邯郸市永年区第二中学2026-2027学年高二上学期数学期中考试复习专项练习02—轨迹方程

期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 邯郸市永年区第二中学高二期中考试复习专项练习02 测试范围——轨迹方程 一、单选题 1．（26-27高二上·山西太原·月考）已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得 【详解】如图： 不论直线怎么移动，线段的中点的始终为斜边上的中线，即，即 2、【人教A版选择性必修一习题3.1第8题】点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用坐标表示已知条件，列出方程并化简可得点M的轨迹方程． 【详解】设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得，即点M的轨迹方程为． 3、【人教A版选择性必修一习题3.1第9题】如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点P在圆上即可求出. 【详解】设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得， 即，点P在圆上运动，，即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点. 4、【人教A版选择性必修一第3.2.2节例5改编】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得，即．所以，点M的轨迹方程是． 5. 已知等腰三角形ABC的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点C的轨迹方程为（ ） A． B．（去掉（3,5），（5,-1）两点） C． D．（去掉（3,5），（5,-1）两点） 【答案】D 【分析】根据等腰三角形和已知顶点A(4,2)，一个端点B(3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C的轨迹方程； 【详解】由题意知，设另一个端点，腰长为，∴C的轨迹方程为，又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1）。 6、如图，已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 解：设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，且M是线段的中点，所以，．于是有，①．因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即②． 把①代入②，得，整理，得，这就是点M的轨迹方程． 7．在中，，边上的两条中线之和为，则的重心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； 【详解】以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，，因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外），该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. 8．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．则轨迹E的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】核心是利用两圆内外切的距离关系，得到动点到两定点距离之和为定值，用椭圆定义直接写出轨迹方程； 【详解】（1）圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径，设动圆圆心，半径，动圆与内切：，动圆与外切：，两式相加得，，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，，故轨迹的方程是； 二、多选题 9．点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案. 【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，则，所以选项ACD满足. 10．【人教A版选择性必修一第2.4.2节例5改编】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A.圆的方程为 B．圆的方程为 C．点的轨迹方程 D．点的轨迹方程 【答案】BD 【分析】（先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则．因为，所以，所以直线的方程为．由，得，所以圆心，半径，所以圆的方程为．设点．因为点的坐标为，所以即又点在圆上运动，所以，即线段的中点的轨迹方程为． 11．下列关于轨迹方程的说法，正确的是（    ） A．与两定点，的距离的比为的动点的轨迹方程为 B．长为2的线段的两个端点A和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点M的轨迹方程为 C．已知线段的端点的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 D．若圆的一条直径的端点分别是，.则此圆的方程是 【答案】ACD 【分析】利用两点间距离公式结合条件化简可判定A，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判定B，利用相关点法计算可判定C，利用中点坐标公式结合圆的标准方程化简可判定D. 【详解】对于A，设，则，化简得， 故A正确；对于B，设，若时，则为直角三角形，易知，即此时，若，此时，若，此时，该两种类型均满足，综上M的轨迹方程为，故B错误；对于C，设，则由题意可知，将代入得，故C正确；对于D，取的中点C，则相应圆心为，易知半径，由圆的标准方程得，整理得，故D正确.故选：ACD 三、填空题 12．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案. 【详解】设点，点，则，所以，因为点在圆上，所以，所以，所以点M的轨迹方程为，即. 13、【人教A版选择性必修一习题3.2第11题】M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】. 【分析】首先利用点到直线的距离求，，利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离，到直线的距离，，即 所以动点M的轨迹方程：. 14．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，，因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，．因为存在，所以．由三角形重心坐标公式得，即；因为，所以．将点代入已知椭圆方程，得，即所求的重心的轨迹方程为． 四、解答题 15、【人教A版选择性必修一第2.5.2节例6】已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系． 分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系． 解：如图，以线段的中点O为原点，所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由，得，．设点M的坐标为，由， 得，化简，得，即． 所以点M轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图2.5-7）．因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，又，所以点M的轨迹与圆O相交． 16．【人教A版选择性必修一习题4.4第9题改编】已知两点为定点，动点到两点的距离比是常数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 【答案】见解析 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，设，则求出点轨迹方程，然后由方程确定曲线形状． 【详解】建立如图所示的坐标系，设，设，则 由题意得，所以，化简得 当时，即，点的轨迹方程是，其轨迹是直线（轴）； 当且时，点的轨迹方程是，点的轨迹是以为圆心，为半径长的圆. 17、（1）【人教A版选择性必修一第3.3.2节例6】如图，已知定点轴于点， 是线段上任意一点，轴于点， 于点， 相交于点P，求P点的轨迹方程. （2）【人教A版选择性必修一习题3.2第10题】设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】（1）；（2）动点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线. 【分析】(1)设点P ， M ，其中则点E的坐标为，根据，得到直线的方程，根据点在直线上求得m，再根据点P在直线OE的上求解.(2)设动点，设d为点M到直线l的距离，根据题意可得，化简整理，令，即可得动点M的轨迹方程，即可得答案. 【详解】（1）设点P ， M ，其中则点E的坐标为，因为，所以直线的方程为，因为点在 上，所以，又直线OE的方程为，因为点P在OE上，消去得， （2）设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即， 左右同时平方，化简可得， 所以，令，所以， 即，所以动点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线. 18．【人教A版选择性必修一习题4.4第8题改编】长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动. （1）求线段的中点的轨迹的方程； （2）当时，曲线与轴交于两点，点在线段上，过作轴的垂线交曲线于不同的两点，点在线段上，满足与的斜率之积为，试求与的面积之比. 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）设线段的中点为，根据平面上两点间的距离公式，即可求解线段的中点的轨迹的方程； （2）当时，直线和直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，即可得打结果． 【详解】（1）设线段的中点为，则，， 因为，化简得，即线段的中点的轨迹的方程为. （2）当时，曲线的方程为，它与轴的交点为、， 设，，，直线的斜率，故直线的斜率， 直线的方程是，而直线的方程是，即， 联立，解得，此即点的坐标，故． 19．【人教A版选择性必修一第3.3.2节P138练习第5题改编】已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，记点． (1)求的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意可知，动圆圆心为，分析可得，结合两点间的距离公式可得出关于、的等式，化简可得出点的轨迹方程； （2）将直线的方程与曲线的方程联立，利用弦长公式结合韦达定理求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由题意可知，、，设动圆圆心为，则， 由题意可知，为动圆一条直径，为动圆的一条半径，由可得，整理可得，因此，的轨迹方程为. （2）设点、，联立，可得， ，由韦达定理可得，， 所以，，原点到直线的距离为，因此，，即的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 邯郸市永年区第二中学高二期中考试复习专项练习02 测试范围——轨迹方程 一、单选题 1．（26-27高二上·山西太原·月考）已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2、【人教A版选择性必修一习题3.1第8题】点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3、【人教A版选择性必修一习题3.1第9题】如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4、【人教A版选择性必修一第3.2.2节例5改编】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5. 已知等腰三角形ABC的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点C的轨迹方程为（ ） A． B．（去掉（3,5），（5,-1）两点） C． D．（去掉（3,5），（5,-1）两点） 6、如图，已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）． A． B． C． D． 7．在中，，边上的两条中线之和为，则的重心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．则轨迹E的方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ） A． B． C． D． 10．【人教A版选择性必修一第2.4.2节例5改编】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A.圆的方程为 B．圆的方程为 C．点的轨迹方程 D．点的轨迹方程 11．下列关于轨迹方程的说法，正确的是（    ） A．与两定点，的距离的比为的动点的轨迹方程为 B．长为2的线段的两个端点A和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点M的轨迹方程为 C．已知线段的端点的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 D．若圆的一条直径的端点分别是，.则此圆的方程是 三、填空题 12．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为__________. 13、【人教A版选择性必修一习题3.2第11题】M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，则动点M的轨迹方程为 ． 14．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 四、解答题 15、【人教A版选择性必修一第2.5.2节例6】已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系． 16．【人教A版选择性必修一习题4.4第9题改编】已知两点为定点，动点到两点的距离比是常数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 17、（1）【人教A版选择性必修一第3.3.2节例6】如图，已知定点轴于点， 是线段上任意一点，轴于点， 于点， 相交于点P，求P点的轨迹方程. （2）【人教A版选择性必修一习题3.2第10题】设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 18．【人教A版选择性必修一习题4.4第8题改编】长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动. （1）求线段的中点的轨迹的方程； （2）当时，曲线与轴交于两点，点在线段上，过作轴的垂线交曲线于不同的两点，点在线段上，满足与的斜率之积为，试求与的面积之比. 19．【人教A版选择性必修一第3.3.2节P138练习第5题改编】已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，记点． (1)求的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $