精品解析：贵州毕节市黔西市部分学校2026-2027学年高三上学期10月素养训练数学试题

高三素养训练 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的所有极值点之和为，则的所有极值点之积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 6. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的最小值为 B. C. 在上无最大值 D. 的图象关于点对称 10. 若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的取值范围为 C. 的最小值为16 D. 的取值范围为 11. 若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 13. 若，，则______，______. 14. 已知函数若函数恰有8个零点，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数与的最小正周期相等． （1）求； （2）求的最大值； （3）求的单调递增区间． 16. 如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点． （1）求． （2）证明：． （3）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． （1）求这单花艺作品达到设计标准的概率； （2）若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） （3）求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 18. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）证明：曲线在点处的切线除切点外恒在曲线的上方. 19. 已知抛物线的焦点为，点在上，（为坐标原点），的面积为1． （1）求的方程． （2）设的准线与轴的交点为，过的直线与交于，两点，若斜率为3的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且． （ⅰ）证明：，两点的纵坐标之积为定值． （ⅱ）求在轴上的截距的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三素养训练 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】比较与的大小，再判断两个条件之间的推出关系. 【详解】因为，所以， 当时，必有，充分性成立， 当时，满足，但不满足 ，必要性不成立， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式，结合分母不为零的限制条件求解解集. 【详解】首先对不等式移项，得，通分后整理分子： ， 即不等式等价为，进一步变形为，同时需满足分母不为零，即. 根据分式不等式的等价转化规则，上述不等式等价于， 解一元二次不等式得或， 结合的限制，最终解集为. 3. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质确定及在上的单调性和的值，分、、三种情况转化不等式，结合单调性即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且， 又在上单调递增，所以在上也单调递增， 且，对不等式分情况讨论： 当时，，满足不等式； 当时，等价于，由在上单调递增，，得； 当时，等价于，由在上单调递增，，得； 综上，不等式的解集为. 4. 若函数的所有极值点之和为，则的所有极值点之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据单调性求出极值点，再根据条件列方程求解. 【详解】因为，所以， 若，则，则在上单调递增，无极值点，不符合题意； 若，则得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的所有极值点为，故，得， 故的所有极值点之积为； 同理，若，的所有极值点为，都小于0，不符合题意， 综上，的所有极值点之积为. 5. 若函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】先由换元法求出的解析式，然后求导，利用导数的几何意义求解． 【详解】设，得， 则，得， 则， 令，得， 得． 从而曲线在点处的切线斜率为． 6. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 由于， 故 ， ， 故， ， 故 故中有4个元素. 7. 在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 8. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式两边平方后参变分离转化为有解，即，设，通过导数判断函数的单调性，求出函数最值即可得到的取值范围，进一步得到的取值范围. 【详解】由题意知，，对原不等式两边同时平方得，整理得：； 设，则 设，求导得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为，即恒成立，故的符号仅由决定. 设，求导得：， 当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增； 又，，因此存在唯一使得，即； 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增. 若，，则 因此的最小值为， 所以，又，所以， 即的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的最小值为 B. C. 在上无最大值 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查正弦型三角函数的性质，结合正弦函数的值域、函数值计算、最值求解、对称中心判定的相关方法逐一分析选项即可． 【详解】选项A：正弦函数的值域为， 因此的值域为，最小值为，A正确； 选项B：计算得，， 故，B错误； 选项C：当时，，当即时， 取得最大值2，C错误； 选项D：正弦函数的对称中心满足相位为， 令，解得，取得， 此时，故图象关于点对称，D正确． 10. 若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的取值范围为 C. 的最小值为16 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题结合等式，考查变量取值范围求解、二次函数最值、基本不等式的应用，逐个分析选项判断正误即可求解． 【详解】选项A：设，则，由已知得， 代入得 令，则，这是开口向下的二次函数，对称轴为，最大值为，故最大值为，A正确； 选项B：由得，又，故，取不到，B错误； 选项C：利用乘1法，， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，代入原式可解得，满足条件， 故最小值为，C正确； 选项D：由得，即， 故，D正确． 11. 若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】采用赋值法求解，通过对赋予特殊值先计算特殊点的函数值，排除错误选项，再推导得到的解析式，进一步验证函数的奇偶性、值域，判断剩余选项是否正确. 【详解】令，得，得或． 令，得，则，所以，A错误． 令，得，所以，B正确． 令，得，则，所以是偶函数， 的值域为，C，D均正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用分数指数幂的运算法则计算等式右侧，再根据对数的定义求出. 【详解】由，得. 根据对数的定义，得. 13. 若，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【详解】， . 14. 已知函数若函数恰有8个零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令，函数，根据与直线的交点的个数，再分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】令，函数， 当时，在单调递减，且， 当时，，所以在单调递增，在单调递减，且， ，，，， 所以如图所示， 与直线在有3个交点，在有2个交点，在有1个交点， 若，则或，解得或或， 当时，因为，所以与直线有个交点， 当时，因为所以，与直线有个交点， 当时，与直线有个交点 因为，不符题意，舍去； 若，则或，解得， 当时，则与直线有个交点， 当时，则与直线有个交点，当时，则与直线有个交点， 因为，符合题意； 若，则或，解得， 当时，则与直线有个交点，当时，与直线有个交点， ，不符题意，舍去； 若，则或，解得或， 当时，则与直线有个交点，当时，与直线有个交点， ，不符题意，舍去； 若，则，解得， 当时，与直线有个交点，不符题意，舍去， 综上所述，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数与的最小正周期相等． （1）求； （2）求的最大值； （3）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式，及辅助角公式化简，再根据三角函数的周期公式即可求出的值； （2）先根据复合函数的求导法则求出，进而结合余弦函数的性质即可求出的最大值； （3）利用整体的思想，及正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间． 【小问1详解】 由， 又与的最小正周期相等，则，解得． 【小问2详解】 结合（1）得，则， 又，则， 所以的最大值为． 【小问3详解】 结合（1）得， 令，， 则，， 所以的单调递增区间为． 16. 如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点． （1）求． （2）证明：． （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明：取的中点，连接，．因为为正三角形，所以． 根据三棱台的性质可得． 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，． 因为，， 所以，则，即 （3）． 【解析】 【详解】（1）解：因为为正三角形，所以根据三棱台的性质可得为正三角形， 由，，得的面积，的面积， 所以三棱台的体积，解得． （2）略 （3）解：连接，且． 设平面的法向量为， 则，， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 因为为锐角，所以，即直线与平面所成角的余弦值为． 17. 某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． （1）求这单花艺作品达到设计标准的概率； （2）若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） （3）求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用全概率公式计算出单花艺作品达到设计标准的概率即可； (2)利用全概率公式计算出单花艺作品未被客户采纳的概率,再利用贝叶斯公式计算该单花艺作品是中式花艺作品的概率； (3)利用全概率公式计算这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率； 【小问1详解】 设事件：这单花艺作品达到设计标准,事件: 抽取一单花艺作品为中式花艺作品， 事件: 抽取一单花艺作品为现代花艺作品，那么 . 【小问2详解】 设事件：单花艺作品未被客户采纳，那么 ， 所以，若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率为 ; 【小问3详解】 设事件：单花艺作品达到标准且被客户采纳,那么 . 18. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）证明：曲线在点处的切线除切点外恒在曲线的上方. 【答案】（1） （2）因为，故曲线在处的切线方程为：， 即， 令，则，， 令，则， 则当时，恒成立，所以单调递增，又因为， 所以当时，，即，则单调递增， 即，即； 当时，，即，则单调递减， 即，即， 综上：恒成立，当且仅当时等号成立， 即曲线在点处的切线除切点外恒在曲线的上方. 【解析】 【分析】（1）先化简，求导分析单调性求出最小值，极限确定取不到1，即可得到函数的值域； （2）写出切线方程，构造切线与原函数的差函数，通过再构造新函数求导研究单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在取到最小值为， 又当时，，且，故的值域为. 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线的焦点为，点在上，（为坐标原点），的面积为1． （1）求的方程． （2）设的准线与轴的交点为，过的直线与交于，两点，若斜率为3的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且． （ⅰ）证明：，两点的纵坐标之积为定值． （ⅱ）求在轴上的截距的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由（1）知，． 设直线的方程为，，． 由消去得， 所以，，则，两点的纵坐标之积为定值． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设，根据的面积为1列方程求即可得到的方程. （2）（ⅰ）设直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立消元后得到一元二次方程， 由韦达定理证明结论. （ⅱ）将通过斜化直转化为，将直线联立得到， 代入后利用函数性质求在轴上的截距的取值范围. 【小问1详解】 易知． 因为的面积为1，所以， 解得， 故的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解：直线的方程为， 设的方程为，，． 由得，． 设．由得． 因为，所以， 则，即 即 ， 又，，所以 ， 化简得． 易知，所以． 因为（当时，等号成立）， 所以，解得或且． 故在轴上的截距的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $