专题 25.3（2） 实践与探索 （讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年华东师大版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题25.3（2） 实践与探索：二次函数压轴10大题型 （新教材华东师大版） 知识点一、 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 2 知识点二、 利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 2 知识点三、 二次函数与动点最值问题 3 知识点四、 二次函数与图形面积问题 4 知识点五、 二次函数与线段问题 5 知识点六、 二次函数与角度问题 5 知识点七、 二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 6 知识点八、 二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 6 知识点九、 抛物线与动线段交点问题 7 【题型1 二次函数多结论压轴题】 8 【题型2 待定系数法求解析式】 9 【题型3 二次函数综合之面积问题】 11 【题型4 二次函数综合之线段问题】 14 【题型5 二次函数综合之周长问题】 16 【题型6 二次函数综合之角度问题】 19 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 21 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 23 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 26 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 28 【探究式学习】 31 【课后检测】 33 【复盘笔记】 40 二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数各项系数之间的关系，二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想。此类题型常涉及以下问题：①利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题；②求抛物线、直线的解析式；③求点的坐标、线段长度、图形面积；④探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题。 知识点一、 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 解题方法：1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.即 ①当对称轴x= 1时，x=，∴-b=2a，此时2a+b=0； ②当对称轴x=-1时，x=，∴b=2a，此时2a-b=0. ③当对称轴x=2am+b=0. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±3时，. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 知识点二、 利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 解题方法：求二次函数解析式的方法： 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线x=h,其中h=） 5）已知抛物线顶点在x轴上，可设 6）已知抛物线顶点在y轴上，可设 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点三、 二次函数与动点最值问题 线段最值问题的解题思路： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 知识点四、 二次函数与图形面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 解题思路：1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 知识点五、二次函数与线段问题 第一步:设点坐标及坐标表示 第二步:表示线段长 第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解 知识点六、二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 知识点七、 二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 解题思路： （1）动点构成特殊三角形的作图方法 （2）动点构成特殊三角形的分类讨论方法 知识点八、 二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 （1）动点构成特殊平行四边形的方法 （2）动点构成特殊平行四边形分类讨论方法 知识点九、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 【题型1 二次函数多结论压轴题】 【例1】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点，给出下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】已知抛物线（m为常数）的顶点为P，点，在抛物线上（其中）．给出下面四个结论： ①当点P在x轴上时，；②点P在直线上；③； ④当点的轨迹所在直线与线段没有交点时，m的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1-2】二次函数的对称轴是直线，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式1-3】二次函数的图像如图，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤点，都在抛物线上，则有，其中正确的结论是（     ） A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①④⑤ 【题型2 待定系数法求解析式】 【例2】如图，平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，则过点B，C，E的抛物线的函数解析式为__． 【变式2-1】如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【题型3 二次函数综合之面积问题】 【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点，与轴交于点、 (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线第一象限内的任意一点（点在上方），求：当的面积最大时点的坐标，并求出的最大面积； (3)若点在抛物线上，点在其对称轴上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上不重合的两点，横坐标分别为． (1)求的值； (2)当两点纵坐标的差为7时，求的值； (3)将抛物线上点和点之间的部分记为图象，当图象上的点的纵坐标随增大而先减小后增大时，求的取值范围； (4)当点在抛物线对称轴左侧，连接，以为斜边向下作直角，使轴，的边与抛物线交于点（点不与的顶点重合），连接，若将的面积分成的两部分，直接写出的值． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【变式3-3】如图，已知抛物线过点，，交y轴于点C，顶点为    D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求m的值． 【题型4 二次函数综合之线段问题】 【例4】如图，抛物线（，为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)抛物线的函数解析式是__________； (2)如图①，点在轴下方的抛物线上，且点在第四象限，连接交轴于点．若，求点的横坐标； (3)如图②，是直线上方的抛物线上的动点（不与点，重合），过点作于点，求线段的最大值，及此时点的坐标． 【变式4-1】已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 【变式4-2】已知抛物线（、、是常数，）经过原点，且与轴交于，是顶点 (1)当顶点的纵坐标是时，求抛物线解析式； (2)若点在线段上，且点的横坐标为，是线段上一动点（不与重合），在右侧作平行四边形 ①当点落在抛物线上时，求点坐标； ②连接，，当的最小值是时，求点坐标． 【变式4-3】二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． (1)点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； (2)在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 【题型5 二次函数综合之周长问题】 【例5】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）． (1)当时， ①求的值和抛物线的对称轴； ②在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值； (2)当点在直线上方时，求点到直线的距离的最大值； (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求在抛物线和直线所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 【变式5-1】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标； (4)点在线段上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【变式5-2】已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图②，点坐标为，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标； (3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标． 【题型6 二次函数综合之角度问题】 【例6】已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图，连接，，为抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，设，点在第二象限的抛物线上，过点作不平行于轴且与抛物线仅有一个公共点的直线分别交直线，于，两点，当为何值时，恒成立． 【变式6-1】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求以点、、为顶点的三角形的面积； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在与不重合的点，使得，请说明理由． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上的一点，连接，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求的长（用含有的代数式表示）； (3)连接，当的面积为时，求点E的坐标； (4)作轴，且点的横坐标为，以为邻边构造矩形，当矩形的边与抛物线有三个交点时，直接写出的取值范围． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． (1)求，的值； (2)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边在的左侧作正方形，当此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出的值． 【变式8-3】如图，已知抛物线的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．若有一点P在这个二次函数的图象上，过点P作轴，垂足为D，连接．若与相似，求符合条件的点P的坐标． 【变式9-1】已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 【变式9-2】如图，已知二次函数的图象经过点和点，的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)当以P，C，E为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标； (3)设F为直线上一点，若，请直接写出点F的坐标． 【变式9-3】如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 【例10】【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． (1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________； (2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围； (3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)直接写出的重心点M的坐标； (3)坐标系中存在点，且，请你推导计算出n的值； (4)如图2．若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，，则称p为这k个点的“特征值”，记为．如图1，点． （1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点． ①________， _________； ②直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围； （2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值． 【变式10-3】如图是一块美术小组使用剩余的画布，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，美术小组计划进行裁剪： (1)若裁剪成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的边长； (2)若裁剪成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若裁剪成圆，判断能否裁剪出半径为的圆，请说明理由． 【探究式学习】 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． (1)如图（1），菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，已知点，求抛物线解析式及菱形的边长． (2)如图（1），已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长． (3)如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数的图象上，点，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为，，探究是否为定值如果是，求出这个值如果不是，请说明理由． 【课后检测】 1．如图，抛物线的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，正确的个数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线（）的顶点坐标，与轴的一个交点，直线（）与抛物线交于，两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根：④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤当时，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④ 3．如图，已知抛物线：的图像交轴的负半轴于点，与直线相交于，两点，抛物线：的顶点在线段上移动，若抛物线的图像与线段仅有个公共点，则的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接，如果，两点分别从，两点同时出发，同时停止运动，出发时间为．有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于，两点．与轴相交于点．对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 7．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是________． 8．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：①；②；③；④若且，则；⑤关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是：___________． 9．已知抛物线与x轴交于点，其顶点坐标为，，下列五个结论： ①； ②若，则x的取值范围为或； ③若点，在抛物线上，且，则； ④若对任意实数x恒成立，则m的最大值是． ⑤将抛物线向右平移n个单位长度，当x为自然数时，y随着x增大而增大，则n的取值范围是； 其中正确的是________（填写序号）． 10．设二次函数与x轴的交点为，．若二次函数，则时自变量x的取值范围是_________． 11．在二次函数中， (1)若它的图象过点，求二次函数的解析式； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 12．已知，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接交y轴于点D，设点P横坐标为t，长为d，求d与t的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点H，点E在上，过点E作的垂线，垂足为点F，交x轴于点G，连接，若，，求点P的坐标． 13．如图，在正方形中，，连接两点分别从同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度．在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为． (1)当点在上运动时，用含的代数式表示的长___________； (2)当点在上时，___________； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，   与 轴交于点，对称轴为直线，点 、在此抛物线上，其横坐标分别为、（）． (1)求此抛物线的解析式； (2)当轴时，求的值； (3)设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， 在点与点之间的部分（包括点和点） 的最高点与最低点的纵坐标的差为．当 时，直接写出的值． 15．如图，抛物线（）与轴交于，两点，交轴于点，直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，求出的取值范围； (3)点是轴的上方抛物线上一点，点与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，设的长为．当随的增大而增大时，直接写出的取值范围； (4)在抛物线上是否存在一点（不与，重合），过点作的平行线，在直线上取一点，使以，，，四点为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． (3)过点 作直线 ，交 轴于点 ，当 的面积等于 时，求 的值． 17．已知抛物线经过，且关于直线对称，点是上的动点． (1)求的解析式； (2)若点也在上，求s的最小值； (3)点在抛物线上，若经过的直线与和恰好交于B、D两点（B，D点与不重合．如图所示），求的值． 18．如图，已知二次函数的图象对称轴是直线，与轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 162 页 第 1 页 共 162 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题25.3（2） 实践与探索：二次函数压轴10大题型 （新教材华东师大版） 知识点一、 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 2 知识点二、 利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 2 知识点三、 二次函数与动点最值问题 3 知识点四、 二次函数与图形面积问题 4 知识点五、 二次函数与线段问题 5 知识点六、 二次函数与角度问题 5 知识点七、 二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 6 知识点八、 二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 6 知识点九、 抛物线与动线段交点问题 7 【题型1 二次函数多结论压轴题】 8 【题型2 待定系数法求解析式】 13 【题型3 二次函数综合之面积问题】 23 【题型4 二次函数综合之线段问题】 33 【题型5 二次函数综合之周长问题】 42 【题型6 二次函数综合之角度问题】 54 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 70 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 80 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 94 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 107 【探究式学习】 121 【课后检测】 126 【复盘笔记】 162 二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数各项系数之间的关系，二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想。此类题型常涉及以下问题：①利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题；②求抛物线、直线的解析式；③求点的坐标、线段长度、图形面积；④探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题。 知识点一、 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 解题方法：1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.即 ①当对称轴x= 1时，x=，∴-b=2a，此时2a+b=0； ②当对称轴x=-1时，x=，∴b=2a，此时2a-b=0. ③当对称轴x=2am+b=0. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±3时，. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 知识点二、 利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 解题方法：求二次函数解析式的方法： 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线x=h,其中h=） 5）已知抛物线顶点在x轴上，可设 6）已知抛物线顶点在y轴上，可设 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点三、 二次函数与动点最值问题 线段最值问题的解题思路： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 知识点四、 二次函数与图形面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 解题思路：1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 知识点五、二次函数与线段问题 第一步:设点坐标及坐标表示 第二步:表示线段长 第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解 知识点六、二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 知识点七、 二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 解题思路： （1）动点构成特殊三角形的作图方法 （2）动点构成特殊三角形的分类讨论方法 知识点八、 二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 （1）动点构成特殊平行四边形的方法 （2）动点构成特殊平行四边形分类讨论方法 知识点九、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 【题型1 二次函数多结论压轴题】 【例1】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点，给出下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据开口方向及抛物线与轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线交于轴的正半轴， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的根， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，则， ∴， ∵， ∴，即，故③错误； ∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线经过点，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个． 【变式1-1】已知抛物线（m为常数）的顶点为P，点，在抛物线上（其中）．给出下面四个结论： ①当点P在x轴上时，；②点P在直线上；③； ④当点的轨迹所在直线与线段没有交点时，m的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】先将抛物线配方得到顶点P的坐标，利用抛物线对称性得出t与m的关系，再将n用m表示，逐一判断四个结论． 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∴顶点，对称轴为直线． ∵，在抛物线上且纵坐标相同， ∴A、B关于对称轴对称， ∴， 解得， 由得． 将代入解析式得． ①当P在x轴上时，，解得，故①正确． ②将代入，得，与P的纵坐标不恒相等，故②错误． ③， ∵， ∴，当时取等号，故③错误． ④∵，， ∴点P在直线上． 当时，解得， 直线与直线的交点为，若交点不在线段上，则或． 当时，，即，解得，与矛盾，舍去． 当时，，即，整理得，解得或，结合得． 故m的取值范围是，④正确． 综上，正确的是①④． 【变式1-2】二次函数的对称轴是直线，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据对称轴公式、抛物线对称性、判别式及增减性逐一判断． 【详解】解：对称轴为直线， ， ∴， ，故①正确； 抛物线与x轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 抛物线开口向下， 当时，， ∴，故②正确； 抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴当时，有两个不同的实数根， ， ∴，故③正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． ， 当时，y随x的增大而增大，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④． 【变式1-3】二次函数的图像如图，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤点，都在抛物线上，则有，其中正确的结论是（     ） A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，函数的最值，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，得抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ； 故①正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， ， 故②错误； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， ， ∴, 故③正确； 当时，， 当时，， ， 故抛物线有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， ； 故④错误； ∵二次函数开口向下， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵点，都在抛物线上，且， ∴， 故⑤正确． 【题型2 待定系数法求解析式】 【例2】如图，平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，则过点B，C，E的抛物线的函数解析式为__． 【答案】 【分析】根据OA＝8，AB＝AC＝10，可得B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8），设点D（m，n），由S△COE＝S△ADE，得S△CDB＝S△AOB，从而求出n的值，可得点D是AB的中点，进而可得点E为△ABC的重心，即可得点E的坐标，最后即可求出过点B，C，E的抛物线的函数解析式． 【详解】解：∵OA＝8，AB＝AC＝10， ∴OB＝OC＝＝6， ∴B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8） 设点D（m，n）， ∵S△COE＝S△ADE， ∴S△COE+S四边形OEDB＝S△ADE+S四边形OEDB ∴S△CDB＝S△AOB， ∴BC•|n|＝AO•BO， ∴12（﹣n）＝ 8×6， 解得n＝﹣4， 设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A（0，﹣8），B（6，0），代入得， 解得，b＝﹣8，k＝， ∴直线AB解析式为y＝x﹣8， 当y＝﹣4时，x＝3， ∴D（3，﹣4）， ∵C（﹣6，0）， 同理可得CD解析式为y＝x﹣， ∴点E的坐标为：（0，﹣）， 设经过B、C、E三点的二次函数的解析式为：y＝ax2﹣， 把B（6，0）代入得，0＝36a﹣， a＝， ∴过点B，C，E的抛物线的函数解析式为：y＝x2﹣． 故答案为：y＝x2﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解决本题的关键是求出点E的坐标，解题时注意转化思想的合理运用． 【变式2-1】如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解； （3）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点作于点 对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴对称轴为直线 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中，； （3）解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得，结合题意求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）连接，过点作轴，交于点，求出，则，求出，当的面积取最大值时，四边形的面积最大，设，且，求出直线的解析式为，则点的坐标为，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）设，则，分以下两种情况讨论：①点在直线下方时；②点在直线上方时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，是方程的两根， ， 由， 解得， ，， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：如图③，连接，过点作轴，交于点， 抛物线的对称轴为直线， ∴由（1）可得， ， 的面积为定值，， 当的面积取最大值时，四边形的面积最大， 设，且， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，面积最大为， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： ①如图④，点在直线下方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），（舍去）， ②如图⑤，点在直线上方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），． 综合①②可得点的坐标为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) ①该抛物线的解析式为： ②或 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴为直线，，求得点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②分情况讨论：，，，，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，，且， ∴， 将代入得 解得： ∴该抛物线的解析式为： 图略 ②当时，最小值为，最大值为 依题意， 解得：； 当时，即时，最大值为，最小值为 依题意， 解得：， 当时，即时，最小值为， 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 【题型3 二次函数综合之面积问题】 【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点，与轴交于点、 (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线第一象限内的任意一点（点在上方），求：当的面积最大时点的坐标，并求出的最大面积； (3)若点在抛物线上，点在其对称轴上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；； (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出，再由待定系数法确定直线的函数解析式为，过点P作轴，交于点E，结合图象，求三角形面积，得出函数关系式求解即可； （3）设，，根据平行四边形的性质分三种情况分析：①与为对角线；②与为对角线；③与为对角线；列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得 ∴； （2）当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 过点P作轴，交于点E，如图所示： 设，则， ∴， ∴， 当时面积最大，此时， 当时， 故； （3）函数对称轴为直线， ∵点在抛物线上，点在其对称轴上， ∴设， ，， 分三种情况（对角线互相平分）： ①与为对角线：得 ， 解得， ∴； ②与为对角线： ， 解得， 此时与重合，不能构成平行四边形，舍去； ③与为对角线： ， 解得， ∴ 综上，或 【变式3-1】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上不重合的两点，横坐标分别为． (1)求的值； (2)当两点纵坐标的差为7时，求的值； (3)将抛物线上点和点之间的部分记为图象，当图象上的点的纵坐标随增大而先减小后增大时，求的取值范围； (4)当点在抛物线对称轴左侧，连接，以为斜边向下作直角，使轴，的边与抛物线交于点（点不与的顶点重合），连接，若将的面积分成的两部分，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)的取值范围是或 (4)或 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式即可解答； （2）得到两点的坐标，根据题意列方程即可解答； （3）根据题意可得点在对称轴直线的两侧，列不等式组即可解答； （4）根据题意求得点的坐标，根据或，列方程即可解答． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， 解得； （2）解：根据（1）可得抛物线解析式为， 点为抛物线上不重合的两点，横坐标分别为， ，， ， 当两点纵坐标的差为7时，可得， 解得或； （3）解：图象上的点的纵坐标随增大而先减小后增大时， ∴点在对称轴直线的两侧， 则可得或， 解得或； （4）解：由（2）知， 当点在抛物线对称轴左侧时，，则点在抛物线对称轴右侧， 此时， 点的纵坐标始终比点的纵坐标小，如图， 轴，， 轴， ， 令， 可得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 将的面积分成的两部分， 或， 即或， 解得或． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8，此时点P的坐标为 (3)解：点的坐标为或，过程如下， 由（2）可知，， ∵将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点， ∴新抛物线是原抛物线向左和向下分别平移2个单位长度得到的， ∴新抛物线的解析式为， 情况一：当点在下方时， ∵， ∴， 同理可求出直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得到， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得或 ∴； 情况二：当点在上方时，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 由以上可知，直线的表达式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理，根据，，利用待定系数法求出直线的表达式为， 联立，整理得到， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，进而求出直线的表达式为，设，则，根据，可得，据此求解即可； （3）分两种情况：当在下方时和当在上方时，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入得 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1所示，连接， 在中，当时，， 解得， ∴； 设直线的表达式为，将，代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设，则 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时， ∴面积的最大值为8，此时点P的坐标为； （3）略 【变式3-3】如图，已知抛物线过点，，交y轴于点C，顶点为    D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求m的值． 【答案】(1) (2)最大值为 (3) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值； （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 将点A，点B的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：将代入，得， ， 设直线的解析式为， 将点A，点C的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图1，过P作轴交于， 则， ， ， ∴当时，有最大值为； （3）解：抛物线，顶点， 如图2，点关于直线的对称点， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ． 【题型4 二次函数综合之线段问题】 【例4】如图，抛物线（，为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)抛物线的函数解析式是__________； (2)如图①，点在轴下方的抛物线上，且点在第四象限，连接交轴于点．若，求点的横坐标； (3)如图②，是直线上方的抛物线上的动点（不与点，重合），过点作于点，求线段的最大值，及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为 (3)的最大值为；点的坐标为 【分析】（1）直接把、两点坐标代入抛物线，解方程组求出，，回代即可得到抛物线的函数解析式； （2）过点作轴于点，先求点坐标，由证是等腰直角三角形得，结合算出，设点坐标，利用直角三角形边角关系及勾股定理得，设点坐标列方程求解即可； （3）过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，先求直线解析式，设动点坐标并表示竖线段，利用角把转化为的表达式，再利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式是； （2）解：如图①，过点作轴于点， 对于抛物线，当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， 则，， ， 解得（不符合题意，舍去），， 点的横坐标为； （3）解：如图②，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为， 设，则， ， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为． 【变式4-1】已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)①；②最大值为 【分析】（1）根据抛物线的对称性来求解点的坐标． （2）①先求出直线和直线的方程，再求出点的坐标，最后根据两点间距离公式求出的长． ②先求出，再将进行转化，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设点的坐标为． 点在抛物线上，其对称轴为直线， ．解得． 点B的坐标为． （2）①抛物线的对称轴为直线， 点P的坐标为，． ，． 抛物线经过点， ，．解得． 抛物线的解析式为． 点C的坐标为．有． ．可得，． 根据题意，．． ． ②如图，过点Q作轴，垂足为H，与相交于点N． ，， 直线的解析式为． 设点Q的坐标为，则点，点． ，． ， ． ，． ． ． 当时，取得最大值，最大值为． 【变式4-2】已知抛物线（、、是常数，）经过原点，且与轴交于，是顶点 (1)当顶点的纵坐标是时，求抛物线解析式； (2)若点在线段上，且点的横坐标为，是线段上一动点（不与重合），在右侧作平行四边形 ①当点落在抛物线上时，求点坐标； ②连接，，当的最小值是时，求点坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）已知点坐标及原点坐标，可设抛物线的交点式，再将顶点的坐标代入求解析式； （2）①先求出直线的解析式，代入点的横坐标，求出点的坐标，然后设点坐标为，由四边形是平行四边形，表示出点的坐标，再根据点落在抛物线上，将点坐标代入抛物线解析式即可求出的值，从而得到点的坐标； ②作关于轴的对称点，得到，在直线上取点，使四边形为平行四边形，从而得到，因此的最小值转化为的最小值，根据三角形的三边关系得，在三角形中，，而当运动到线段上时取等号，此时为最小值，由此求出参数的值，最后使用待定系数法求出的解析式，再令，求出其与轴交点的坐标即为点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过原点且与轴交于， 设， 对称轴为，顶点坐标， 由顶点的纵坐标是得，， 解得， ． （2）①，， 直线解析式为， 在线段上且横坐标为， 代入得， ． 如图，设， 由四边形是平行四边形，得 ，， ． 点在抛物线上， 代入得，， ， ， 解得，即． ， ，即． ②如图，作关于轴的对称点，则； 在直线上取点，则且， 四边形为平行四边形， ． ， 当运动到线段上时取等号． 由最小值取，得， ， 又， ． 此时，，， 设直线：， ，解得． 直线：， 令，得， ． 【变式4-3】二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． (1)点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； (2)在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设M，N横坐标为，利用纵坐标之差表示铅垂线段，构造二次函数，配方法求最值；注意自变量范围，对称轴在区间内． （2）由，且、互相平分，可证四边形为平行四边形；由平行四边形对边相等列方程求出候选横坐标，再结合条件，利用勾股定理验证邻边是否相等，筛选出符合菱形要求的解． 【详解】（1）解：把代入直线得， 即； 已知，轴， 将代入直线解析式，得 ，即， ． 设点M、N的横坐标为， ，． 在上方， ， ∴抛物线开口向下，自变量取值范围为，对称轴在此区间内， 当时，取得最大值． （2）连接，， 轴，轴， ． 又与互相平分， 四边形是平行四边形． 由平行四边形对边相等，得： 整理得， ， 解得． ①当时， ，，， ，， 由勾股定理，， ，平行四边形邻边相等，是菱形，满足，符合题意． ②当时， ，，， ，， ，邻边不相等，对角线不垂直，舍去． 综上，满足条件的点坐标为． 【题型5 二次函数综合之周长问题】 【例5】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）． (1)当时， ①求的值和抛物线的对称轴； ②在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值； (2)当点在直线上方时，求点到直线的距离的最大值； (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求在抛物线和直线所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 【答案】(1)①；直线；②当点P的坐标为时，的周长有最小值，最小值为； (2)1 (3)232 【分析】（1）①求出点A和点B的坐标，根据求出m的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式即可得到对称轴；②连接，可推出抛物线与x轴交于点和点，则由对称性可得，可证明当B、D、P三点共线时，的周长有最小值，利用勾股定理求出的长，再求出点P的坐标即可； （2）把抛物线的解析式化为顶点式求出点C的坐标，进而表示出点到直线的距离，最后根据二次函数的性质求解即可； （3）求出直线和抛物线的交点坐标，然后求出对应整数x下两个函数的函数值，从而确定对应整数x下的整点数，最后求和即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴交于点， ∴； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ②如图所示，连接， 在中，当时，，解得或， ∴抛物线与x轴交于点和点， ∴由对称性可得， ∴的周长， ∴当B、D、P三点共线时，的周长有最小值， 在中，， ∴， 在中，当时，， ∴当点P的坐标为时，的周长有最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∵点在直线上方， ∴点C到直线l的距离， ∵， ∴当时，点C到直线l的距离有最大值，最大值为1； （3）解：当时，抛物线的解析式为 直线的解析式为， 联立上述两个解析式，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，； 当时，，故横坐标为1的整点有1个， 当时，，故横坐标为0的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个，     当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 综上所述，一共有个整点． 【变式5-1】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标； (4)点在线段上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)点的坐标为或 【分析】（1）抛物线与轴交于点，对称轴为直线，据此进行解答即可； （2）根据对称性求出点的横坐标为，点的横坐标为，代入函数解析式即可求出答案； （3）作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则，此时取得最小值，此时的周长最小，求出直线的解析式为，当时求出，即可得到答案； （4）分两种情况画出图形，构造全等三角形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴ 解得 ∴ （2）解：∵对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标，点的坐标； （3）解：如图，作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则， 此时取得最小值，此时的周长最小， 设直线的解析式为，代入点的坐标得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点D的坐标为； （4）解：在抛物线上存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或， 设点的坐标为， 设交轴于点，则， 根据题意可得，， 如图，过点作于点，则，此时， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，此时，， 同理，， ∴， ∴， ∴， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为， 综上可知点的坐标为或． 【变式5-2】已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图②，点坐标为，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的横坐标为2或3或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A、B关于对称轴对称，则，得到当P、B、C三点共线时，，进而求出P点坐标，即可得解； （3）求出D点坐标为，进而得到，得到，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得， 表达式为． （2）由（1）知，点的坐标为，直线的表达式为． 则直线与轴的交点的坐标为． ． 如图，当三点共线时，的周长最小，且． 轴， ． （3）存在．理由如下： 由点得，． 在Rt中，． ， ． 如图，当轴时，满足， 点的纵坐标为-2． 解 得． 当DQ与轴不平行时，设直线DQ与轴交于点． ， ． 在Rt中，．而． 解 得． 设直线DE的表达式，将代入， 得． 将代入，， 得 即直线DE的表达式． 令， 解得． 综上，点的横坐标为2或3或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，利用数形结合、分类讨论的思想进行求解． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标； (3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法可得直线的解析式为，如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，进而得到，再证明可得，即当PQ最大时，的周长最大，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，进而得到，再根据二次函数的性质求解即可； （3）如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，再证明可得，由，则要使与相似，即或2；设点，、，进而得到或，即，最后求点E的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过点、点、点， 设抛物线的解析式为：， ，解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴ 直线的解析式为：， 如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M， 点M的坐标为， ，，， ， ， ， 又， ， ． 当PQ最大时，的周长最大， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ， ， ∴当时，， 点P的坐标为． （3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N， ， ，， ， ， ， ，要使与相似， ∴或2， 设点， ，， 或， ，，点不合题意，应舍去， 把点代入抛物线的解析式为：， 解得：，（舍去）， 点E的坐标为． 【题型6 二次函数综合之角度问题】 【例6】已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图，连接，，为抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，设，点在第二象限的抛物线上，过点作不平行于轴且与抛物线仅有一个公共点的直线分别交直线，于，两点，当为何值时，恒成立． 【答案】(1)，，． (2)或． (3)． 【分析】（1）令解一元二次方程求、的横坐标，令求的纵坐标； （2）在中，两直角边之比为，故以为一条直角边、为另一条直角边作，由相似把换成，求直线与抛物线的交点即得点； （3）由“与抛物线只有一个公共点”用根的判别式写出的解析式，把、的横坐标用的横坐标与表示；再作对称轴、轴，用全等三角形把化为，由它对任意成立定出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，得， ∴， ∴或． ∵点在点的左侧， ∴，． ∵抛物线与轴交于点， ∴令，得， ∴． （2）解：∵，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，， ∴与轴所成的角为， 过点作，使，连接（如图）， ∵，而与轴成角， ∴与轴也成角，即、两点的横坐标之差与纵坐标之差相等， 设这个差为，由得， ∴或． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上． 当时，设直线的解析式为， ∵，都在该直线上， ∴，， ∴两式相减得，即，， ∴直线为． ∵点既在抛物线上，又在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵对应的是点，舍去， ∴，此时， ∴． 当时，同理设可求直线为． ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵对应点，舍去， ∴，此时， ∴． ∴点的坐标为或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线． ∵关于直线的对称点是， ∴． 设，其中． 设直线的解析式为， 把、的坐标代入得，， ∴，即直线为． ∵在对称轴上，、关于对称轴对称， ∴直线与直线关于直线对称， ∴直线为． ∵点在第二象限的抛物线上， ∴设，其中． 设直线的解析式为，它不平行于轴． ∵与抛物线只有一个公共点，且点在这个公共点上， ∴方程有两个相等的实数根，且根为， ∴， ∴，， ∴，，即直线为． ∵点是与的交点， ∴，即， ∴． ∵点是与的交点， ∴，即， ∴． 过点作对称轴于点，过点作轴于点（如图）， ∵直线、关于直线对称，且轴与对称轴平行， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵、分别是点到对称轴、点到轴的水平距离， ∴． ∵由图，在对称轴的左侧，在轴的左侧，即，， ∴． ∴． ∵上式对任意都成立， ∴两边同乘，得， ∴左边，右边， ∴比较的系数得， ∴． 当时，，而， ∴，，恒成立． ∴的值为． 【点睛】考查二次函数、全等三角形与一元二次方程的综合．第（2）问的解题关键是由把化成直线与的夹角，再与抛物线联立求交点，注意有两个解，不要漏；第（3）问的解题关键是用全等三角形把化成，再由它对任意成立比较系数求． 【变式6-1】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)存在，点坐标为． (3)存在，点的横坐标为或或或． 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． （2）解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． （3）解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 【变式6-2】如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求以点、、为顶点的三角形的面积； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在与不重合的点，使得，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②抛物线上始终存在与不重合的点； 理由如下：点在抛物线上， ， 轴， 直线为， 点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为， 把坐标代入，得 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组： 整理得，， 解得，，， 对应点， 点的横坐标为， 代入抛物线，得： ， ， ， ， 点在射线上， 射线与射线关于直线对称， ， 点始终存在． 【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解． （2） ①求出直线的解析式，利用平行四边形一组对边平行且相等列方程． ②作射线与射线关于直线对称，求射线与抛物线除点外的另一个交点，并验证该点始终存在． 【详解】（1）解：令， ， 整理得：， ， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，得， ， ， ． （2）解：设， 点在抛物线上， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： 解得：，， 直线的解析式为， 轴， ， ， ， ， ①四边形为平行四边形， ， ， 整理得：， ， ， ． ②略 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式中，即可求出抛物线解析式； （2）设点，先根据题意分别求出直线、、的解析式，将直线、解析式联立求出点的坐标，根据，从而求出的表达式，即可求出的最大值，连接，设，由建立方程求解即可求出点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点，先根据题意求出平移后，由得出从而求出直线解析式为，与联立即可求出第一个点的横坐标，作等腰，此时点也符合题意，设，利用求出，进而求出的解析式，与联立即可求出第二个点的横坐标． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，设点，，则， ∵抛物线解析式为， 令，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入解析式得：，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线解析式与直线解析式联立得： ，解得：， ∴点，即， ∴ ， ∴当时，取最大值为，此时直线的解析式为， ∴， 连接，设，，即，， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图所示，当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点， ∵， ∴沿射线的方向平移，即当向左平移个单位长度时，就要向下平移个单位长度， ∴，解得：， ∴沿射线的方向平移个单位长度，即向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴，即点， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 又∵平移后， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 将直线解析式与直线的解析式联立得： ，解得：， ∴点， ∴， 如图所示，在上取一点作等腰，此时，， ∴此时点也符合题意， 设， ∴，解得：或， 当时，对应的是点的坐标， ∴， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 综上：点的横坐标为或． 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P点坐标为，最大值为； (3)存在，满足条件的M点坐标为，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点P作轴于点F，交于点E，根据题意得出，利用待定系数法确定直线解析式为，设，，确定，结合图象利用，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得出对称轴为，，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图象利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）过点P作轴于点F，交于点E， ∵， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， ∵， ， 解得， ∴ 根据题意设，， ∴， 由图象得：， ∴， 整理得：， ， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为； （3）存在， 由（1）得， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况分析： ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， ∴， ， ， 解得：， ∴M点的坐标为或， ②当时，则为的垂直平分线， ∴M与E重合， ∴M点的坐标为； ③当时，如图，设M点的坐标为， 则， ， 解得：， ∴M点的坐标为， 综上可知，满足条件的M点共四个，其坐标为，，，． 【变式7-1】如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可得交点式，进而可得答案； （2）过点P作轴交于点H，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，故当最大时，最大；求出直线解析式为，设，，则，则，据此可得答案； （3）设出点M的坐标，根据等腰三角形的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得，解得， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴此时最大为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设点M的坐标为， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【变式7-3】已知二次函数 (1)当时，设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为．若为等边三角形，求的值； (2)当时，设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为．点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，若的面积有最大值为1，求的值； (3)过（其中）且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)． (2)． (3) 或 ． 【分析】（1）把抛物线的解析式因式分解，求出与 轴的交点及顶点的坐标，再由等边三角形的边与高的关系列方程求 ； （2）设动点 的横坐标，用参数表示 、 两点的坐标，把 的面积分解为以 为底的两个三角形面积之和，化为关于动点参数的二次函数，用配方法求最大值并列方程求 ； （3）把抛物线配方得顶点式，由水平直线与抛物线的交点的对称性求出弦 的表达式，把“弦长不小于 ”恒成立转化为关于 的不等式，结合开口方向分类讨论求解． 【详解】（1）解：， 抛物线与 轴交于 、，顶点为 ； 为等边三角形，， 边 上的高为 ； 顶点 到 轴的距离为 （）， ． （2）解：设点 的横坐标为 （）， 直线 过 、， 直线 的解析式为 ，从而 ； 过点 且平行于 轴的直线交抛物线于点 ， 点 的横坐标也为 ，纵坐标为 ，即 ； ∵点在的下方， ， 点 在线段 上， ， 其中 、 均以 为底，点 、 到直线 的距离 、 分别为它们的高， ； ， 当 时， 取最大值 ； 由 ，解得 ． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线 ； 直线 与抛物线交于 、 两点，由对称性知 、 关于直线 对称， 由 得 ， ； 对满足 的任意 都有 ， 对满足 的任意 恒成立，即 ； ①当 时， 随 的增大而增大， 当 时 取最小值 ，由 解得 ； ②当 时， 随 的增大而减小， 当 时 取最小值 ，由 解得 ； 综上， 的取值范围是 或 ． 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上的一点，连接，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求的长（用含有的代数式表示）； (3)连接，当的面积为时，求点E的坐标； (4)作轴，且点的横坐标为，以为邻边构造矩形，当矩形的边与抛物线有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)或 (4)当时，矩形的边与抛物线有三个交点 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将直线的解析式求出来，再根据平行轴于的直线上的点横坐标相等，将点表示出来，再根据两点间的距离求解； （3）将的面积表示出来，再根据条件证明，从而得到的值，再利用求解； （4）根据题意作图，利用数形结合判断出点在什么位置矩形的边与抛物线有三个交点，从而解出答案． 【详解】（1）解：将点，分别代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，则， 解得， ∴点的坐标为； 设直线的解析式为， 将点分别代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为； ∵点的横坐标为，且点在第一象限的抛物线上， ∴点的坐标为，， ∵轴， ∴点的横坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴． （3）解：令直线与轴交于点，交轴于点， ，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或． （4）解：抛物线的对称轴为直线， 当点关于对称轴对称，如下图所示， ， 矩形与抛物线只有两个交点； 当点在抛物线对称轴上或右侧，即时，如下图所示， ， 矩形与抛物线只有两个交点； ∴要使矩形的边与抛物线有三个交点， 需点在抛物线对称轴的左侧，且点在点关于抛物线对称轴对称的点右侧，如下图所示， ， 点关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为， ∴， 解得． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)有三个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点，，优先选用交点式设解析式，代入点坐标求出系数，即可得到抛物线解析式． （2）先求出直线的解析式，过点作轴平行线交于点，用横坐标表示、纵坐标，得到长度，把拆成两个三角形，面积表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值以及对应点坐标． （3）设，，根据平行四边形对角线中点重合的性质，分为对角线、为对角线、为对角线三类，利用中点坐标公式列出等式，结合抛物线解析式联立求解，得到的值，进而求出坐标． 【详解】（1）解：由抛物线经过， ，设抛物线解析式：， 把代入得， ， 解得， ∴，即； （2）解：过点作轴平行线交于点， 设直线解析式：， ，， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∴时，的面积最大， 此时，， ∴； （3）解：设，， ①当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， 解得，， 不符合题意，舍去， ∴； ②当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； ③当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 不符合题意，舍去， ∴； 综上，有三个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解、二次函数最值、平行四边形的性质、中点坐标公式，熟练掌握二次函数的图象性质和平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． (1)求，的值； (2)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边在的左侧作正方形，当此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)的值为或 (3)或或 【分析】（1）把点，代入解析式进行求解即可； （2）先求得抛物线顶点为，分两种情况讨论，当时，在点左侧的图象顶点为最低点，则，当时，随的增大而减小，则为最低点，得出，解方程，即可求解； （3）先求出点B坐标，再得到的值，分情况讨论即可； 【详解】（1）解：把，代入， 则， 解得； （2）解：由（1）知抛物线对应的函数表达式为， ， 抛物线顶点为， 当时，在点左侧的图象顶点为最低点， 即， 解得； 当时，随的增大而减小， 为最低点， 即当时，， 解得（舍去），， 综上所述，的值为或． （3）解：∵过点作轴的平行线交直线于点，点的横坐标为， ∴的横坐标为，， ∴， 即 ∴， ∵以为边在的左侧作正方形，设正方形为， ∴正方形边长为， ∵轴， ∴轴， 当A在B上方且时，如图， 此时此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为， 解得：（舍去）； 当A在B上方且即时，如图， 由图可知此时点A到顶点的纵坐标距离，舍去； 当B在A上方且时，如图， 此时此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 解得：； 当A在B上方且时，如图， 可知抛物线内不存在正方形； 综上所述，的值为或或． 【变式8-3】如图，已知抛物线的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 【答案】(1)①；点的坐标为，点的坐标为； ②或 ③的最大值为，此时点的坐标为 (2)点，点或点，点或点，点 【分析】（1）①将点代入即可求解函数解析式，将代入即可求解A、B两点的坐标； ②分别考虑在对称轴左右两侧即可求解； ③求得直线的解析式，设点的坐标为：，进而可求点的坐标，再联立可知的长度，根据二次函数求最值即可求解； （2）分别以为对角线，为对角线，为对角线讨论即可，根据中点坐标构造方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线交y轴于点 将点代入得：， 解得：或（舍去）， 将代入抛物线得：， 令，得， 解得：，， ∵点A在点B的左侧 ∴点的坐标为，点的坐标为， ②由， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，y的最大值为3， ∴顶点不在范围内， 第一种情况，当区间在对称轴左侧， 则， 解得：， 此时随着的增大而增大，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 第二种情况，当区间在对称轴右侧， ， 解得：， 此时随着的增大而减小，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 综上所述，或 ③设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 设点的坐标为：， ∵轴 ∴点的纵坐标为：， 将点的纵坐标代入直线得： 则得到点的横坐标：， 则 ∴当时，取得最大值， 则的最大值为：， 则点的纵坐标为：， ∴的最大值为，此时点的坐标为， （2）解：∵抛物线的对称轴为， 则设点，点， 以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时， 第一种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第二种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第三种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 综上所述，满足条件的的有三组： 点，点或点，点或点，点． 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．若有一点P在这个二次函数的图象上，过点P作轴，垂足为D，连接．若与相似，求符合条件的点P的坐标． 【答案】或或或 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再根据三角形相似的判定和性质，结合距离的绝对值表示，列比例式解答即可． 【详解】解：将代入，得解得 ∴二次函数的解析式为 ， ． 设 轴， ∴点D的坐标为， ． ①当时，，即， 解得或， 此时点P的坐标为或． ②当时，，即， 解得或， 点P的坐标为或． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或． 【变式9-1】已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）已知抛物线与轴两个交点，设交点式，代入点坐标求出参数，得到抛物线表达式． （2）①先求出抛物线对称轴与点坐标，根据平移得到点坐标，求出直线与直线解析式，联立求交点，再利用距离公式或者坐标线段比求出．②先判断的角度特征，结合公共角，分两种相似情况讨论，利用相似三角形对应边成比例建立方程，求解的值． 【详解】（1）解：抛物线过，， 设． 抛物线过， ， ， ． ． （2）解：①， 对称轴为直线． ，是关于的对称点， ． 向下平移个单位， ． ， ． 设直线解析式：，代入，． ， ，． ∴直线解析式：． 设直线解析式：，代入，． ， ，． ∴直线解析式：． 联立， ， ， ，． ． ． ． ． ②，，， ，，． ， ∴与相似分两种情况． 情况一：，如图， ， ， ， ． 设直线为， ∵直线：过，， ∴， 解得，， ∴直线：， 联立， ∴， ， 当时，． ∴， ∴． ，且在线段上，， ． ， ， ， 解得． 情况二：如图，当时， ， ． ∴点与点重合，此时与轴重合， ∵， ∴, , 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解、抛物线的对称性、一次函数解析式、坐标求线段长度、相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图像上点坐标特征、分类讨论相似三角形对应顶点，联立一次函数求交点是解题的关键． 【变式9-2】如图，已知二次函数的图象经过点和点，的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)当以P，C，E为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标； (3)设F为直线上一点，若，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点D作于点M，先求得点的坐标，再求出直线的解析式，可求得点的坐标，再分，两种情况，即可求解； （3）在y轴的正半轴上作，连接，可得，再分点F在点C的右边和点A的左边两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：如图①，过点D作于点M，则， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， 设， ∵， ∴， ，， ∴， 在中，， ∴． 解得，即， ∴， 设直线的函数表达式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵轴， ∴轴， ∴， 当以P，C，E为顶点的三角形与相似时，分两种情况： 如图②，当时，，则， ∴轴， ∴点P的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点P的纵坐标是， 令， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； 如图③，当时，，则， 过点C作x轴的垂线与过点P作y轴的垂线交于点N， ，， ， ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ，即， 设点P的坐标为， ∵点， ∴点， ，， ， 解得，（舍去），， 当时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，当以P，C，E为顶点的三角形与相似时， 点P的坐标为或． （3）解：点F的坐标为或． 如图④，在y轴的正半轴上作，连接， ，， ∴， ， 当，即时， 分两种情况：或， 过点B作于点G，过点作轴于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 设点的坐标是， ，， ， 在中，， ， 解得（舍去），， 当时，， ； 设点的坐标是， ∴，， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴； 综上所述，当时，点F的坐标是或． 【变式9-3】如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 故，； （2）略 （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 【例10】【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． (1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________； (2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围； (3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”． 【分析】（1）依据“垂近点”的定义，进行判断即可，注意满足时，即可； （2）线段上任意一点都是的“垂近点”，可知线段在是圆的弦，得到，解不等式即可； （3）点是正方形的中心，可得正方形的边长为2，表示出，，，，设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，当点在轴右侧时，，如图1，当点与点重合时，，，如图2，当点与点重合时，，，解方程可得时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；当点在轴的左侧时，，如图3，当点与点重合时，，，如图4，当点与点重合时，，，解方程可得时，正方形上存在抛物线的“垂近点”． 【详解】（1）当时，，不是线段的“垂近点”， 当时，，是线段的“垂近点”， 当时，，是线段的“垂近点”， 不是线段的“垂近点”， 故答案为：，； （2）∵线段上任意一点都是的“垂近点”， ∴线段在是圆的弦， ∵圆的半径是2， ∴； ∴； （3）∵点是正方形的中心，可得正方形的边长为2， ∴，，，， 设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，， 当点在轴右侧时，， 如图1，当点与点重合时，， ∴ 解得或（舍）， 如图2，当点与点重合时，， ∴，解得或（舍）， ∴时，正方形上存在抛物线的“垂近点”； 当点在轴的左侧时，， 如图3，当点与点重合时，， ∴M， 解得或（舍）， 如图4，当点与点重合时，， ∴，解得或（舍）， ∴时，正方形上存在抛物线的“垂近点”； 综上所述：或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”． 【点睛】本题考查了新定义“垂近点”的理解，函数图像上点的特点；理解新定义、掌握函数图像上点的特点是解题的关键． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)直接写出的重心点M的坐标； (3)坐标系中存在点，且，请你推导计算出n的值； (4)如图2．若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)的值为或 (4) 【分析】（1）将，代入中可得、、三点的坐标； （2）分别求出，的中点，再求出，的解析式，求出其交点即可； （3）根据题意画出图象，根据图象求解即可； （4）连接，，在轴截取，使，根据，可知，则，故， ，当、、三点共线时，的值最小，由此可求得最小值． 【详解】（1）解：将，代入中，得， 故点坐标为， 将代入，中得， ， ， ， 解得：，， 故，， 故：，，． （2）解：由（1）可知，的中点的坐标为，，的中点的坐标为， 设CD的解析式为：，将，的坐标代入可得： ，解得， 的解析式为：， 设的解析式为：，将，的坐标代入可得： ，解得， 的解析式为：， 将与联立得：， ， 解得：， 代入中得，， 故重心的坐标为：． （3）解：以为斜边向上方构造等腰，在以为圆心，长为半径的圆上 过点作于点，且， 过点作平行与轴的直线，与圆交于，两点， ∵， ∴根据圆周角定理可知，， ∵，，， ∴， ∴，DF=1， ∴， ∵点横坐标为3， ∴横坐标为， 横坐标为， ，， 故的值为或； （4）解：如图3，连接，，在轴截取，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 上、、三点共线时，的值最小， 在中， ， 即的最小值时． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点求法，圆的性质，一元二次方程的解法，最值的求法，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，，则称p为这k个点的“特征值”，记为．如图1，点． （1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点． ①________， _________； ②直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围； （2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值． 【答案】（1）①3，5；②且，；（2）1或2或． 【分析】（1）①先写出A，B的坐标，然后根据题意即可求解；②D，E两点都在直线上，而A，B两点都在直线上，因此A，B，D，E四点纵坐标不同的取值有2个，要使得，则A，B，D，E四点横坐标不同的取值必须有4个，此时这四个点的横坐标均不能相同，由对称性，当时，D，E分别为和，其横坐标分别与A，B的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线与要有公共点，则，答案可解； （2）根据题意画出图形，抛物线，所以，抛物线开口向上，因为抛物线经过三个点,且抛物线呈对称，分析抛物线可能经过的点，进行分类讨论即可解得答案． 【详解】（1）①由图可知， 根据题意可得：，， 故答案为：3,5； ②解：D，E两点都在直线上，而A，B两点都在直线上，因此A，B，D，E四点纵坐标不同的取值有2个，要使得，则A，B，D，E四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同． 由对称性，当时，D，E分别为和，其横坐标分别与A，B的横坐标相同，不符合题意； 由图可知，直线与要有公共点，则； 综上所述，b的取值范围是且且． （2）∵T＜A1，A2，…，A8＞=6， ∴这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6． ∵点A1，A2，…A8到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形， ∴这8个点构成的图形如下图所示： 它们的坐标分别为：A1（-1，1），A2（0，1），A3（1，1），A4（-1，0），A5（1，0），A6（-1，-1），A7（0，-1），A8（1，-1）． ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）， ∴抛物线开口向上． ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点， ∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A7或A4，A5，A7． ∴抛物线经过A1，A3，A7时， 解得： 抛物线经过或A4，A5，A7时， 解得： 或这8个点构成的图形如下图所示： 它们的坐标分别为：， ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点， ∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A6或A4，A2，A7． ∴抛物线经过A1，A3，A6时，A6为顶点，经过A1，A3，设抛物线解析式为 将A3坐标代入得： 解得： 抛物线经过A2，A4，A7时，A7为顶点，经过A2，A4，设抛物线解析式为 将A4坐标代入得： 解得： 综上，a的值为1或2或 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是进行分类讨论． 【变式10-3】如图是一块美术小组使用剩余的画布，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，美术小组计划进行裁剪： (1)若裁剪成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的边长； (2)若裁剪成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若裁剪成圆，判断能否裁剪出半径为的圆，请说明理由． 【答案】(1)； (2)10dm； (3) 若裁剪成圆，能裁剪出半径为的圆， 如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q， 连接，过点N作轴于P，则，， 设，由勾股定理得：， ， 解得：，（舍）， ， ， ， ， ， 设QN的解析式为：，代入、 解得QN的解析式为：， 联立QN的解析式和抛物线解析式： ， 可得：， 即：， ，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点， 若切割成圆，能切得半径为的圆． 【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形在二次函数图像上的顶点坐标，利用抛物线的对称性列方程求解； （2）由（1）中所设点的坐标，根据对称性求出矩形各边长度，建立新的二次函数，并求最大值即可； （3）设半径为的圆与相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，由题意得：，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：， 四边形是正方形，且抛物线关于轴对称， ， 设， ， 解得：，（舍）， 此正方形的边长为； 故答案为：； （2）如图2，由（1）知：设， 矩形的周长 ， 当时，矩形的周长最大，且最大值； 故答案为：； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键． 【探究式学习】 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)，； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点即可求出答案； （2）求出直线的解析式为，设，则，得到，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）以为对角线作正方形则与抛物线的另一个交点即为，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则，证明，则，设则，得到，求出，得到，求出为：，联立得到，即可求出，得到，同理可得，直线为，联立得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，点坐标为，点坐标为． ∴ （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ 当时，有最大值， 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形 ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设则， ∴， 由可得，， 解得， ∴， 设为：， ∴， 解得， ∴为：， 联立得到， 解得或 ∴ ∵，，，正方形， ∴ 同理可得，直线为， ∴联立得到， 解得或 ∴ 综上可知，点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． (1)如图（1），菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，已知点，求抛物线解析式及菱形的边长． (2)如图（1），已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长． (3)如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数的图象上，点，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为，，探究是否为定值如果是，求出这个值如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；菱形的边长为 (2)菱形的边长为 (3)是， 【分析】（1）将点坐标代入解析式即可求出解析式，根据抛物线的对称性可知点，关于轴对称，由此得到线段的长，即为菱形边长； （2）设交轴于点，菱形的边长为，由此表示出点，即得到的长，利用勾股定理表示出，由此得到点的坐标，将其代入解析式即可求出的值，进一步得到菱形边长； （3）由题可得，，，,过点作轴于点，过点作轴于点，构造出“一线三垂直”的模型，得到，得到对应边相等，即，，根据图中的线段关系可得,从而得出，化简可得． 【详解】（1）解：由题意可知，点 代入得， 则抛物线解析式为． 由题意可知，关于轴对称， 即菱形的边长为． （2） 设交轴于点，菱形的边长为， 则． 由题意可知，关于轴对称， ， ， ， ， ， ． 把代入，得， 解得或舍去， 菱形的边长为． （3）为定值过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． 点，的横坐标分别为，，正方形的顶点，在二次函数的图象上， ，， ，，，． 四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ∵, ， ． 点，在轴的同侧， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理，平方差公式，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练运用这些知识，尤其是第三问能构造“一线三垂直”基本模型． 【课后检测】 1．如图，抛物线的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线图象与轴有两个交点， ，①正确； 由函数图象开口向上知， 抛物线的图象与轴相交于、两点， 对称轴为直线，即， ，则，④正确； 抛物线图象与轴相交于负半轴， ， ，②正确； 由于抛物线图象开口向上，则时图象在轴上方，对应或，故③错误； 当时，， 时，或， 当时，，且在和之间， ，⑤正确； 故正确的有①②④⑤，共4个， 故选：D． 2．如图，抛物线（）的顶点坐标，与轴的一个交点，直线（）与抛物线交于，两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根：④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤当时，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与y轴的交点位置可得，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标， ∴时，二次函数有最大值，即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根； 所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，所以④错误； ∵抛物线与直线（）交于， ∴当时，，所以⑤正确． 故其中正确的是：①③⑤． 3．如图，已知抛物线：的图像交轴的负半轴于点，与直线相交于，两点，抛物线：的顶点在线段上移动，若抛物线的图像与线段仅有个公共点，则的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出点A、B、C的坐标及直线的解析式，用m表示抛物线的顶点坐标，联立与直线得到交点横坐标关于m的表达式，根据交点在线段上的个数，分情况求m的取值范围即可． 【详解】解：令，得，解得，， ∵点A在x轴负半轴， ∴， 令，得，解得， ∴，， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线为， ∵抛物线：的顶点在线段上移动， ∴，且， ∴解析式为． 令，得，整理得， ∵抛物线的图像与线段仅有个公共点， ∴，即． 解得． 线段的横坐标范围为， ①当时，，即 （在线段外），（在线段上），符合题意； ②当时，解得（舍去）． 此时，即有两个公共点，不合题意； ③ 当时，，，仅有1个公共点，符合题意； ④当时，且，有两个公共点，不合题意； ⑤当时， ∵， ∴，即（在线段外）． 又∵，且， ∴仅有1个公共点，符合题意； ⑥当时，，仅有1个公共点，符合题意． 综上，m的取值范围是或． 4．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接，如果，两点分别从，两点同时出发，同时停止运动，出发时间为．有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据三角形的面积公式列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①由题意得，， ，动点从点到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值，最大值为，故①正确； ②当时， 解得，， ， 不符合题意， 出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③的长是时，根据勾股定理得， ， 整理得， ， 此方程无解， 的长不可以是，故③错误； 综上分析可知，正确结论的个数是个． 5．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐一判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故结论①不正确； ∵顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， 故结论②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴的最大值是2， ∵一元二次方程没有实数根， ∴，故结论④正确； 综上，正确结论为②③④，共3个． 6．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于，两点．与轴相交于点．对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用 时的函数值判断②；结合 确定点 坐标，代入解析式推导③，将点代入可得，将代入即可推导④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与 轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线 ， ∴， 即 ， ∴，故①正确； 由图象可知，当 时，， ∴， ∵， ∴， 即 ，故②错误； ∵，， ， ∵， ∴， 由图象可知， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 将点代入函数得：， ∵， ∴， 则， 将代入函数得：， ∴关于的方程有一个根为，故④正确． 综上可知，正确的有①③④． 7．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】先根据函数开口向下判断a的负号，再根据函数与y轴的交点判断c的符号，即可判断①；根据函数的顶点和点B即可确定函数经过点，即可判断②；根据函数的对称轴即可得出a、b之间的等量关系，根据，即可得出a、c之间的关系，最后将代入函数表达式即可得出结论；④根据二次函数与一元二次方程之间的关系，及对称性判断④，即可进行解答． 【详解】解：①∵函数开口向下， ∴， ∵函数图像与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵顶点为， ∴函数对称轴为：直线， ∵函数图象经过点， ∴函数图象经过点， 当时，， 故②不正确； ③∵函数对称轴为直线， ∵，即：， 由②可知：，故， 当时：， ∵函数经过点， ∴，即， 故③正确； ④∵此抛物线经过点， 是方程的一个根， 抛物线对称轴为直线， 设方程的另一个根， 则， ， 一定是方程的一个根，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 8．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：①；②；③；④若且，则；⑤关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是：___________． 【答案】①④ 【分析】由顶点坐标得出对称轴及a、b关系，由点A坐标得出a、c关系，结合与 y 轴交点范围确定a，b，c的符号及取值范围，进而判断①②③；通过移项因式分解求解可判断④；利用二次函数最值的性质可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线与轴交于点， ∴，即，解得， ∵抛物线与y轴的交点在，之间， ∴， ∴，解得：， ∴； ①∵，，， ∴，故①正确； ②∵抛物线与 x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③ ∵，， ∴，故③错误； ④ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； ⑤ ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴函数最小值为， ∵， ∴函数与直线没有交点，即关于的方程没有实数根，即⑤错误． 9．已知抛物线与x轴交于点，其顶点坐标为，，下列五个结论： ①； ②若，则x的取值范围为或； ③若点，在抛物线上，且，则； ④若对任意实数x恒成立，则m的最大值是． ⑤将抛物线向右平移n个单位长度，当x为自然数时，y随着x增大而增大，则n的取值范围是； 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①④ 【分析】先根据抛物线的对称轴与已知交点推导系数关系，再逐一验证每个结论的正确性． 【详解】解：由抛物线顶点坐标为，得对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于，根据抛物线的对称性，另一交点为， ∴抛物线可写为交点式，即，， ∵顶点在轴下方（）且抛物线与轴有两个交点， ∴开口向上，； ① ∵， ∴，故①正确； ② 即，化简得， ∵，两边除以得， 解得或， 与题目中或的范围不符，故②错误； ③开口向上的抛物线，点离对称轴越远，函数值越大， 若且，则， 平方展开得， 整理得， ∵即， ∴， 与结论不符，故③错误； ④对任意恒成立，代入抛物线表达式得， 整理得对任意恒成立； ∵， ∴二次函数开口向上， ∵， 解得， 顶点纵坐标为时的函数值，代入得， ∵， ∴，即的最大值为，故④正确； ⑤ 抛物线向右平移个单位后，对称轴为直线， 要使为自然数时随增大而增大，需满足对任意自然数，，最小的两个自然数为和，需满足，即到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 即， 化简得， 平方得， 展开解得， 与题目中的范围不符，故⑤错误； 综上，正确的结论为①④． 10．设二次函数与x轴的交点为，．若二次函数，则时自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先由原二次函数与x轴的两个交点求出原函数的对称轴，进而计算得到h的值，再结合两函数二次项系数、常数项完全相同的特点，通过图象平移规律得到与x轴的交点坐标，最后根据开口方向确定时x的取值范围． 【详解】解：∵原二次函数与x轴的交点为，， ∴原函数的对称轴为直线， ∵顶点式二次函数的对称轴为直线， ∴原函数的对称轴满足， 解得：， ∵二次函数的二次项系数、常数项与原函数完全相同， ∴的图象与原函数图象形状、开口方向完全一致，仅对称轴位置存在差异， ∴的对称轴为直线， ∴两个函数对称轴的间距为， 即的图象是由原函数图象向右平移5个单位长度得到的， ∴与x轴的交点为原交点向右平移5个单位，即，， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围是． 11．在二次函数中， (1)若它的图象过点，求二次函数的解析式； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入求出t的值即可； （2）由解析式得二次函数开口方向、对称轴位置，结合分情况讨论，根据最小值为列方程求解t； （3）由，关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：开口向上，对称轴为：直线， 若，则当时，取最小值， ， 解得， ， ； 若，则当时，取最小值， ， 解得（不合题意，舍去）， 综上可得，； （3）解：，关于对称轴直线对称， ，即，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 当时，， 抛物线与y轴交点， 对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为，即， ，， ，解得， 当A，B都在对称轴左边时， ， ， ； 当A，B分别在对称轴两侧时， ， B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离， ， 解得， ， 综上可得，或． 12．已知，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接交y轴于点D，设点P横坐标为t，长为d，求d与t的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点H，点E在上，过点E作的垂线，垂足为点F，交x轴于点G，连接，若，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求得点C的坐标，进而得到，由正切的定义可得到点B的坐标，将点B坐标代入抛物线解析式即可求解； （2）过点P作轴交y轴于点M，过点P作轴交x轴于点N，先证得四边形是矩形，再利用相似三角形的判定与性质得到，进而求得d与t的函数关系式； （3）过点E作交于点K，连接，过点B作，交延长线于点Q，根据已知条件利用相似三角形的判定与性质求出点E的坐标，由抛物线的对称轴可得是等腰三角形，利用已知条件结合直角三角形两锐角互余可得，证明，得到，由是等腰直角三角形推出是等腰直角三角形，进而证明，推出点H为的中点，由中点坐标公式可求得点H的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，最终联立抛物线解析式即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点C， ∴令，则， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交x轴于A、B两点， 将点代入得：， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作轴交y轴于点M，过点P作轴交x轴于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 当时，， 解得：，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴，， 即d与t的函数关系式为． （3）解：如图，过点E作交于点K，连接，过点B作，交延长线于点Q， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴点E在抛物线对称轴上， 又∵点A，B是抛物线与x轴的交点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即点H为的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式，得：， 解得：，（舍去）， ∴． 13．如图，在正方形中，，连接两点分别从同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度．在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为． (1)当点在上运动时，用含的代数式表示的长___________； (2)当点在上时，___________； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间表示即可； （2）如图1中，当点M落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可； （3）分三种情形：如图中，当时，重叠部分是矩形，如图中，当，重叠部分是四边形，如图中，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论 【详解】（1）解：∵点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度， ∴点运动到点A时需：秒， ∴点在上时，； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， 如图1中，当点M落在上时， ∵以为邻边作平行四边形． ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动； ∴ ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图中，当时，重叠部分是矩形， 依题意，， 矩形的面积， 即． 如图中，当时，重叠部分是四边形， 过点作， 同理证明是等腰直角三角形 ∴ 由（1）得， ∴ ∴平行四边形的面积， 即． 如图中，当时，重叠部分是五边形， ， 同理证明是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 同理证明是等腰直角三角形， ∴ ． 综上所述，． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，   与 轴交于点，对称轴为直线，点 、在此抛物线上，其横坐标分别为、（）． (1)求此抛物线的解析式； (2)当轴时，求的值； (3)设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， 在点与点之间的部分（包括点和点） 的最高点与最低点的纵坐标的差为．当 时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入解析式，由对称轴为直线得，即可求解； （2）由轴得，即可求解； （3）分类讨论：①当、都在直线的左侧时，②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点在直线的右侧且在直线上方时，④当点在直线的右侧且在直线下方时；即可求解． 【详解】（1）解：点，对称轴为直线， ，， 解得：， 故此抛物线的解析式； （2）解：轴， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 故； （3）解：当时，，则顶点坐标为， ①当、都在直线的左侧时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； ②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图， ， 解得：， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 此种情况的值不存在； ③当点在直线的右侧且在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）； 的值为； ④当点在直线的右侧且在直线下方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：的值为或． 15．如图，抛物线（）与轴交于，两点，交轴于点，直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，求出的取值范围； (3)点是轴的上方抛物线上一点，点与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，设的长为．当随的增大而增大时，直接写出的取值范围； (4)在抛物线上是否存在一点（不与，重合），过点作的平行线，在直线上取一点，使以，，，四点为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据图象交点的意义，确定m的值，继而确定点D的坐标，把A，D的坐标代入解析式，利用待定系数法，解答即可； （2）根据题意，配方法，抛物线的增减性，解答即可； （3）设，，分点两种情况，表示h，再利用配方法，根据抛物线性质，解答即可． （4）分两种情况，利用正切函数，中点坐标公式，解方程，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得直线交抛物线于，两点， ，， 解得，， 故． 由题意得： ， 解得：， 则抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，函数有最大值，且最大值为4． 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，且最小值为． 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，且最小值为． ， 解得或， 而不符合题意，舍去， 故， 故． （3）解：根据题意，得直线的解析式为，抛物线的解析式为 ，， 当时，得， 解得， 故， 当时，此时点P在x轴的上方，且在直线的上方，不妨设，， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴的左侧，h随m的增大而增大， ∴； 当时，此时点P在x轴的上方，且在直线的下方，不妨设，， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴的右侧，h随m的增大而增大， ∴； 故， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． （4）解：存在这样的点Q，且．理由： 如图，当Q在矩形的一边的上方时，根据题意，得， 过点D作于点H，过点E作于点G， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， 设， 则， 设，由中点坐标公式得： ， 整理，得， 解得或（与点D重合，舍去） 故， 此时； 如图，当Q在矩形的一边的下方时，根据题意，得， 过点A作于点A，过点作于点M， ， ， ， ； 设， 则，， ， ， ， 整理，得， 解得：或（不符合要求，舍去）， 故； 故存在点Q，使得A，D，Q，E为顶点的四边形是矩形且坐标为或． 16．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． (3)过点 作直线 ，交 轴于点 ，当 的面积等于 时，求 的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法，进行解答，即可； （2）根据点在抛物线上，则，，用，得到代数式，进行化简，即可； （3）根据抛物线的性质，求出点的坐标，设直线的解析式为：，求出函数解析式，根据点在轴上，求出点的坐标，根据，求出；联立直线和抛物线，得到一元二次方程，把代入，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为：， ∴， 把点代入抛物线，可得， ∵抛物线与 轴交于点 ， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：∵点 ，点 在抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵抛物线的对称轴为，抛物线 与 轴交于 ， ∴， 解得：，即点； 设直线的解析式为：，代入 ，点 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵ ， ∴直线的解析式为； ∵点在轴上， ∴ 解得：，即点 ∵点，点 ∴， ∵ 的面积等于 ， ∴， 整理得：， 解得：，； 联立直线和抛物线的解析式， ， 整理可得：， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； ∴ 的值为：或或． 17．已知抛物线经过，且关于直线对称，点是上的动点． (1)求的解析式； (2)若点也在上，求s的最小值； (3)点在抛物线上，若经过的直线与和恰好交于B、D两点（B，D点与不重合．如图所示），求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点在上，得，由点在上可求出，整理得，根据二次函数的性质可得结论； （3）根据待定系数法求出过点的直线解析式，分别联立方程组求出和，从而可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 解得， ∴抛物线， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在上， ∴； 又∵点也在上， ∴ ∴ ∴是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴的最小值； （3）解：设过点的直线解析式为， ∴， ∴过点的直线解析式为， 又， ∴联立直线与（点是上的动点）得， 整理得， 解得：，， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴， 联立直线与（点在抛物线上）得：， 整理得， 解得：， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴； ∴． 18．如图，已知二次函数的图象对称轴是直线，与轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴是直线求出，再求出且，得到，则，代入函数解析式求出，即可得到函数解析式； （2）设点P的坐标为．根据题意得到，由的面积是的面积的2倍，得到，则，进一步求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴是直线， ∴ 解得， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴． ∵点在轴的负半轴， ∴， 把代入得，， 即， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴ （2）解：设点P的坐标为． ∵点P在第二象限， ∴ 由（1）得到， ∵，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍， ∴， 当时， 即， 解得 ∵ ∴， ∴点P的坐标为． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 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