； （2）依题写出直线的方程，代入椭圆方程，消元后得到一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得弦长. 【详解】（1）由题意，可得，解得， 故椭圆的方程为：; （2）依题意，直线的方程为：， 代入椭圆方程，整理得：， 设，则由韦达定理，， 则 变式2．（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）已知椭圆的方程为，短轴长为2，右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上的两点，，且直线AB与曲线相切，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件求，即可求椭圆方程； （2）首先设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，再结合直线与圆相切，列式求解. 【详解】（1）由题意知， 所以， 又，所以， 故椭圆的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为. 此时圆心到的距离， 即， 联立得， ， 即， 因为，所以， 因为曲线为右半圆，则， 所以直线的方程为或.    变式3．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点与短轴两个顶点所连成三角形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆E有两个交点，，求的取值范围，并求弦长最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）借助离心率及椭圆性质计算即可得； （2）联立曲线方程与直线方程，消去后可得与交点横坐标有关的一元二次方程，借助根的判别式计算可得的范围，利用韦达定理及弦长公式计算即可得弦长最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则椭圆的方程为； （2）设，. 联立，消去，可得， 由直线与椭圆E有两个交点，则， 化简得，解得； 则，， ， 由，则当时，有最大值， 且. 考点二 椭圆中的中点弦问题 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，则，， 则， 又，故，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 例2．（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【答案】/ 【分析】借助点差法及三角形重心性质计算即可得. 【详解】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 例3．（25-26高二下·浙江宁波·阶段检测）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出的范围. （2）设交点，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 例4．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）由点在椭圆上及、椭圆的参数关系求椭圆方程； （2）由题意，设，联立椭圆及韦达定理和中点坐标求参数k，即可得直线方程. 【详解】（1）由题设，可得，则椭圆； （2）由题设，令，联立椭圆， 所以，整理得， 则，整理易得， 所以，可得，直线的斜率为1. 变式1．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________． 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内，故直线与椭圆相交， 设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，， 又，代入，可得，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 变式2．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆C:，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若P为的中点，则直线AB的方程为____. 【答案】 【分析】先由点差法求解直线AB的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设点A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，所以. 由两式作差得+=0，整理得-， 即·=，所以， 因此直线的方程为，即. 故答案为：. 变式3．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由椭圆的定义，得，所以. 由焦点坐标可知，故. 因此，椭圆的标准方程为. （2）设，. 将代入椭圆方程，整理得. 由韦达定理，得. 根据线段中点的横坐标为，得，即. 解得或. 上述一元二次方程的判别式为. 当或时，均有，符合直线与椭圆交于两点的条件. 因此，直线的方程为或. 变式4．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，结合离心率，以及，解出，，从而求出椭圆方程； （2）利用椭圆上的两点，关于直线对称，可得到线的斜率， 根据弦的中点在直线上，和线的斜率结合，求出点坐标. 【详解】（1）由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 （2）如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有  ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以  ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 考点三 椭圆中面积问题 例1．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率以及焦点坐标即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解面积. 【详解】（1）由已知有 解得 所以椭圆的方程为. （2）由 消去，整理得. 设，则 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为 例2．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【详解】（1）由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 例3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据离心率及右焦点坐标求解即可. （2）直线方程与椭圆方程联立求出，，根据弦长公式及点到直线的距离公式求出及原点到直线的距离，代入三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，，得，． 故椭圆的方程为． （2）联立，整理得． ，则. 设，，则，， 则． 原点到直线的距离． ． 当且仅当，即（满足）时取等号，最大值为1． 变式1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知椭圆经过点，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积. 【详解】（1）因为椭圆经过点，所以， 把点的坐标代入方程，得，解得. 所以椭圆的方程为. （2）联立方程组消去，得. 解得或不妨设，，则. 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由和即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在，结合四边形的面积求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，，所以， 所以， 即椭圆方程为. （2） 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程， 可得：，， 四边形的面积为，舍去； 当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得：， ，， 所以四边形的面积为：， 即，， 即： ， 即：， 即：， 即：， 即：， 解得，即， 所以直线的方程为：或. 变式3．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）已知椭圆的离心率为，短半轴长为. (1)求的方程； (2)过左焦点且斜率大于的直线交于和两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由椭圆离心率为，可得，即 又由椭圆短半轴长为2，可得， 因为，可得，可得，所以，， 所以椭圆方程为. （2）解：由（1）知：，椭圆的左焦点为， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得，假 设直线与椭圆的两交点坐标为， 可得，， 则有，即， 因为的面积为，可得， 整理得，解得， 因为，所以，所以直线的方程为. 变式4．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2) （i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于， 由，得，整理得， 所以，， 又， 所以 ， 所以，所以以线段为直径的圆过点； （ii）9 【分析】（1）由题意可得，进而代入点的坐标，可求得椭圆的方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，设，利用根与系数的关系可得，利用向量的坐标运算可得，进而可证结论；（ii）根据，结合换元法与函数的单调性可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； （2）（i）略 （ii）因为直线过定点， 所以 ， 令， 则 所以，可得， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 所以当时，面积的最大值为9． 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题专项训练 椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题专项训练 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的中点弦问题 椭圆中面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 例2．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 例3．（25-26高二上·河南驻马店·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 变式1．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长度. 变式2．（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）已知椭圆的方程为，短轴长为2，右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上的两点，，且直线AB与曲线相切，求直线AB的方程． 变式3．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点与短轴两个顶点所连成三角形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆E有两个交点，，求的取值范围，并求弦长最大值. 考点二 椭圆中的中点弦问题 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 例2．（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 例3．（25-26高二下·浙江宁波·阶段检测）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 例4．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，求直线的斜率． 变式1．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________． 变式2．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆C:，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若P为的中点，则直线AB的方程为____. 变式3．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 变式4．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 考点三 椭圆中面积问题 例1．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 例2．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 例3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 变式1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知椭圆经过点，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 变式3．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）已知椭圆的离心率为，短半轴长为. (1)求的方程； (2)过左焦点且斜率大于的直线交于和两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程. 变式4．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $