江苏省南京市2026—2027学年苏科版八年级数学上册期中考试模拟卷（第1章～3章）

江苏省南京市2026—2027学年苏科版八年级数学 上册期中考试模拟卷（第1章～3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．如图，在中，，点在的延长线上，，过点作，且，连接，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】用证明，利用全等的性质进行求解． 【详解】解：， ， 在和中，， ， ， ． 2．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个面展开，再结合两点之间线段最短、以及勾股定理即可作答． 【详解】解：展开，如图， 最短距离：． 3．估计的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】D 【分析】先估算，再得出的取值范围，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴估计的值在到之间． 4．如图，边长为1的正方形的顶点A，B在数轴上，A点对应数字1，以A点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点E所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出正方形对角线的长，由题意可知，结合A点对应数字1，即可得出E所表示的数． 【详解】解：在中： ， ∵以点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点E， ∴， ∵A点对应数字1， ∴E所表示的数为． 5．给出下列四组数：①；②；③；④．其中，是勾股数的有（     ）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】先判断各组数是否均为正整数，排除不符合的组后，再验证剩余组的平方和关系． 【详解】解：①均为正整数，，是勾股数； ②不是正整数，不是勾股数； ③均为正整数，，是勾股数； ④均不是正整数，不是勾股数， 综上，是勾股数的有2组． 6．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号化简． 【详解】解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ． 7．如图，等腰中，，为的中点，连接，，为上任意两点，连接，，，，已知，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目问阴影面积，而 、 的位置不确定，说明结果与 、 无关．由等腰三角形的“三线合一”得 ，；三块阴影分别以 、、 为底，三个高都是 ，三条底首尾相接恰为 ，相加即可． 【详解】解：∵ ， 为 的中点， ∴ ，． ∴ 点 、 到直线 的距离都是 ． ∴ ， ， ． ∴ ． 8．粮站的一个粮仓形状为圆柱体，粮仓的底面半径是它的高的2倍，在保持粮仓形状的同时，再建造一个体积扩大为原来的100倍的新粮仓（新粮仓的底面半径仍然是高的2倍），则新粮仓的底面半径是原来粮仓底面半径的（     ）倍； A．2 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】根据底面半径与高的固定比例，将体积转化为仅含底面半径的表达式，结合体积倍数关系求解半径倍数． 【详解】解：设原来粮仓底面半径为，高为， 由题意得，即， 原来的体积为， 设新粮仓底面半径为，高为， 同理得，即， 新的体积为， ∵ 新体积是原来的100倍， ∴ ， 化简得， ∴ ． 二、填空题（共20分） 9．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， 购买地毯需花费（元）． 10．将正实数“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，．若，则正实数x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查近似数和有效数字，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用新定义和四舍五入法解答． 根据题意可以得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：． 11．若，则的平方根为________． 【答案】 【分析】根据绝对值和完全平方式的非负性求得，的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 12．如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，则该三角形的三边长分别为______． 【答案】或 【分析】设，根据中线定义和等腰三角形性质表示出，分和两种情况列方程求解，最后利用三角形三边关系检验是否成立． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴ 设 ∵ ∴ 分两种情况讨论：当，时 ， 解得 ∴， ∴ 此时三边长为 ∵ ∴能构成三角形 当，时 ， 解得 ， ∴ 此时三边长为 ∴能构成三角形 综上所述，该三角形的三边长分别为或． 13．如图，在四边形中，，点E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为6，则四边形的面积为______． 【答案】12 【分析】利用平行线的性质和中点定义证明，从而得出面积相等及线段相等，将四边形面积转化为三角形面积，最后利用中线平分三角形面积的性质求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，的面积为6， ∴是的中线， ∴， ∴ ． 14．如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为_____________ 【答案】 10 【分析】首先根据等腰三角形三线合一的性质可得，，过点C作交于点G，由两点之间线段最短及垂线段最短，可得的最小值为的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点C作交于点G，如下图， ，是的角平分线， ，， ， ， ∵E是上的动点，F是边上的动点， 由两点之间线段最短及垂线段最短可知，要使取最小值，只需满足三点共线，且，即的最小值为的长， 的面积为65， ， ，即的最小值为10． 15．已知某正数x的两个平方根分别是和，y的立方根是．z是的整数部分．则的值为__________． 【答案】16 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求a，结合立方根定义求y，通过估算无理数大小确定z的值，代入代数式计算结果． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，和为， ∴， 解得， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分， 代入计算得． 16．中，，，上的高，则__________． 【答案】或 【分析】分点在上，延长线上和延长线上三种情况，利用勾股定理，结合线段的和差关系分别求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 如图，当点在延长线上时， ∵，，， ∴在中，， 在中，， ∴， 如图，当点在线段上时， 同理可得，，， ∴， 当点在线段的延长线上（排列顺序为、、），则， ∴，不符合线段长度为正的实际意义，该情况舍去， 综上所述，的长为或． 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 根据勾股定理知： ，，， ∴． 故答案为：． 18．如图，中，平分为边上的点，连接，，下列结论：①；②；③：④，其中一定正确的结论有_________．（填写序号即可） 【答案】 ①③④ 【分析】作，再根据角平分线的性质定理得，然后根据“斜边直角边”证明，可得，接下来结合说明①；再证明，可得，即可说明②和④；最后根据说明③即可． 【详解】解：过点D作，交于点G， ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，则①正确； ∵， ∴， ∴， ，则④正确， ∴则②不正确， ∴， 即，即，则③正确， 所以正确的有①③④． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或； （2）解：， ， ， ， ∴． 20．按要求完成下列小题． (1)已知，求的平方根． (2)已知和是同一个数的平方根，的立方根是，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）因为二次根式的被开方数必须是非负数，所以先列出两个被开方数的不等式，求解得到的取值，再代入原式求出的值，最后计算并求其平方根； （2）因为和是同一个数的平方根，所以它们的平方相等，分两种情况讨论：要么两个式子互为相反数，要么两个式子相等；据此求解的值；再根据立方根的定义，由的立方根求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解：由算术平方根的意义，得 且 ， ∴ ，， ∴ ， ∴其平方根为 ； （2）解：∵ 与 是同一个数的平方根， ① 当 与 互为相反数时：，解得 ，　 ∵ 的立方根是 ， ∴ ， ∴ ， ② 当 时，解得 ， ∵， ∴ ， 综上， 的值为 或 ． 21．试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是直角三角形，边所对的角是直角 (2)是直角三角形，边所对的角是直角 (3)不是直角三角形 (4)是直角三角形，边所对的角是直角 【分析】（1）先确定最长边，计算两条较短边的平方和与最长边的平方，根据二者是否相等判断是否为直角三角形；若为直角三角形，最长边所对的角为直角.是直角三角形； （2）类比（1）求解即可； （3）类比（1）求解即可； （4）类比（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵ ，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （2）解：∵，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （3）解：∵，最长边为和（长度均为）， 又，， ∴， ∴最长边所对的角不是直角，该三角形不是直角三角形； （4）解：设三边长的每份长度为（），则，，，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角． 22．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，， ，求证：． 小明研究发现，在上截取，连接，经过推理和计算就能解决问题． (1)请根据小明的思路完成本题的证明过程； (2)利用（1）中的结论解决问题：如图，在中，，且，．求点到直线的距离． 【答案】(1) 证明：∵在中，， ， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴为等腰三角形， ∴． ∴， ∴． (2)． 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半等，证明出所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． （1）在上截取，连接，再通过角度得计算和边相等证明为等边三角形，为等腰三角形，推出，即可证明； （2）先过点作交延长线于点，即为点到直线的距离，再通过边相等证明为等腰三角形，得到，然后通过外角得出，最后根据（1）得出的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）过点作交延长线于点，即为点到直线的距离， ∵在中，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ∵为的外角， ∴． ∵在中，，， 由（1）得结论可推出：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半， ∴， ∴． 23．在综合实践活动课上，估测教室高度．现有足够长的竹竿和皮尺，两位同学方法如下： 如图1，圆圆先测出竹竿长度为4米，将竹竿顶端与墙角顶端（教室顶部）重合，再测出竹竿底部与墙角底部的距离为1米，再计算教室高度． 如图2，①方方先将竹竿顶端与墙角顶端重合，测竹竿底部到墙角底部的距离为1米；②在墙根处取与距离1米的点（即）；③将竹竿顶部滑到处，底部位于，此时即为教室高度． (1)请根据圆圆测量的数据，求出教室的高度． (2)方方直接通过测量就得到教室的高度（），请证明． 【答案】(1) (2) 证明：在 和 中： ∴． 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）直接应用勾股定理求解直角三角形的未知边． （2）通过寻找全等三角形的条件，证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等． 【详解】（1）在图1中，是直角三角形，其中： 斜边 米（竹竿长度），直角边米（竹竿底部到墙角的距离），直角边为教室高度 根据勾股定理： 所以，教室的高度为米 （2）略 24．在中，． (1)如图1，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点C运动，连接．当点P运动________秒时，． (2)如图2，当点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为．若点P恰好在的平分线上，求t的值． 【答案】(1) (2)秒或秒 【分析】（1）设运动秒，根据题意，，根据勾股定理，得，于是．根据勾股定理解答即可． （2）分两种情况讨论，利用勾股定理结合角平分线的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设运动秒，根据题意，得， ∵ ∴， ∴． ∴， 解得， ∴运动时，． （2）解：如图，作， ∵点P恰好在的平分线上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 由题意得， 由勾股定理得， 解得； 当点P运动到点A时，也在角平分线上，此时， ． 综上所述，t的值为秒或秒． 25．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）根据题目给出的新定义运算及完全平方公式构造方程求解即可； （2）先根据新定义求得进而得，结合已知条件求得，进而求解即可； （3）先表示出各个图形面积，利用割补法：，再结合前面得到的整体代入计算． 【详解】（1）解：， ， ∵是一个完全平方式，即是完全平方式 ； （2）解：， ， 化简得， ，即， ，即， ， ∴，即， ∴， 当时，方程减去方程得 ， 解得； 当时，方程减去方程得 ， 解得； 综上，的值为或； （3）解：，，，，，，，，， ∴ ， ∵， ． 26．如图1，在中，，，D为边上一点（不与点A，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到，连接． 【观察猜想】 (1)当点D在线段上时，通过图形旋转的性质可知，_____，_____． 【探究证明】 (2)如图2，当点D在的延长线上时，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，，，E为平面内任一点，且，将线段绕点C顺时针旋转得到，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)，90 (2)，见解析 (3)AF的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据旋转的性质可证得，从而可求解； （2）根据旋转的性质可得，从而即可得证； （3）过点C作，交AB的延长线于点G，则可得是等腰直角三角形，根据旋转的性质可得，，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，由旋转可知，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：如图，过点C作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵线段是线段绕点C顺时针旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 即的最大值为，最小值为． ∴的最大值为，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市2026—2027学年苏科版八年级数学 上册期中考试模拟卷（第1章～3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．如图，在中，，点在的延长线上，，过点作，且，连接，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 3．估计的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 4．如图，边长为1的正方形的顶点A，B在数轴上，A点对应数字1，以A点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点E所表示的数为（     ） A． B． C． D． 5．给出下列四组数：①；②；③；④．其中，是勾股数的有（     ）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 7．如图，等腰中，，为的中点，连接，，为上任意两点，连接，，，，已知，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．粮站的一个粮仓形状为圆柱体，粮仓的底面半径是它的高的2倍，在保持粮仓形状的同时，再建造一个体积扩大为原来的100倍的新粮仓（新粮仓的底面半径仍然是高的2倍），则新粮仓的底面半径是原来粮仓底面半径的（     ）倍； A．2 B．10 C． D． 二、填空题（共20分） 9．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 10．将正实数“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，．若，则正实数x的取值范围是______． 11．若，则的平方根为________． 12．如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，则该三角形的三边长分别为______． 13．如图，在四边形中，，点E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为6，则四边形的面积为______． 14．如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为_____________ 15．已知某正数x的两个平方根分别是和，y的立方根是．z是的整数部分．则的值为__________． 16．中，，，上的高，则__________． 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 18．如图，中，平分为边上的点，连接，，下列结论：①；②；③：④，其中一定正确的结论有_________．（填写序号即可） 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1)； (2)． 20．按要求完成下列小题． (1)已知，求的平方根． (2)已知和是同一个数的平方根，的立方根是，求的值． 21．试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 22．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，， ，求证：． 小明研究发现，在上截取，连接，经过推理和计算就能解决问题． (1)请根据小明的思路完成本题的证明过程； (2)利用（1）中的结论解决问题：如图，在中，，且，．求点到直线的距离． 23．在综合实践活动课上，估测教室高度．现有足够长的竹竿和皮尺，两位同学方法如下： 如图1，圆圆先测出竹竿长度为4米，将竹竿顶端与墙角顶端（教室顶部）重合，再测出竹竿底部与墙角底部的距离为1米，再计算教室高度． 如图2，①方方先将竹竿顶端与墙角顶端重合，测竹竿底部到墙角底部的距离为1米；②在墙根处取与距离1米的点（即）；③将竹竿顶部滑到处，底部位于，此时即为教室高度． (1)请根据圆圆测量的数据，求出教室的高度． (2)方方直接通过测量就得到教室的高度（），请证明． 24．在中，． (1)如图1，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点C运动，连接．当点P运动________秒时，． (2)如图2，当点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为．若点P恰好在的平分线上，求t的值． 25．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 26．如图1，在中，，，D为边上一点（不与点A，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到，连接． 【观察猜想】 (1)当点D在线段上时，通过图形旋转的性质可知，_____，_____． 【探究证明】 (2)如图2，当点D在的延长线上时，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，，，E为平面内任一点，且，将线段绕点C顺时针旋转得到，请直接写出的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $