椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题专项训练 椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题专项训练 考点目录 椭圆的标准方程问题 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 考点一 椭圆的标准方程问题 例1．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，知，得，又，所以， 所以椭圆的标准方程为. 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得直线与坐标轴的交点为，得到，求得，即可得到椭圆的标准方程. 【详解】由直线，令，可得，令，可得， 即直线与坐标轴的交点分别为， 因为直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 可得，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 例3．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 例4．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则整数的值是________． 【答案】4 【分析】由椭圆的标准方程建立不等式，解得整数的值. 【详解】，解得，又因为k为整数，所以． 故答案为：4. 例5．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可； （2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【详解】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即的取值范围为； （2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 变式1．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A 变式2．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用椭圆的图形特征结合椭圆定义及，计算求出参数得出椭圆方程. 【详解】如图，因轴，为线段的中点，，B为线段的中点， 在中，，设，则，. 因为的面积为，所以，解得（负值已舍去）， 所以，，，， 所以，则C的方程为， 故选:C. 变式3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设列式求出即可得椭圆的方程； 【详解】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 变式4．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 【答案】. 【分析】根据题意，结合椭圆方程的标准形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程表示椭圆， 则满足 ； 解得或，所以实数的取值范围. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【详解】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 考点二 椭圆的离心率问题 例1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可. 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 当或时，取最大值：， 所以的最大值为. 例2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 例3．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，可知， 又，所以， 因此，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，所以. 故答案为： 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为___________． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形和中位线的性质建立与已知条件之间的关系，结合椭圆的定义即可求出值，进而求出椭圆离心率. 【详解】因为，即，所以． 因为点是以为底的等腰内切圆的圆心，则， 又为的角平分线，延长交直线于点， 在与中， ， 所以， 所以，， 所以为的中点. 又为的中点，所以为的中位线， 所以． 若在轴右侧，则， 所以， 即，所以． 若在轴左侧，则， 所以， 即，所以．      综上，椭圆的离心率为或. 故答案为：或. 变式1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【答案】B 【分析】分类讨论焦点在轴和轴上的情况. 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得； ②当焦点在轴上时，，，， ，解之得. 综合①②知，适合条件的实数或. 变式2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义，设，结合已知得，再由及向量数量积的定义和运算律、余弦定理得到，最后列方程得，即可得. 【详解】由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即， 由题意知，设，则，， 代入得，所以，，， 由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线， 所以，则， 由且， 所以，则， 综上，即， 所以，则，即， 椭圆的离心率满足，且，解得， 故椭圆的离心率为. 变式3．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知的左、右焦点分别为和，上顶点和右顶点分别为和，与的另一个交点为，若存在实数，使得，则的离心率为________． 【答案】 【分析】表示出点的坐标，利用向量平行的坐标表示构造齐次式即可求解. 【详解】由题意可得， 则直线， 联立方程组得，消去得，解得或， 当时，，则点， 当存在实数，使得时，即， 可知， 得，化简得， 由得，解得（舍）. 变式4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到“椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积”.已知椭圆的面积为，过焦点且与轴垂直的弦长为，则椭圆的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】将代入椭圆方程得，可得，解得， 所以过焦点且与轴垂直的弦长为①， 该椭圆的面积为②， 联立①②可得，，故， 因此该椭圆的离心率为. 故答案为：. 考点三 椭圆的焦点三角形问题 例1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测·多选）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长为，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在，故D错误. 故选：BC 例2．（25-26高二上·山东枣庄·期中·多选）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 例3．（25-26高二上·河南郑州·期中·多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 变式1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测·多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．点的坐标为 C．以为直径的圆经过点 D．直线的斜率为 【答案】AB 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，求出的值，再根据椭圆的定义、三角形面积公式、圆的标准方程和直线的斜率公式逐项判断即可. 【详解】由题意可得椭圆方程为，所以，，， 所以， 选项A：因为为椭圆上一点，由椭圆的定义可知，选项A正确； 选项B：设，则，解得， 将代入解得，所以点的坐标为，选项B正确； 选项C：因为中点为原点，， 所以以为直径的圆的方程为， 将代入圆的方程， 所以以为直径的圆不经过点，选项C错误； 选项D：因为，， 所以直线的斜率，选项D错误； 故选：AB 变式2．（24-25高二上·四川自贡·期末·多选）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x₀，y₀），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得即可判断D, 【详解】 由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 变式3．（25-26高二上·湖南永州·期中·多选）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得； 根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径. 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题专项训练 椭圆：椭圆的标准方程问题、离心率问题、焦点三角形问题专项训练 考点目录 椭圆的标准方程问题 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 考点一 椭圆的标准方程问题 例1．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则整数的值是________． 例5．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 变式1．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 变式5．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 考点二 椭圆的离心率问题 例1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为___________． 变式1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 变式2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知的左、右焦点分别为和，上顶点和右顶点分别为和，与的另一个交点为，若存在实数，使得，则的离心率为________． 变式4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到“椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积”.已知椭圆的面积为，过焦点且与轴垂直的弦长为，则椭圆的离心率为__________. 考点三 椭圆的焦点三角形问题 例1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测·多选）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 例2．（25-26高二上·山东枣庄·期中·多选）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 例3．（25-26高二上·河南郑州·期中·多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测·多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．点的坐标为 C．以为直径的圆经过点 D．直线的斜率为 变式2．（24-25高二上·四川自贡·期末·多选）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 变式3．（25-26高二上·湖南永州·期中·多选）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 2 学科网（北京）股份有限公司 $