精品解析：山东滨州市博兴县2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐思想的体现，下列校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将一个三角形的某两个顶点断开并伸直以后得到一条线段，根据图中各线段的长度，的值可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 5. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” 7. 如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 8. 如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 9. 折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知a、b、c是的三条边的长，化简的结果为______． 12. 如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 13. 如图，，的平分线上有一点P，，则____________． 14. 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角时为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，与交于点，已知角为，则的度数是__________． 15. 如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有___． 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的 （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 17. 如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 18. 如图，，，，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，，，点、分别在边、上，且， （1）试说明平分； （2）若，试说明点在的垂直平分线上． 20. 如图，在等腰直角三角形中，，D是斜边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G．求证： （1）； （2）． 21. 【问题情境】 兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．根据上面思路写出完整的求的取值范围的过程． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 22. 按要求解答： （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．求证：； （2）类比探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． ①试求的度数； ②判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 23. 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【拓展应用】 （2）如图所示，在和中，，，，连接，作边上的高，延长交于点H．若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐思想的体现，下列校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，在平面内如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 如图，将一个三角形的某两个顶点断开并伸直以后得到一条线段，根据图中各线段的长度，的值可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可得，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，即， 观察各选项，只有4符合． 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：若线段是的高，则过点B，且垂直，垂足为D， D选项中线段表示中边上的高． A、 B、C选项中线段不能表示任何边上的高． 4. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】B 【解析】 【分析】设，先计算物体被吊起前的度数，再计算物体被吊起后的度数，即可列式求解． 【详解】解：设， 物体被吊起前，，支撑臂为的平分线， ， ， 物体被吊起后，，， ， 减小了， ， ， 的变化情况为减小． 5. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，计算得出、的值，代入所求代数式即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 7. 如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 8. 如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ，即． 在中， ，， ， ∴． 9. 折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再根据，推出，从而得出，结合折叠，得出，最后根据是的外角，根据即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴，即， 由折叠性质可知：， ∵是的外角， ∴， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据变化找到坐标的变换规律为每4次变换作为一个循环，据此即可求出答案． 【详解】解：点C的坐标是，第1次关于轴对称得到，第2次关于轴对称得到，第3次关于轴对称得到，第4次关于轴对称得到，…… 由上可知，点的坐标变换每4次作为一个循环， ∵……2， ∴经过第次变换后点C的对应点的坐标与第2次变换后的坐标相同，即为． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知a、b、c是的三条边的长，化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系得，，，进而得，，，再根据绝对值性质化简，最后合并同类项即可得答案． 【详解】解：∵、、是的三条边长， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴化简的结果为． 12. 如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先得出，，则可得，再得出，由此即可得． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即阴影部分的面积为2． 13. 如图，，的平分线上有一点P，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点F， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角时为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，与交于点，已知角为，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由得，则根据三角形内角和定理可求出，同理，最后由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有___． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，可证明，可得到，，，故③正确；再证明，可得到，，故②④正确；进而得到，故①正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，，故②④正确； ∴，即，故①正确， 故结论正确的有①②③④． 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的 （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称规律：关于轴对称，横坐标变号，纵坐标不变，即可画出； （2）根据对称规律，直接写出坐标即可； （3）利用“割补法”，将放入一个矩形中，减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中的图形可得，． 【小问3详解】 解：的面积为：． 17. 如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形外角的性质求出，然后证明，即可得到； （2）连接，由全等三角形的性质得到，，然后利用等腰三角形的性质得到，等量代换即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，，，，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，则由等边对等角可得，再由平角的定义和三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∴， ∴． 19. 如图，，，点、分别在边、上，且， （1）试说明平分； （2）若，试说明点在的垂直平分线上． 【答案】（1）解：过点作垂足为，过点作垂足为， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）过点作垂足为，过点作垂足为，证明，即可； （2）根据题意证得，可得，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在等腰直角三角形中，，D是斜边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵于F， ∴． ∴． 又∵于E，于F． ∴． ∵是等腰直角三角形，且， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴， ∴． （2）证法一：∵于H， ∴， 又，且， ∴． 由（1）知，． 在和中， ∴， ∴． 证法二：∵是等腰直角三角形斜边上的高线， ∴． 又∵， ∴． 由（1）知，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）求出，，证明，得到，，然后等量代换即可证明； （2）证法一：求出，然后证明，得到； 证法二：求出，然后证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【问题情境】 兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．根据上面思路写出完整的求的取值范围的过程． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【答案】【问题情境】 ； 【初步运用】证明：延长至点，使，连接，如图②． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，即， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】【问题情境】 根据题干问题情境中的解决方法完成解析过程即可； 【初步运用】延长至点，使，连接，证明得到，，结合已知条件和对顶角相等得到，然后利用等角对等边和等量代换可得结论． 【详解】解：【问题情境】 延长至点，使，连接, ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【初步运用】略 22. 按要求解答： （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．求证：； （2）类比探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． ①试求的度数； ②判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）①； ②线段、、之间的数量关系为， 理由如下： ∵为等腰直角三角形中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明； （2）①证明得到，再根据计算即可； ②先根据等腰三角形的性质和判定得到，再根据得到，最后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴； ②略 23. 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【拓展应用】 （2）如图所示，在和中，，，，连接，作边上的高，延长交于点H．若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； （2）60 【解析】 【分析】（1）根据垂线的定义得到，证明，则可利用证明； （2）过点E作于点M，过点D作，交的延长线于点N，同理可得，，则可证明，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点M，过点D作，交的延长线于点N， ∴． 与（1）同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $