贵州贵阳市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级质量监测（二）数学试卷

贵阳一中2026—2027学年第一学期高三年级质量监测（二）试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的． 1．样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知，则（ ） A．2 B．4 C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，已知三边，，满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，，则（ ） A． B． C． D． 6．在活动筹备过程中，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（ ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 7．若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列满足，，设其公比为，前项和为，则（ ） A． B． C． D． 10．设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 11．双曲线的左、右焦点分别为，，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．若的延长线交轴于点，则 B．点的轨迹在圆上 C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，且，则________． 13．若函数在处有极值，则的极大值为________． 14．已知正方体的棱长为2，以为轴的圆柱在正方体内部，且圆柱的底面所在平面截正方体所得截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． （1）求的最大值及取得最大值时的值； （2）若方程在上的解为，，求的值． 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为4，为的中点，平面． （1）若为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的余弦值． 17．设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 18．某实验小组有两套实验装置A和B．每次实验时，若当前使用的装置实验成功，则下一次继续使用该装置，若实验失败，则下一次自动切换至另一装置，每个装置的工作相互独立．已知A装置实验成功的概率为，B装置实验成功的概率为．实验成功记1分，失败记0分，第1次实验使用装置A． （1）求前三次实验中总得分为2分的概率． （2）设为第次实验使用A装置的概率． （i）求； （ii）已知：若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则．记为前次实验中使用A装置试验的次数，求． 19．已知点为椭圆上一点．过原点的直线交椭圆于，两点（异于点），且直线与直线都存在斜率分别为，， （1）求证：为定值． （2）若， （i）求三角形面积的最大值． （ii）若点，在椭圆上，且，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三年级第一学期数学第二次月考参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.D 2.B 3.D 4.A 5.c 6.B 7.D 8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ABD 10.BCD 11.BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 5 45 12.5 13.e 14.9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 f(x)=cosxsinx-- 15.解(1) (o 2 cos 2x=sin 2-引 …2分 2x-T=T+2km(keZ）x= 当32 即无=12π+km(k∈Z) 时 函数f()取最大值，且最大值为1.… …6分 x-+(keZ） 所以函数f(x)图象的对称轴为=122 5 11π x= 当x∈(0，π时，对称轴为12或12. 又方程 3在(0，π)上的解为￥，5. 出+污 11元 6(易证 X1+x2=1 6不合题意)，…9分 则 o(6-5-com8-2m26引 女m)广 16.解(1)：正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点， .PE=PB.sin/PBE AB.sin60=23 又PE⊥平面ABCD, ·四棱锥P-ABCD的体积 mg425-2 7分 (2)如图，连接EF, :PE⊥平面ABCD EF,ABc平面ABCD, ∴.PE⊥EF,PE⊥AB, 又平面ABCD为正方形， E,F分别为AB,CD的中点， ∴.EF⊥AB, ∴.AB,EF,PE两两垂直. 以E为坐标原点，EB,EF,EP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则C(24,0）,4(-2,00）,D(-2,4,0)」 :PE⊥平面ABCD,PF与平面ABCD所成角为∠PFE, .∠PFE=45°，… …10分 ∴PE=EF·∠PFE=4,P(O,0,4) .PC=(2,4,-4)AD=(0,4,0) 设PC与AD所成的角为B,则 PC.AD 162 cosθ PCAD 6×43 2 即PC与AD所成角的余弦值为3. …15分 17.【详解】(1)由题意，函数8()的定义域为(0，+∞）. g()在(0，+0)上单调递减， 8'(x)=1 2-1≤0有0，+0上恒成立 1 即当x∈(0，+oo)a≤x+ .a≤x+ x恒成立， :当∈(0+∞）x+≥2 x,当且仅当x=1时取等号， .当x=1时， (+3m=2 .a≤2 0的取值范围为(-0,2] …7分 (2)显然x=1不是f()的零点， :f(x)=0→alnr+1=0今a=-1 xInx. h(x)=- W(x)=1+inx xnx,x>0且x≠1，则 (xInx)2 0=r[jULo)0rog 由 a)mA的袋t日：a网e.0间0 :.h(x)的图象如图： e h(x) .0<a<e时， f()零点个数为0： a=e时，f(）零点个数为1： a>e时，f()零点个数为2 … …15分 18.【详解】(1)设前三次实验中总得分为2分为事件A,则 小-6号号g号品 … …5分 aota,R-1R-+-0-) 可得 1 可知数列( n- 是以首项为3，公比为2的等比数列， n 1 则 .=3+3x2 所以 …11分 L,第次使用装置实验 X:=1 0,第i次不使用装置A实验 X=>X (i)由题设随机变量 则 2(n+1）1 3 1- 3 3×2n 所以 2 .……17分 19.(1)由题意：直线过原点，设A(,),B(-,-) k=必-1 飞=出 则x-2 -x,-2 k6,=为-x为-1-1- -× 所以得： 2x0-2-x0-24-x6. C: 又因为点4（长），P21在精C言+方=1a>>0L 4-5+1-=0 所以两式相减得： a2 1-62 一为定值5分 所以： 41 (2)点P(2,1在稀圆上.a+家 b21 kk2=- 由得 =2,即：a2=2b c+2-i 解得a2=6,b=3,椭圆方程·6T3 …7分 (i)法一：设则△PAB面积为S,点P到直线的距离为d 直线1不存在斜率，易得△PHB面积5)1×1×2V3×2=2 C.2 2)若直线l存在斜率，不妨设斜率为K,则直线方程为y=k。x,与椭圆63联立得： 6 6 6 A (2+1)x2-6=0 x2= 解得 2k后+1不妨设 V2+1V2+1 48-22g+1 6 6 =2 6k6+6 d=2%。-1 V2k+1 V+1 s-2副 6k3+6x2k。-I=6 2k。-1)2 V2k+1 令M=2。-_4然-46，+1-2-46，+1 2k+12k+1 2k+1 由分式性质可得：当，=-时，M取得最大值3，此时△PAB面积S取得最大值3V2 综上，三角形△PAB面积S最大值为3V2 法二：三角形△PAB面积S=2S0=k,1-2%H,-2 因为6+2听=6」 则-2yf=(+(2)V2%≤0+20G+2g)=18 所以S=。-2sV18=3W2 xo v2yo 当且仅当12，即。=-%时，即。=±W2时，面积最大值为3V2 …12分 (i)设点M(,h),N(:,)】 若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=G+m, 代入椭圆方程消去y并整理得.（1+2k2)r2+4mx+2m2-6=0 可得考+书 4km 2m2-6 1+2k2，为= 1+2k2 因为PM⊥PN,所以PM.PN=0,即(：-2)(x-2)+(y-1)(y2-1)=0 根据片=+m,为=，+m,代入整理可得： (k2+1)xx2+(m-k-2)(x+2)+(m-l1)2+4=0 4km +(m-1)2+4=0 所以 ++-架 整理化简得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0 因为P(2,1不在直线MN上，所以2k+m-1≠0， 故2k+3m+1=0,k≠1， 于是MN的方程为 =引 所以直线过定直线过定(3人 当直线MN的斜率不存在时，可得V(G,-片)】 由PM·PN=0得：(x-2)(x-2)+(y-1(-y-1)=0 至+生=1 得(G-2)+1-片=0，结合6+3可得：3-8x+4=0, 2 解得： 3或=2（舍） E 21 此时直线MN过定点 33 所以DE·DP=0, 即D点轨迹是以线段PE为直径的圆（不包含点P), 41 易得圆心为3’3 即D点轨迹方程为： x+-x*2) …17分