第34课时4.4.2对数函数的图象和性质第一课时导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦对数函数的图象和性质，引导学生掌握定义域、值域、单调性、定点等核心特征，通过表格梳理性质与知识拓展衔接底数对图象位置的影响，以指数函数为前导构建学习支架。 资料设置分层训练适配不同学生需求，典例精析提炼方法技巧，注重数形结合与分类讨论，助力提升直观想象和逻辑推理素养，错题反思设计促进深度学习，有效帮助学生掌握知识与解题能力。

4.4.2对数函数的图象和性质 第一课时对数函数的图象和性质 【学习目标】 ①初步掌握对数函数的图象和性质； ②会利用对数函数的单调性比较大小； ③通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养； ④借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养. 【学习重点】 掌握对数函数的图象与性质，会运用图象变换、单调性解决定点、比较对数值大小、求解对数不等式等相关问题 【学习难点】 辨析底数对对数函数图象与单调性的影响，解决对数不等式时兼顾定义域与底数分类讨论，灵活运用数形结合思想处理对数型复合函数问题 一、核心知识梳理（必背必会） 1.对数函数的图象和性质 项目 图象 定义域 ______ 值域 ____ 单调性 在单调递增 在单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 过定点______ 函数值特点 当时，_______；当时，________ 当时，________；当时，________ 对称性 函数与的图象关于____对称 2.知识拓展：底数的大小与图象位置的关系 无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数________. （1）上下比较：在直线右侧，时，越大，图象越靠近____；时，越小，图象越靠近____. （2）左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数____. 二、典例精析 题型1对数函数的图象和性质 类型1对数型函数的图象 例1（1）函数（，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 方法技巧：由函数解析式确定函数图象的快速排除技巧 （1）选项对比法：对比选项间的差异点（如定点位置、单调性、对称性），通过分析函数性质直接排除错误选项； （2）极限分析法：当x→0+、x→0−、x→+∞、x→−∞时，分析函数的取值趋势，匹配选项中的图象走向； （3）特殊值代入法：选取易计算的特殊值代入函数，验证选项中的图象是否经过该点或符合函数值大小关系. （2）由函数图象，画出下列各函数图象 ①；②；③；④；⑤ 方法总结：函数图象的变换规律 （1）作的图象时，保留轴及右侧的图象不变，去掉轴左侧图象，将轴右侧图象翻折到左侧作为左侧图象； （2）作的图象时，保留的轴及上方图象不变，把轴下方图象翻折到上方； （3）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律； （4）与的图象关于轴对称，与的图象关于轴对称，与的图象关于原点对称. 类型2对数型函数过定点 例2函数（，且）过定点，则______ 方法总结：对数型函数过定点通用方法（对数形式：） （1）令真数，解出自变量， （2）将代入原式，此时，得， （3）定点就是 题型2比较对数值的大小 例3（1）若，则（ ） A. B. C. D. （2）若，则（ ） A. B. C. D. （3）若，则（ ） A. B. C. D. 反思领悟：比较对数值大小常用方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较； （2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论； （3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较； （4）若底数与真数都不同，则常借助1或0等中间量进行比较. 题型3解对数不等式 例4.解不等式 （1）； （2）（，且） 反思领悟：常见的对数不等式 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论； （2）形如的不等式，应先将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可利用图象求解； （4）解对数不等式不能忽略对数函数的定义域. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知集合，，则（） A． B． C． D． 2．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移1个单位长度 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（    ） A． B． C． D． 7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向______平移______个单位． 答案： 上 3 8．已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【能力提升】（多数必做） 9．函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． C． D． 10．若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若，则实数的取值范围是__________. 12．函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数． (1)求； (2)求不等式的解集． 四、课时小结 本节课学习对数函数的图象与性质，认识了对数函数的定义域、值域、定点、单调性等核心特征，掌握平移、对称、翻折这几类对数函数图象变换规律。通过典型例题，学会求解对数型函数过定点问题；能利用函数单调性、中间量法完成对数值大小比较；解对数不等式时要优先考虑真数大于 0 的定义域限制，底数不确定时需分类讨论底数两种情况。做题要善用数形结合，注意对数复合函数中定义域、单调性、图象变换的易错点. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.2对数函数的图象和性质 第一课时对数函数的图象和性质 【学习目标】 ①初步掌握对数函数的图象和性质； ②会利用对数函数的单调性比较大小； ③通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养； ④借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养. 【学习重点】 掌握对数函数的图象与性质，会运用图象变换、单调性解决定点、比较对数值大小、求解对数不等式等相关问题 【学习难点】 辨析底数对对数函数图象与单调性的影响，解决对数不等式时兼顾定义域与底数分类讨论，灵活运用数形结合思想处理对数型复合函数问题 一、核心知识梳理（必背必会） 1.对数函数的图象和性质 项目 图象 定义域 值域 单调性 在单调递增 在单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 过定点 函数值特点 当时，；当时， 当时，；当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2.知识拓展：底数的大小与图象位置的关系 无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. （1）上下比较：在直线右侧，时，越大，图象越靠近轴；时，越小，图象越靠近轴. （2）左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 二、典例精析 题型1对数函数的图象和性质 类型1对数型函数的图象 例1（1）函数（，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 答案：B 思路分析：观察四个选项，通过分析过定点和对称性确定正确图象. 规范解答：因为，，可知，所以， 即图象过定点，可排除选项C、D； 又图象关于轴对称，函数由向左平移个单位得到， 所以图象关于直线对称，因为，所以对称轴在轴左侧，即A错B对. 方法技巧：由函数解析式确定函数图象的快速排除技巧 （1）选项对比法：对比选项间的差异点（如定点位置、单调性、对称性），通过分析函数性质直接排除错误选项； （2）极限分析法：当x→0+、x→0−、x→+∞、x→−∞时，分析函数的取值趋势，匹配选项中的图象走向； （3）特殊值代入法：选取易计算的特殊值代入函数，验证选项中的图象是否经过该点或符合函数值大小关系. （2）由函数图象，画出下列各函数图象 ①；②；③；④；⑤ 思路分析：根据对数函数基础图象的过定点、单调性和渐近线，结合对称变换、翻折变换、平移变换等作图. 规范解答： 函数在定义域上单调递增，经过定点，当时， （1），如图 ②，如图 ③ ④ ⑤，如图， 方法总结：函数图象的变换规律 （1）作的图象时，保留轴及右侧的图象不变，去掉轴左侧图象，将轴右侧图象翻折到左侧作为左侧图象； （2）作的图象时，保留的轴及上方图象不变，把轴下方图象翻折到上方； （3）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律； （4）与的图象关于轴对称，与的图象关于轴对称，与的图象关于原点对称. 类型2对数型函数过定点 例2函数（，且）过定点，则______ 答案：7 思路分析：令对数的真数等于1，此时对数项直接等于0，函数值就与a无关，得到定点，进而求解. 规范解答 令，解得， 把代入函数解析式，得到， 所以函数过定点，即，. 方法总结：对数型函数过定点通用方法（对数形式：） （1）令真数，解出自变量， （2）将代入原式，此时，得， （3）定点就是 题型2比较对数值的大小 例3（1）若，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 思路分析：分别用对数函数单调性比较和，得到正确选项. 规范解答：，因为函数在单调递增，， 所以，即； 又，函数在单调递增，， 所以，即； 综上，. （2）若，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 思路分析：三个对数不同底，可通过中间量搭桥比较大小. 规范解答： 因为函数在单调递减，和在单调递增， 且，所以，， 即，所以. （3）若，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 思路分析：三个数都介于0,1之间，且不同底，可以化为同底，利用坐商比较. 规范解答： 因为，所以，得，即， 又，所以，得，即， 所以； 因为，所以，得，即， 又，所以，得，即， 所以； 综上，. 反思领悟：比较对数值大小常用方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较； （2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论； （3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较； （4）若底数与真数都不同，则常借助1或0等中间量进行比较. 题型3解对数不等式 例4.解不等式 （1）； 思路分析：先利用对数运算性质化简不等式，再利用对数函数的单调性解不等式. 规范解答： 因为， 所以原不等式即， 由对数函数定义域及对数函数单调性，可得，解得， 所以不等式的解集为 （2）（，且） 思路分析：先化简不等式，再分类讨论底数，利用函数的单调性解不等式. 规范解答： ，， 原不等式即 ①当时，是增函数，结合对数函数定义域， 可得，解得，即 ②当时，是减函数，结合对数函数定义域， 可得 ，解得，即， 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 反思领悟：常见的对数不等式 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论； （2）形如的不等式，应先将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可利用图象求解； （4）解对数不等式不能忽略对数函数的定义域. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知集合，，则（） A． B． C． D． 答案：B 解析：由，得：， 根据对数函数的性质，底数， 所以函数在上单调递增， 所以， 因此，集合； 由，可得：； 所以，. 2．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移1个单位长度 答案：A 解析：函数， 所以把函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 5．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 答案：A 解析：利用换底公式将c转换为自然对数形式，. 比较a和b：两边同乘正数12得.，，因为，即，因此 比较b和c：两边同乘正数得.，因为，即，因此 综上大小关系为： 6．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：对于A：和的图像关于直线对称（属于翻折的一种对称变换），沿翻折就能和重合，A错误； 对于B：，把它的图像沿轴翻折，就得到的图像，B错误； 对于C：，这是指数型函数，且底数为、自变量带线性变换，它和对数函数不是通过平移、翻折能互变的类型：平移/翻折不会把指数型函数变成对数函数（二者凹凸性、单调性变化规律、定义域值域结构都无法通过平移翻折统一），无论怎么平移、沿坐标轴翻折，都不能和重合，C正确； 对于D：，先沿轴翻折得到，再向上平移1个单位，就得到，D错误． 7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向______平移______个单位． 答案： 上 3 解析：由， 则只需将函数的图像向上平移3个单位即可得到. 8．已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 解析：（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 【能力提升】（多数必做） 9．函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由已知函数的图象可以看出的值域为. 又因为对于，当，时，. 所以函数图象总在轴下方，当时，函数值为0. 所以只有选项C正确. 10．若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 11．若，则实数的取值范围是__________. 答案： 解析：满足底数且， 由，可得或，结合且，可得， 故由，可得，即，解得或， 故实数的取值范围是. 12．函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 答案： 解析：若，则， 因为在区间上恒成立，所以， 因为均在上单调递增， 所以， 因为均在上单调递增， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由 可得， 则，即， 得（舍）或，得， 故不等式的解集为. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 14．已知函数． (1)求； (2)求不等式的解集． 解析：（1）因为函数，所以，， ， 所以 . 因此. （2）要使函数有意义，则，即，得；    又由，可知， 根据对数函数的性质，得，，，，解得， 所以不等式的解集为， 因此不等式的解集为. 四、课时小结 本节课学习对数函数的图象与性质，认识了对数函数的定义域、值域、定点、单调性等核心特征，掌握平移、对称、翻折这几类对数函数图象变换规律。通过典型例题，学会求解对数型函数过定点问题；能利用函数单调性、中间量法完成对数值大小比较；解对数不等式时要优先考虑真数大于 0 的定义域限制，底数不确定时需分类讨论底数两种情况。做题要善用数形结合，注意对数复合函数中定义域、单调性、图象变换的易错点. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $