25.3 实践与探索 第1课时 用二次函数解决实际问题-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

九年级下册·数学(HS)8 25.3实践与探索 ©规律和方法 第①课时 用二次函数解决实际问题 本题是抛球、喷泉、拱桥等形状的“抛物线 艺课前优学 模型”问题，解题思路一般都是先建立恰当的直 用二次函数知识解决实际问题的步骤： 角坐标系，把其中的已知条件转化为，点的坐标， (1)根据实际情况建立适当的平面直角坐标系； 求出抛物线的关系式，把实际问题转化为二次 (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的解析式； 函数，利用二次函数的图象和性质解题 (4)用二次函数的性质去分析、解决问题； 即学即练 (5)根据题目的要求作答. 课堂精讲 1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物 线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 知识点1生活场景中的近似抛物线问题 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 【例1】一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥 0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长 梁的缆索L,与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥 度至少为 () 塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 A.50m B.1000m C.160m D.200m FF为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直 角坐标系. 高度(m) 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m, 单位：m AO=BC=17m,缆索L1的最低点P到FF'的距离 PD=2m.(桥塔的粗细忽略不计) 02 2.534落，点(m) (1)求缆索L所在抛物线的函数表达式； 第1题图 第2题图 (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF,且EF=2.6m,FO2.如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头 <OD,求FO的长. 喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水 ◆y/m 柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平 E 面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点 距O点2.5m;喷头高4m时，水柱落点距O点3m. 那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m. 3.（兰州中考)在校园科技节期间，科普员为同学们进 行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实 物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛 物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展 开研究.如图2建立直角坐标系.水火箭发射后落 在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地 面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距 离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平 ·36· 第25章二次画数 距离x(m)的几组关系数据如下： 2.一位篮球运动员在距离篮圈中 y(0,3.5) 心水平距离4m处起跳投篮，球 水平距离x(m)0341015 20 2227 沿一条抛物线运动，当球运动 03.244.1689 3.05m 竖直高度y(m) 8 7.043.24 的水平距离为2.5m时，达到最 .2.5m0 (1)根据图表，请确定抛物线的表达式； 大高度3.5m,然后准确落入篮 -4m 筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如 (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离 图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 为5m时，水火箭距离地面的竖直高度 () y/m A.此抛物线的解析式是y=一 x2+3.5 B.篮圈中心的坐标是(4,3.05) C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) x/m 图2 D.篮球出手时离地面的高度是2m 3.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交 点为O、B,以点O为原点，水平直线OB为x轴，建 立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 y=一红一80)产十16，桥拱与桥城AC的交点C 恰好在水面上，有AC⊥x轴.若OA=10米，则桥 面离水面的高度AC为 ( 图 2 A.16易米 &米 C.16米 D.3.75米 4.九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长 买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够 长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出 了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三 种方案，最佳方案是 总课外精练 W LEAEE L A组（基础过关） 一、选择题 方案1 方案2 方案3 1.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷 A.方案1 B.方案2 水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为 C.方案3 D.方案1或方案2 米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关 二、填空题 5.心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概 系式是 ) 念的时间x(分)之间的关系式为y=一0.1x2十 Ay=-(x-2)+3 2.6x+43(0≤x≤30)，若要达到最强接受能力 By=-3(+2》}+3 59.9,则需 分钟. 6.(甘肃中考)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截 cgy=-12(e-2}°+3 面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖 直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距 D=-12(+2+3 离x(单位：m)近似满足函数关系y=一0.02x2+ 0.3x十1.6的图象，点B(6,2.68)在图象上.若一辆 37· 九年纸下册·数学(HS)n 箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长10.（贵州中考）某超市购入一批进价为10元/盒的糖 CD=4m,高DE=1.8m的矩形，则可判定货车 果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）. 价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函 数关系，下表是y与x的几组对应值 销售单价x/元 … 1214 1618 20 … C 销售量y/盒 56 52 4844 40 … 图1 图2 (1)求y与x的函数表达式； 7.如图所示，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了 (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润 一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地 最大，最大利润是多少？ 方距地面的距离都是2.5m,绳子自然下垂呈抛物 (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠 线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头 送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该 部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离 种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m 为 m 的值. 4m 2m 5m 第7题图 第8题图 8.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 OP是m,出手后实心球沿一段抛物线运行，到达 最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落 地点为M,则OM= m. 三、解答题 9.(青海中考)在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 Q4,从点O处抛出一个小球，落到点A(3,号)处.小 球在空中所经过的路线是抛物线y=一x2十bx的 一部分 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分 点，小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度 y ·38· 第25章二决函赵 11.(1)一辆宽2m的货车需要通过跨度为8m、拱高为 4m的单行抛物线隧道（从正中通过），为了保 点A滑出，指出后沿一段救物线G:y=一日 证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5m的距离， 十bx十c运动. 货车的限高为多少？ (1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时， (2)若将(1)中的单行道改为双行道，即货车必须 离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数表 从隧道中线的右侧通过，货车的限高应是 达式（不要求写出自变量x的取值范围）； 多少？ (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为 A少 多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 1米？ 4m (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超 0 过3米时，求b的取值范围. 8m /米 跳台 水平线O /来 B组（能力提升） 12.一块边缘呈抛物线型的铁片如图放置，测得AB= 20cm,抛物线的顶点到AB边的距离为25cm,现 要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁 皮，如图所示，已知截得的铁皮中有一块是正方 形，则这块正方形铁皮是() A.第七块 B.第六块 C.第五块 第二块 第一块 D.第四块 13.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某 一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线 的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物 线C:y=一x2+名x+1近似表示滑雪场地上 的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的 ·39·九年级下册·数 (2)自变量x的取值范围是0<x<80; (3)m=2. (3)当x=40时，y有最大值，且最大值为1200cm2. 山.(1)货车的限高为米。 【例2】该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大， 其最大值为312.5万元：该果商定价为3.5万元时才能使每天 (2②)货车的限高为3-2=2.5米 的“销售收人”最大，其最大值为612.5万元 12.B 即学即练 13.(1)抛物线C2的函数表达式为 3.(1)y=-5x+800. (2)当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是 y=-82+号x+4 7920元 (2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖 课外精练 直距离为1米 1.B2.C3.D4.C5.4506.47.38.121 9.(1)工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W 86>费 =-50x2+400x+9000, 第2课时 二次函数与一元二次方程（不等式） 当降价2元时，工厂每天的利润为9600元： 课堂精讲 (2)即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元； 【例1】(1)当x=0时，y=1. (3)定价应为43元. ∴.不论m为何值，函数y=mx2一6.x十1的图象都经过y轴上 10e=(x-合)》'+子. 一个定点(0,1)； (2)①当m=0时，函数y=一6x十1的图象与x轴只有一个 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元 交点； (3)当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元. ②当m≠0时，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一 11.(1)y=-x2-2x十3. 个交点，则方程mx2一6x十1=0有两个相等的实数根，∴.△= (②点P的坐标为(-号，).△APC面积最大值为各 (-6)2-4m=0,解得m=9. 12.46.4 综上，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一个交点，则 13.(1)A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为：m的值为0或9. 14元： 即学即练 (2)①B款纪念册每天的销售量为(80一2m)本； 1.D2.-13.1 ②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大：【例2】(1)抛物线与y轴的交点为(0,4)，与x轴的交点为 利润是1264元. (号，0八2,0). 25.3实践与探索 2)图象略，当x三子或x=2时y=0 第1课时用二次函数解决实际问题 当x<号或x>2时，y>0;当号<x<2时y<0, 课堂精讲 3 即学即练 【例】(1)缆素L所在抛物线为y=(x一50)2十2 4.A (2)FO的长为40m 5.y=x2-2x3或-1<0或x>2(4,0)与(-1,0) 即学即练 x<-1或x>4 1.C2.8 y=kx+1 30①抛物线的表达式为y=一云(（红一15)十9 【例3】(1)联立 y=x2-4x1 (2)水火箭距离地面的竖直高度为5m 化简可得：x2一(4十k)x一1=0， 课外精练 ∴.△=(4十k)2十4>0， 1.C2A3B4C5136能70.58 故直线1与该抛物线总有两个交点； (2)SAO=/2. 9,1抛物线的解折式为y=一2十名x 即学即练 6.(1)抛物线与直线的交点为(3，一4)与（一2,6）. (②抛物线最高点的坐标为（子，碧）》. (2)当-2<x<3时，<2； (3)这棵树的高度是2， 当x<-2或x>3时，y>. 10.(1)y=-2x+80; 课外精练 (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大1.A2.C3.A4.B 利润是450元； 5.x<-1或x>3x<-3或x>1 153 学参考答案(HS)指 6.k≥37.-4<x<28.-3≤a≤19.x<-2或x>4 (3)加的取值范围是号<a≤号 10.(1)x=1,x2=3.(2)1<x<3.(3)x>2.(4)k<2 11.(1)抛物线的解析式为y=x2一2x一3=(x一1)2一4， 第25章《二次函数》知识结构与中考链接 抛物线的顶点坐标为(1，一4). (2)y=-x2+2x+3.(3)m=4或-5<m≤3. 1.B2.C3.>M>% 12.①④13.A 4直线BC的函数表达式为y=一名x十。 14=日（红+3）+名 ②D(是). (2)①抛物线BD的解析式y=一日（红一3）P+空 5.(1)y=xt-2x(2)(2,-5)6.A7.<8B9.D ②落点D在安全范围内， 10.(1)证明：，△=一4ac=(m-1)2-4×(-1)×m=(m十 (3)这条钢架的长度为2√17米， 1)≥0，∴.不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点； (2)略(3)①0<x<2②k<4③-5<t≤4. 专题二二次函数与几何的综合问题 1a0a=6=81: 1.(1)抛物线的解析式为y=x2一x一2； ②这两个位置之间的距离为8.4km; (2)函数值的取值范围是-号<)<0， ⑧一号 <a<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超 (3)最小值为5 过15km 2.(1)抛物线的表达式为：y=x2一2x一3； 12.(1)y=-x2+2x+8; (2Q(号，一)：（3)存在，理由略最小值为号 1 (2)P的坐标为(1,9)； 3.(1)y=x2十2x-3; ③)存在M的坐标为（中，中）或（香，）或 2 (2)P(1,0)或(-4,5)； (3)存在， (,）,2) N(-1,√14)或N(-1,-√14)或N(-1,-1)或 章末训练题 N(-1,-3+√17). 4.(1)y=-2-2x+2; 1.D2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.A9.C10.< (②6咒的最大值为名， 1.362.x≤-1或x≥313.号14①@ 此时点C的坐标为（一多，）： 18.1y=-号-x+是： (3)存在， (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单 G点坐标（一2,0）或(4,6)或(2,4). 位长度，解析式变为y=一合，顶点落在原点。 5.(1)y=-x+4;C(0,4). (②)①当m=号时，PD=号是最大值 16.(1m>-; (2)一元二次方程x2十x一m=0的解为x1=1,x2=一2. ②存在，P的坐标为(3,3)或(2,4)： 6.(1)y=-x2+x+6; 17.(1)一次函数关系y与x之间的函数关系式为y=一2x (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似，点D的坐标为(1,6) +60. 或（合空）： (2)当销售单价为18元或20元时，该产品每月获得的利润 为240万元 (3)点D的横坐标为3十25-√2四 (3)当销售单价为20元时，该产品每月获得的利润最大，最 2 大利润为240万元. 7.1y=t-4红+3，(2Q(2,-): 18.(1①36；@点A的坐标是（停，号）】 (3)存在， (2)①8； E(0,8十√43)或(0,8一√43)或(0,5)或(0，/59)或 ②v=4v√10 (0,-√59) 8.(1)抛物线的顶点坐标(1,1)； 191)二次函数的解析式为)=合女-号x一3： (②a的取值范围是受<a<名， ②36. 154