河北省邯郸市部分校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小題选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应題目的答案标号涂黑；非选择題请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知向量a=(1,3,y),b=(-2,x,8),若a∥b,则x十y= 封 A.10 B.2 C.-2 D.-10 2.抛物线y=一4x2的准线方程是 A.y=1 B.y=-1 C.y-6 Dy=-话 3.已知直线l4:(a-2)x+(a+1)y十5=0,2：2x十ay十7=0，且l⊥，则a= A.1或-4 B.-1或4 C.-4 D.4 4若∈R.则-3<<4“是“方程千g十六=1表示圆”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若过坐标原点的直线1的一个方向向量为a=(W3,0,1),则点P(0,1,一2)到直线1的距离为 A.2 B.5 C.2 D.3 6.已知双曲线C后-芹=1(。>0.6>0)的左右焦点分别为R,R,点E,到C的-条渐近线 的距离为4，P是C上一点，且PF1⊥PF2,则△PFF2的面积为 A.32 B.16 C.8 D.4 7.若关于x的方程2x十a=√4一x2有两个实数解，则a的取值范围为 A.4,25) B.(4,2√5) C.[-4,4] D.(-2√5,25) 【高二数学第1页（共4页）】 27-X-024B 8已知双曲线C:后-芳=1(o>0.6>0)的左熊点为P,离心率为厅，平行于：轴的直线交C于 A.B两点(A在B的左侧)，延长BF至点P,使得|FP|=|AF|,连接AP交x轴于点M,则 聪的值为 A.√2 9 C.2 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.直线3x十y+9=0在y轴上的截距为一9 B.直线x十√3y+3=0的倾斜角为150° C.直线ax+(a-2)y十a+4=0恒过定点(-3,2) D.过点(1,2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y一3=0 10.在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,3),B(0,2,3),C(1,1,2),D(0,0,2),则 A向量B市在向量AC上的投影向量为AC 且直线AD与BC所成角的余弦值为需 C平面ABD与平面BCD的夹角的正弦值为写 D.点C在平面ABD内的射影为C'(合，2，是) 11.已知A是圆C:x2+(y+2)2=4上的一点，P是直线1：4x一3y+6=0上的一点，则下列结 论正确的是 A点A到直线1的距离的取值范围是[号，] B若直线PA与圆C相切，则IPA|的最小值为2页 5 C.若∠CPA=30°，则点P的横坐标的取值范围是[-4,0] D.若P是直线1与x轴的交点，Q(0,-6),则|AQ|十2|AP|的最小值为35 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若圆C1:(x-4)2+(y+1)2=1与圆C:(x-1)2+(y-3)2=25-a内切，则实数a的值 为 13.在三棱锥P-ABC中，PA=2,PB=3,PC=4,∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，点D 满足BD=2DC,则PD·AC= 14.已知点A(4,1),F为抛物线C:Jy2=4x的焦点，若以点A,F为焦点的椭圆与抛物线有公共 点，则椭圆的离心率的最大值为 ,【高二数学第2页（共4页）】 27-X-024B CS扫描全能王 可蟹3亿人都在用的扫描APp 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的三个顶点A(3,-3),B(-1,-3),C(-5,1). (1)求△ABC的面积； (2)求△ABC的外接圆的方程， 16.(本小题满分15分) 如图，在正方形ABCD-A,BCD中，E是棱AB的中点. (1)求证：平面A,BD⊥平面BCE; (2)求直线A,E与平面B,CE所成角的正弦值」 17.(本小题满分15分) 已知边长为4√3的等边三角形的一个顶点与坐标原点O重合，另外两个顶点在抛物线C:y =2px(p>0)上. (1)求C的方程； (2)过点P(2,0)的直线与C交于M,N两点，求证：OM LON. 【高二数学第3页（共4页）】 27-X-024B 18.(本小题满分17分) 22 y 已知双曲线E:焉一岁=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F2,且1FF|=2W3,E的渐 近线方程为y=土√2x (1)求E的方程： (2)过F的直线l与E的右支交于M,N两点，且△MNF,的周长为24，求直线l的方程： (3)若B.C是E上的两点，A为E的右顶点，直线AB与AC的斜率之积为-号，证明：直线 BC过定点，并求出该定点的坐标， 19.(本小题满分17分) 已知辅圆E后+芹-1(。>6>0)的左顶点为A(一2,0)，离心率为 (1)求E的方程； (2)P是E上的一点，且位于x轴的上方，过原点O且与AP平行的直线交E于M,N两点， Q是线段AP的中点，直线OQ与E交于C,D两点(C位于x轴下方). (I)若直线PC,AC分别与直线MN交于点G,H,记△CHG,△CAP的面积分别为S,: S,且号=号求点P的坐标： S: (I)求ICD+IMNI的最大值 【高二数学第4页（共4页）】 27-X-024B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App高二数学参考答案、提示及评分细则 1,D由题意，2是-音，解得x=一6，y=-4,所以x十y=-10,故选D 2.C由y=一4女得2=一，所以抛物线)y=一4父的准线方程是y=6故选C 3.A因为l1⊥l2,所以2(a-2)+a(a+1)=0,解得a=1或a=-4.故选A (3k+9>0, 4B若方程本g十产。=1表示椭圆，则伦0，”，解得-3kK-吾或-马<K4,所以-3<4是 (3k+9≠4-k, “方程千十产61表示椭圆”的必要不充分条件.故选B 5.C 由题意，=(0,1，-2)，所以点P到直线1的距离为√o-·合 02+12+(-2)2- 0×W3+1X0-2×1\ √/GW3)+02+12 =2.故选C 6.B不妨设C的一条渐近线方程为bx一ay=0,点F1到该渐近线的距离为 B+-a)=b=4,又P是C bc 上一点，所以|lPF|-|PF2|I=2a,所以|PF2+|PF|2-2|PF|·|PF2|=4a2,又PF⊥PF2,所 以1PF2+1PF,=(2c)=4C,所以1PF1·1PF,1=1PE+,PE-e_4,4如=26，所以 2 2 △PFR,的面积为号|PF|·|PF==16.故选B 7.A方程2x十a=√4一x有两个实数解等价于曲线y=√4-x与直线y=2x十a有两个公共点，曲线y= √4一x表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点），当直线y=2x十a经过点（一2,0）时，直 线与曲线有2个公共点，此时a=4;当直线与圆相切时，可得a √/12+22 =2,解得a=25或a=-25(舍去负 值)，结合图形可得a的取值范围是[4,2√5).故选A. &D由题易知△P△PAB,所以-需-ABE,设A,》,则B-ABl=2a, AB 1Alo,1=V+,所以照=y+ 2x ⊥(x+c)2+y2-「(x-c)2+y2] 2c |2x|√/(x+c)2+y-√/(x-c)2+y √(x+c)2+y-√(x-c)+y =5.故选D. 2a 9.ABC令x=0,则y=一9，所以直线3x十y+9=0在y轴上的截距是一9，A正确；直线x十√3y十3=0的斜 率为-号，所以其倾斜角为150，B正确；ax+(a-2)y十a十4=0，即a(x十y十1)-2y十4=0，该直线恒过 定点(-3,2)，C正确：当直线过原点时，直线方程为y=2江，当直线不过原点时，设直线方程为亡+名=1， 将(1,2)代入，解得a=3,此时直线方程为x十y一3=0，所以过点(1,2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线 方程为x十y一3=0或y=2x,D错误.故选ABC 10.BC因为励=(0，-2，-1)，A心-（一1,1，-1），所以向量BD在向量AC上的投影向量为D:ACA衣- ACI* -号AC,A错误；Ad-(-2,0,-1D,BC=(1,-1,-1D,所以cos(A,BC= AD.BC IAD·IBC 5 15 即直线AD与BC所成角的余弦值为，B正确：设平面ABD的法向量为n=(x,),又Di- 2,01,D苏=(0,21D,所以D肪20令x=1,解得y=1,2==2,所以n=（11,2为平 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 27-X-024B 面ABD的一个法向量.设平面BCD的法向量为m=(a,b,c),又D范=(0,2,1)，DC=(1,1,0),所以 /m·DB=2b+c=0, m·DC=a+b=0, 令a=1,解得b=-1,c=2,所以m=(1,一1,2)为平面BCD的一个法向量，所以 m·n 1-1-4 cosm,mm:m中年X号，所以平面ABD与平面BCD的夹角的正弦值 一om,m-9.C正确：因为不存在唯一的实数对(m,使得D心-（合，方，）=m成+ nDi=m(2,01D十n02,1D,所以C,A,BD四点不共面，即C(分，，号)不可能是点C在平面ADD 内的射影，D错误.故选BC 1.BD点C到直线L:4-3y十6=0的距离为二X一2生-号，所以点A到直线的距离的取值范 √42+(-3)2 围是[号，号]，A错误；在R△PAC中，PA=IPC-CA≥-7-√（得）-2-2T B正确：在△PAC中，PC=ACI sinPAC=4sin∠PAC≤4，设P(a,),则士n士2≤4，解 sin∠CPA 14x1-3y+6=0, 得-器<<0，即点P的横坐标的取值范围是[-器，0]，C错误：因为P是直线1与x轴的交点，则 P(-,0）,设A(),取M(0,-3,所以A=+ _√x2+吃+6y2+9 AQ √x6+(y2十6)2 √x+y吃+12y2+36 -4+129干86z,所以|AQ=21AM1,所以|AQ+2AP=2(AM1+1AP1)≥21MP- √一4y2十62+9=1 3√5，当且仅当A,M,P三点共线时，等号成立，D正确.故选BD. 12.一11由题意，圆C的圆心为(4，一1)，半径为1，圆C2的圆心为(1,3)，半径为√25一a,又两圆内切，圆 心距d=√(4-1)+(-1-3)z=5,则|√25-a-1=5,解得a=-11. 13.?由题意，A心-元-i,i-成+励-成+号就-成+号（元-成）=}成+号元，又PA=2, PB=3,PC=4,∠APB=∠APC=60,∠BPC=90°，所以PA.Pi=3,PA.P元=4，PB.P心=0，所以 pb.AC-(}P+号P心)心-Pi)=}p成.P心-号Pi.pi+号心-号心.Pi=0-1+号 _8=7. 3 14.y10 由题易知抛物线的焦点为F(1,0),准线1的方程为x=一1，设椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,又点 5 A(4,1),则2c=|AF=√10，记椭圆与抛物线的公共点为H,过H作HG垂直于1，垂足为G,由椭圆和 抛物线定义得2a=|HF|+|HA|=|HG引+|HA|≥|AG=4-(-1)=5,当且仅当A,H,G三点共 线时，等号成立，放椭圆离心率一会≤。 15.解：1因为8(-1，-3)，C(-5,1,所以k红=3己=-1， 所以直线BC的方程为y十3=一(x十1)，即x十y十4=0，…2分 所以点A(3,-3)到直线BC的距离d=13-3+41=2W2, …4分 √12+1 又|BC=√(-1+5)2+（-3-1)7=4W2,…6分 所以△ABC的面积S=合BC·d=2X42X2E=8.…7分 (2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0, (32+(-3)2+3D-3E+F=0, 所以(-1)2十(-3)2一D-3E十F=0, …9分 (-5)2+12-5D+E+F=0, 解得D=-2,E=一6，F=-30,所以△ABC外接圆的方程为x2十y2一2x-6y-30=0.…13分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 27-X-024B 16.(1)证明：如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,x轴，建立空间直角坐标系， 不妨设AB=2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2), C(0,2,0),E(2,1,0), D 所以C2=(2,-1,0),CB=(2,0,2),Di=(2,2,0),DA=(2,0,2). …2分 n.Ci-2.x-y=0, 设平面B1CE的法向量为n=(x,y,z),所以{ n·CB1=2x+2z=0, 令x=1,解得y=2,x=-1, 所以平面BCE的一个法向量n=(1,2,一1). 5分 设平面ABD的法向量为m=(a,b,c),所以 m.DB=2a+2b=0, m.DAi=2a+2c-0, 令a=1,解得b=-1,c=-1, 所以平面A1BD的一个法向量m=(1,一1，一1)，… 8分 所以n·m=1一2+1=0，所以平面A1BD⊥平面BCE. 10分 (2)解：A1E=(0,1,-2),由(1)知平面B1CE的一个法向量n=(1,2,-1), 设直线A1E与平面B1CE所成角为0， 则sin0=|cos(,A立1=，n…AE -2w30 |n·A1E√I+4+I×1+4151 即直线AE与平面B,CE所成角的正孩值为2一。 15分 17.(1)解：由等边三角形及抛物线的对称性，可知等边三角形的另外两个顶点关于x轴对称， 又等边三角形的边长为4√3，所以等边三角形的另外两个顶点的坐标分别为(6,2√3)，(6，一2√5)， ………4分 所以(2√5)2=2pX6,解得p=1,所以C的方程为y2=2x.…7分 (2)证明：显然直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my十2，M(x,Ⅵ)，N(x2,2), 区二12，得y=2my-4=0,所以4=4m牛16>0，ny=-4,………卫 联立 11分 所以刘x2三汽，览三4，心心…0a网 2 13分 所以OM.O示=xx2十hy2=0,所以OMLON.…15分 2c=2√3， 18.解：(1)由题意知 =2, 2分 a c2=a2+62, 解得a=1,6厄，所以E的方程为2-号-1.… 4分 (2)△MNF的周长为|MN|+IMFI+|NF|=IMN|+IMF2|+2a+INF2|+2a=2|MN|+4 =24, 所以|MN|=10.…6分 显然直线L的斜率不为零，设直线l的方程为x=my十√3，M(cM,yM),N(xN,yw), △=(43m)2-16(2m2-1)>0, 联立 2-兰-l得2m-1Dy+45y+4=0所以w+n 4V3m 2m2-1' …7分 x=my+√3， yMyN 4 2m2-1<0, 所以-<m<号， 1MN|=√1+m|yM-ywl=√/1+m· 4V3m 41+m22=10, 2m2- 4× 2m2-1 1-2m2 解得m=之或m=一之， …9分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 27-X-024B 所以直线l的方程为2x一y一2√3=0或2x十y一2√3=0.… 10分 (3)由题易得A(1,0),设直线AB与AC的斜率分别为k1,k2, 当直线BC不垂直于x轴时，设直线BC的方程为y=kx十m,B(x,y),C(x2,y2), y=k.x十m, 联立 =1,得(k-2)x+2kmx+m+2=0,当A=8(m2-+2)>0时， x2y2 2 -2km m2+2 西十9=2-2西2=2-2，… 12分 yiyi 则k1k:=(-1)(x-1) =,Cb十m）Ck2+m）=kxx十km(西十y）十 (x1-1)(x2-1) x2-(+x2)+1 k2(m2+2) =2-2 n L_2(k+m)(兔-m2 要+0+1 (k+m)2 又：=一号，显然k十m≠0，所以2=一号，解得m=2,符合题意， k+m 所以直线BC的方程为y=k(x十2)，恒过定点（一2,0）；…15分 当直线BC垂直于x轴时，设B(t,h),则C(t,一h),因为B是E上的点，所以h2=2一2， 则=5=名器=号解得=-2，故直线BC过点(-2.0》 2-22 综上，直线BC恒过定点（一2,0）. 17分 18解：1由题意知a=2,设E的熊距为2，所以后-台-号，解得c一， …2分 所以=公-之-1，故E的方程为号十y=1.… 4分 ②)图为AP/GH,所以△CH0Cn△CAP,又爱=号所以爱=部=音即9=号 又c0,cQ分别为△CiG,△CP的中线，所以80=号所以8=是， …6分 由椭圆的对称性可知，C01=D01,所以=号，即Q为线段D0的中点，连接AD,DP,PO, 又Q是线段AP的中点，所以四边形AOPD是平行四边形，所以DP平行于x轴， 设P(x0%),由椭圆的对称性可知D(一0，)，其中x>0,%>0, 由平行四边形的性质可得|DP|=|AO=2,所以x0一（一）=2xo=2,解得x0=1,…9分 又草+=1，解得。=号，所以点P的坐标为(1，受)， …10分 (1)设点P),由A(-2,0),可得Q(22,学)》 则k知=一计2如-如= -2 所以okm=2X”2=是4-=， 1 12分 由题易知直线OM的斜率一定存在且不为零，设其方程为y=kx,k>0, 联立著十=1，解得中=则ON:-件器 y=kx, 门4g2… 13分 因为akm=一冬，可得k如=一衣，同理可得0D:-中6能 42…… 14分 所以10M+100-#器+岸器-5 e。… 15分 所以|CD1+|MN=2|OD|+2|OM=2(|OD|+IOMl)≤2×√2(OD2+OM)=2√10， 当且仅当1OM=001=,即k=2时，等号成立， 所以CD引十MN|的最大值为2WI0.…… 17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 27-X-024B