4.3 对数 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版数学必修第一册

4.3 对数

知识点梳理 · 人教A版 必修第一册 第四章

一体两译 · 五译定则版式

对应教材 P122—P126 ｜ 4.3.1 对数的概念（P122—P123）、4.3.2 对数的运算（P124—P126）

★ 本课分数集中在三处：一是指数式与对数式的互化——它是全篇的总开关，后面每一道题都要先「翻一次面」才能动手；二是三条运算性质——乘变加、除变减、指数搬前面，什么时候能拆、什么时候不能拆，全看这三条；三是换底公式——计算器上只有 lg 和 ln，别的底不换成这两样就算不出数。

4.2 的末尾留下了一个没做完的题：B 地景区的游客人次满足 y = ，顺着算能求出「x 年后是 2001 年的几倍」；可反过来问「经过多少年是 2001 年的 2 倍」，就卡住了——那要解 = 2，已知底数和幂，求指数。前面学过的一切运算在这里都不够用。这一课要给这件事造一门新写法。

本课地图 · 五译一览

 

译一 · 从算不出的方程里认出需求

教材先把 4.2.1 那道游客人次的题拿回来。B 地景区从 2001 年起游客人次的年增长率约为 0.11，所以经过 x 年后的人次是 2001 年的 y 倍，y = 。顺着算没问题：想知道 4 年后是

几倍，把 x = 4 代进去就行。可要是反过来问：经过多少年，人次才达到 2001 年的 2 倍？那就要从 2 = 里把 x 解出来。

先看这件事的性质：已知什么、求什么

把前面学过的运算摆在一起看，就能发现缺口在哪里。一个幂 = N 里有三个数：底数 a、指数 x、幂 N。知道其中两个求第三个，用到的运算并不一样。

 

第一类问题初中就会做，第二类问题 4.1 学根式时也解决了。第三类问题才是新的：底数已经知道，幂也摆在那里，偏偏指数藏在上面不知道。

 

教材把这件事一句话说透：上述问题实际上就是从 2 = 、3 = 、4 = 、… 中分别求出 x，即已知底数和幂的值，求指数。既然前面两种运算都办不到，就得给这个「求出来的数」起个名字、定个记号。

一译一记：指数与对数是一体两面——凡是「已知底数和幂、求指数」的问法，答案就用对数来表示，比如 = 2 的解记作 x = 。

译二 · 把同一个关系写成两种样子

教材给出的定义是一句话，读的时候要盯住两个地方：谁规定、谁被规定。

定义（对数）  一般地，如果 = N（a > 0，且 a ≠ 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 「log」是 logarithm（对数）的缩写。

 

定义反过来读一遍就明白了： = N 与 x = 是同一个关系的两种写法。左边那种叫指数式，右边那种叫对数式，两个式子里底数 a 始终不动，只是另外那两个数换了岗位、换了称呼。

 

动笔写对数式之前的三条提醒

 

两种特殊对数：底数换成 10 和 e

实际计算中，用得最多的是两种底。以 10 为底的对数叫常用对数，记作 lg N；以无理数 e = 2.718 28… 为底的对数叫自然对数，记作 ln N。教材特别设了一个「实践」栏，让同学们上网查一查 e 是怎样一个数。

 

例 1（教材 4.3.1 例 1）：指数式与对数式的互化

把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1） = 625；（2） = ；（3） = 5.73；（4） = −4；（5）lg 0.01 = −2；（6）ln 10 = 2.303。

教材 4.3.1 例 1 的六个小题与其答案（第一列是原题里的小题号）