第16讲函数的应用讲义（二）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第16讲 函数的应用（二） 课后作业 附解析 15 模块四 指对函数的零点问题 11 模块三 多零点问题 9 模块一 函数的零点与方程的根 1 模块二 二分法 5 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第16讲 函数的应用（二） 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程的根、函数图象与 x 轴交点之间的关系。 2. 理解零点存在性定理的条件与结论，能用它判断函数在给定区间上零点的存在性。 3. 了解二分法的原理，会用二分法求函数零点的近似值，并能按给定的精确度控制计算次数。 4. 能根据实际问题的数据特征，建立并运用一次、二次、指数、对数等函数模型解决简单的实际问题，体会数学建模素养。 模块一 函数的零点与方程的根 知 识 点 睛 （一）函数的零点与方程的解 1. 零点的概念：对于函数 y = f(x)，把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f(x) 的零点。 注意：零点是实数，不是坐标点。 2. 三个等价关系：方程 f(x) = 0 有实数根 ⟺ 函数 y = f(x) 的图象与 x 轴有交点 ⟺ 函数 y = f(x) 有零点。 3. 求零点的方法： ①代数法，令 f(x) = 0 解方程； ②几何法，对于不易求解的方程，可画出 y = f(x) 的图象，观察它与 x 轴交点的横坐标。 （二）零点存在性定理 定理：如果函数 y = f(x) 在区间 [a, b] 上的图象是一条连续不断（不间断）的曲线，并且有 f(a)·f(b) < 0，那么函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内至少存在一个零点，即存在 c ∈ (a, b)，使 f(c) = 0。 说明：①定理要求函数在闭区间上连续，且两端点函数值异号，二者缺一不可。②该定理只能保证零点"存在"，不能给出零点的个数；若函数在区间上还单调，则可断定零点唯一。③f(a)·f(b) > 0 时，区间内也可能存在零点，定理不能排除。 热 点 题 型 归 纳 【例1】（单选）函数的零点所在区间为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 【练习1】 （单选）函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由复合函数的单调性知，是增函数， 所以至多有一个零点. 又，，，，， 所以，由函数零点存在定理知， 在上有唯一的一个零点，即的零点所在的区间为. 故选：D. 【练习2】 （单选）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，由函数在区间上有零点， 得即解得.因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【例2】 函数的零点在区间内，则正整数_____________. 【答案】2 【解析】因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 因为， 则， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是，所以． 故答案为：. 【练习3】 函数的零点 ，则的值为_______. 【答案】4 【解析】函数都是单调递增函数， 故是单调递增函数， 又，， 故的零点在 ， 故 ， 故答案为：4 模块二 二分法 知 识 点 睛 定义：对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f(a)·f(b) < 0 的函数 y = f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 二分法求方程近似解的步骤（给定精确度 ε）： 第一步，确定区间 [a, b]，验证 f(a)·f(b) < 0，给定精确度 ε； 第二步，求区间 (a, b) 的中点 x₁； 第三步，计算 f(x₁)：若 f(x₁) = 0，则 x₁ 就是函数的零点；若 f(a)·f(x₁) < 0，则令 b = x₁（此时零点在 (a, x₁) 内）；若 f(x₁)·f(b) < 0，则令 a = x₁（此时零点在 (x₁, b) 内）； 第四步，判断是否达到精确度 ε，即若 |a − b| < ε，则得到零点的近似值（此时区间 [a, b] 内的任意值均可）；否则重复第二步到第四步。 注：能用二分法求零点的函数，必须在某区间上连续且在该区间两端函数值异号（变号零点）。 热 点 题 型 归 纳 【例3】（单选）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知，对区间内，设零点为， 因，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 【练习4】 （单选） 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 【练习5】 （单选）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 模块三 多零点问题 热 点 题 型 归 纳 【例4】设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】作出函数的图象，如图所示： 因为方程有三个实数根， 即直线与的图象有三个交点， 由图象可知， 所以实数的取值范围为； 令，得，令，得或， 又因为，所以， 由题意可得，即 所以，所以， 令，则， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以,即的取值范围是. 【练习6】 若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】方程恰有4个根等价于函数与的图象 有4个公共点，画出函数与的图象， 分别求出4个临界位置，分别为与相切､经过和， 求得直线方程为+6， 所以. 故答案为：. 【练习7】 （多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】由题得，所以作出和的图象如下： 因为方程有4个不同的零点，，，，且， 所以，令，则由图可知， 故，，故C错误，AB正确， 令，则或； 令，则或，所以 所以，故D正确. 故选：ABD 【练习8】 （单选）已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数在区间上单调递减，且方程的两根为. 若时，由解得或，满足题意. 若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且. 当时，，，此时函数有两个零点，满足题意. 综上， 故选：D 模块四 指对函数的零点问题 热 点 题 型 归 纳 【例5】 （单选）设方程的根为，方程的根为，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】由题意，作图如下：  由方程的根为，则函数与的交点为； 由方程的根为，则函数与的交点为. 由函数与的图象关于对称，且直线与直线垂直， 则与关于直线对称，即，， 由题意可得：，，则，， 所以. 故选：A. 【练习9】 已知，则________________. 【答案】2 【解析】由，可得， 所以分别为直线与和的图像交点横坐标， 因为和的图像关于直线对称，如图所示， 联立方程组，解得，所以，可得, 故答案为：. 【练习10】 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 【答案】7 【解析】由方程的根为，设函数与的交点为； 由方程的根为，设函数与的交点为； 又因函数与函数互为反函数，所以两者图象关于对称， 而且直线与直线互相垂直， 则点与关于对称，则 得到； 由题意得到，则，； 所以. 故答案为：7 【练习11】（单选）设分别是函数和的零点，其中，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为分别是函数和的零点， 所以有，分别化简可得. 因为，所以. 因为与互为反函数，其图像关于直线对称，且的图像也关于直线对称， 由，令，可得，即，故. 又因，所以，因此，即. 因此，令， 设，则， 所以在上单调递增，所以，即 所以的取值范围是. 故选：B. 【练习12】（单选）已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，，因为，其中， 所以，，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 课后作业 一、单项选择题 1. 函数 的零点是（　） 2. 函数 的零点所在的区间是（　） 3. 下列函数中，在区间 [−1, 1] 上能用二分法求零点的是（　） 4. 用二分法研究函数的零点，第一次算得，得零点 ，第二次应计算函数值的自变量等于（　）。 二、多项选择题 5. 关于函数零点，下列说法正确的是（　） A. 函数 y = f(x) 的零点就是方程 f(x) = 0 的实数根。 B. 若函数 y = f(x) 在 [a, b] 上连续且 f(a)·f(b) > 0，则它在 (a, b) 内一定没有零点。 C. 任何函数都可以用二分法求其零点的近似值。 D. 函数 y = f(x) 的图象与 x 轴有交点，等价于函数 y = f(x) 有零点。 三、填空题 6. 函数 f(x) = 2ˣ − 4 的零点是 x = ______。 7. 若函数没有零点，则实数 m 的取值范围是 ______。 8. 某种放射性物质每经过 1 年衰减为原来的 0.9 倍，初始质量为 m₀，则经过 t 年后质量 y 与 t 的函数关系式为 ______，质量减半至少需要约 ______ 年。（参考数据：lg 2 ≈ 0.301，lg 0.9 ≈ −0.0458） 9. Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型： ，其中 是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，且初始评分为60，则满意度评分为65时，经过了 ______ 个月。 10. 据统计，核污水中的锶90，它每年的衰减率约为2.47%，经专家模拟估计，核污水中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，核污染区才能再次成为人类居住的安全区。设核污水中原有的锶90为 吨，经过 年后核污水中锶的剩余量为 吨，则 关于 的函数关系式为 ____________。 四、解答题 11. 已知函数（m 为实数）。 (1) 若方程 f(x) = 0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2) 若函数 f(x) 在区间 (−1, 3) 内存在零点，求 m 的取值范围。 【作业解析】 一~三、客观题答案 1. A（解 得 x = 2 或 x = 3，零点是实数而非坐标点）。 2. B。 3. C（ 连续且 f(−1)·f(1) = −1 × 1 < 0，可用二分法；A、B 两端不变号，D 无零点）。 4. B（第二次应取区间 (0, 0.5) 的中点 0.25）。 5. AD（B 错误，两端同正时也可能有零点，如 ；C 错误，须为变号零点才可二分法）。 6. 7. 。 8.；由 得，故至少约 7 年。 9. 解析：初始时 ， ，代入得 ，即 。 3个月后 ， ，代入得 ，即 ，解得 。 所以模型为 。 令 ，则 ，即 。 10. 或 。解析：每年衰减率为2.47%，即剩余率为 。经过 年，剩余量为 。 四、解答题答案 11.(1)，即 ，解得 。 (2) 当时，由分离参数得。令，则 ，代入得。 因为（当 时取等号），且当 时 ，故在 上的值域为，从而，即 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第16讲 函数的应用（二） 模块四 指对函数的零点问题 6 课后作业 附解析 8 模块三 多零点问题 4 模块一 函数的零点与方程的根 1 模块二 二分法 3 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第16讲 函数的应用（二） 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程的根、函数图象与 x 轴交点之间的关系。 2. 理解零点存在性定理的条件与结论，能用它判断函数在给定区间上零点的存在性。 3. 了解二分法的原理，会用二分法求函数零点的近似值，并能按给定的精确度控制计算次数。 4. 能根据实际问题的数据特征，建立并运用一次、二次、指数、对数等函数模型解决简单的实际问题，体会数学建模素养。 模块一 函数的零点与方程的根 知 识 点 睛 （一）函数的零点与方程的解 1. 零点的概念：对于函数 y = f(x)，把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f(x) 的零点。 注意：零点是实数，不是坐标点。 2. 三个等价关系：方程 f(x) = 0 有实数根 ⟺ 函数 y = f(x) 的图象与 x 轴有交点 ⟺ 函数 y = f(x) 有零点。 3. 求零点的方法： ①代数法，令 f(x) = 0 解方程； ②几何法，对于不易求解的方程，可画出 y = f(x) 的图象，观察它与 x 轴交点的横坐标。 （二）零点存在性定理 定理：如果函数 y = f(x) 在区间 [a, b] 上的图象是一条连续不断（不间断）的曲线，并且有 f(a)·f(b) < 0，那么函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内至少存在一个零点，即存在 c ∈ (a, b)，使 f(c) = 0。 说明：①定理要求函数在闭区间上连续，且两端点函数值异号，二者缺一不可。②该定理只能保证零点"存在"，不能给出零点的个数；若函数在区间上还单调，则可断定零点唯一。③f(a)·f(b) > 0 时，区间内也可能存在零点，定理不能排除。 热 点 题 型 归 纳 【例1】（单选）函数的零点所在区间为（ ） A B. C. D. 【练习1】 （单选）函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【练习2】 （单选）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【例2】 函数的零点在区间内，则正整数_____________. 【练习3】 函数的零点 ，则的值为_______. 模块二 二分法 知 识 点 睛 定义：对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f(a)·f(b) < 0 的函数 y = f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 二分法求方程近似解的步骤（给定精确度 ε）： 第一步，确定区间 [a, b]，验证 f(a)·f(b) < 0，给定精确度 ε； 第二步，求区间 (a, b) 的中点 x₁； 第三步，计算 f(x₁)：若 f(x₁) = 0，则 x₁ 就是函数的零点；若 f(a)·f(x₁) < 0，则令 b = x₁（此时零点在 (a, x₁) 内）；若 f(x₁)·f(b) < 0，则令 a = x₁（此时零点在 (x₁, b) 内）； 第四步，判断是否达到精确度 ε，即若 |a − b| < ε，则得到零点的近似值（此时区间 [a, b] 内的任意值均可）；否则重复第二步到第四步。 注：能用二分法求零点的函数，必须在某区间上连续且在该区间两端函数值异号（变号零点）。 热 点 题 型 归 纳 【例3】（单选）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ） A. B. C. D. 【练习4】 （单选） 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【练习5】 （单选）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A. B. C. D. 模块三 多零点问题 热 点 题 型 归 纳 【例4】设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 【练习6】 若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是__________. 【练习7】 （多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A. B. C. D. 的取值范围为 【练习8】 （单选）已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 模块四 指对函数的零点问题 热 点 题 型 归 纳 【例5】 （单选）设方程的根为，方程的根为，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【练习9】 已知，则________________. 【练习10】 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 【练习11】（单选）设分别是函数和的零点，其中，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习12】（单选）已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 课后作业 一、单项选择题 1. 函数 的零点是（　） 2. 函数 的零点所在的区间是（　） 3. 下列函数中，在区间 [−1, 1] 上能用二分法求零点的是（　） 4. 用二分法研究函数的零点，第一次算得，得零点 ，第二次应计算函数值的自变量等于（　）。 二、多项选择题 5. 关于函数零点，下列说法正确的是（　） A. 函数 y = f(x) 的零点就是方程 f(x) = 0 的实数根。 B. 若函数 y = f(x) 在 [a, b] 上连续且 f(a)·f(b) > 0，则它在 (a, b) 内一定没有零点。 C. 任何函数都可以用二分法求其零点的近似值。 D. 函数 y = f(x) 的图象与 x 轴有交点，等价于函数 y = f(x) 有零点。 三、填空题 6. 函数 f(x) = 2ˣ − 4 的零点是 x = ______。 7. 若函数没有零点，则实数 m 的取值范围是 ______。 8. 某种放射性物质每经过 1 年衰减为原来的 0.9 倍，初始质量为 m₀，则经过 t 年后质量 y 与 t 的函数关系式为 ______，质量减半至少需要约 ______ 年。（参考数据：lg 2 ≈ 0.301，lg 0.9 ≈ −0.0458） 9. Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型： ，其中 是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，且初始评分为60，则满意度评分为65时，经过了 ______ 个月。 10. 据统计，核污水中的锶90，它每年的衰减率约为2.47%，经专家模拟估计，核污水中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，核污染区才能再次成为人类居住的安全区。设核污水中原有的锶90为 吨，经过 年后核污水中锶的剩余量为 吨，则 关于 的函数关系式为 ____________。 四、解答题 11. 已知函数（m 为实数）。 (1) 若方程 f(x) = 0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2) 若函数 f(x) 在区间 (−1, 3) 内存在零点，求 m 的取值范围。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $