精品解析：贵州贵阳雅礼高级中学(贵阳市第九中学)2027届高三上学期10月考试数学试题

贵阳雅礼高级中学（贵阳市第九中学）2027届高三10月考试 数学科目试卷 2026年10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 4. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 7. 已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc的取值范围是 A. （1，10） B. (5，6) C. (10，12) D. (20，24) 8. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与互斥，则 C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D. 数据的第百分位数为 10. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 11. 已知函数的部分图象如图所示，且点和最低点在曲线上，则（ ） A. B. 点为曲线的一个对称中心 C. 将曲线向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称 D. 函数在上的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_______________ 13. 设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是________. 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 17. 四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点在线段上，且，求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳雅礼高级中学（贵阳市第九中学）2027届高三10月考试 数学科目试卷 2026年10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以； 由，所以. 所以. 2. 复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，从而得到，再计算其模. 【详解】因为，所以， 则，所以. 故选：B 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】由向量点的坐标先求出.和的坐标，再由两垂直向量数量积为0建立等式，从而求得参数的值. 【详解】， ∵， ∴，即 ∴ ∴或. 故选：D. 4. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为， 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】，，，，， ，所以. 故选：C 6. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 7. 已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc的取值范围是 A. （1，10） B. (5，6) C. (10，12) D. (20，24) 【答案】C 【解析】 【详解】作出函数f（x）的图象如图， 不妨设a＜b＜c，则 则abc=c∈（10，12） 8. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与互斥，则 C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D. 数据的第百分位数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断A；根据互斥的定义求解概率判断B；根据方差、标准差、极差的概念判断C；根据百分位数的求法求解判断D. 【详解】选项A：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立，故A为真命题； 选项B：若与互斥，则和不能同时发生，即，因此，故B为真命题； 选项C：方差、标准差反映数据与均值的偏离程度，极差最大值减最小值反映数据的波动范围，三者均能刻画数据的离散程度，故C为真命题； 选项D：数据共个，计算第百分位数为整数， 因此第百分位数为第个数与第个数的平均值，即，故D为假命题. 故选：ABC 10. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 11. 已知函数的部分图象如图所示，且点和最低点在曲线上，则（ ） A. B. 点为曲线的一个对称中心 C. 将曲线向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称 D. 函数在上的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出的值，根据以及可得出的值，可判断A选项；结合图象求出的值，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；求出平移后的函数解析式，利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求其值域，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由最低点，则， 而，得，由，则，故A选项正确； 对于B选项，由图可知，点为函数的图象的最低点， 根据五点作图法可知，则， 设函数的最小正周期为，则，即，所以， 故，所以，所以， 因为，所以点为曲线的一个对称中心，故B选项正确； 对于C选项，曲线向右平移个单位长度得到， 为奇函数，关于原点对称，故C选项错误； 对于D选项，， 由，得，则， 则，故D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_______________ 【答案】12 【解析】 【分析】写出的展开式的通项，令的指数等于3和1，即得展开式中的系数. 【详解】的展开式的通项. 令和，可得的系数为. 故答案为：12. 【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题. 13. 设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为在区间上是严格减函数，而在上单调递增， 令，则在上单调递减， 又开口向上，对称轴为， 所以，则. 故答案为：. 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. ［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 即， 所以 . 因为，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系结合等比数列的通项公式求解即可； （2）结合（1）可得，利用裂项相消即可求出. 【小问1详解】 因为 所以令，可得， 解得. 当时，， 则，即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 略. 16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 17. 四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点在线段上，且，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接,因侧面平面，平面平面, 又为等边三角形，点是的中点，则,则平面, 又平面,则. 因四边形为直角梯形，，，，， 则,由可得, 又因点为的中点，则,故,因平面, 则得平面. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)先利用面面垂直的性质推出平面，得，再由勾股定理证明，继而推得，根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）依题意建系，写出相关点的坐标与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）利用点到平面的距离的向量公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图取的中点，连接，易得，则， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系； 则， 故. 因平面，则可作为平面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面所成角为， 则； 【小问3详解】 依题意，点是的中点，则，，平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，结合的坐标运算列方程求解即可. （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，求出和点到直线的距离，代入面积公式并化简得，利用二次函数性质求解最大值即可. 【小问1详解】 因为在上，所以①． 由题意知，所以． 由，得，解得②． 由①②联立解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在． 设其方程为，联立消得． 由，得③． 如图，设， 则． 所以，则． 所以，代入③得， 所以． ， 点到直线的距离， ， ． 当时，最大，最大值为． 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②由知，，且， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，求导得， 由函数在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，利用极值点个数及一元二次方程实根分布列式求出范围；由①中信息求出，借助分析法构造函数，再利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 令函数，由恰有两个极值点， 得方程有两个不等的正实根，即， 则有，解得，所以的取值范围是. 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $