25.3 实践与探索 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

九年级下册·数 (2)自变量x的取值范围是0<x<80; (3)m=2. (3)当x=40时，y有最大值，且最大值为1200cm2. 山.(1)货车的限高为米。 【例2】该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大， 其最大值为312.5万元：该果商定价为3.5万元时才能使每天 (2②)货车的限高为3-2=2.5米 的“销售收人”最大，其最大值为612.5万元 12.B 即学即练 13.(1)抛物线C2的函数表达式为 3.(1)y=-5x+800. (2)当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是 y=-82+号x+4 7920元 (2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖 课外精练 直距离为1米 1.B2.C3.D4.C5.4506.47.38.121 9.(1)工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W 86>费 =-50x2+400x+9000, 第2课时 二次函数与一元二次方程（不等式） 当降价2元时，工厂每天的利润为9600元： 课堂精讲 (2)即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元； 【例1】(1)当x=0时，y=1. (3)定价应为43元. ∴.不论m为何值，函数y=mx2一6.x十1的图象都经过y轴上 10e=(x-合)》'+子. 一个定点(0,1)； (2)①当m=0时，函数y=一6x十1的图象与x轴只有一个 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元 交点； (3)当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元. ②当m≠0时，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一 11.(1)y=-x2-2x十3. 个交点，则方程mx2一6x十1=0有两个相等的实数根，∴.△= (②点P的坐标为(-号，).△APC面积最大值为各 (-6)2-4m=0,解得m=9. 12.46.4 综上，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一个交点，则 13.(1)A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为：m的值为0或9. 14元： 即学即练 (2)①B款纪念册每天的销售量为(80一2m)本； 1.D2.-13.1 ②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大：【例2】(1)抛物线与y轴的交点为(0,4)，与x轴的交点为 利润是1264元. (号，0八2,0). 25.3实践与探索 2)图象略，当x三子或x=2时y=0 第1课时用二次函数解决实际问题 当x<号或x>2时，y>0;当号<x<2时y<0, 课堂精讲 3 即学即练 【例】(1)缆素L所在抛物线为y=(x一50)2十2 4.A (2)FO的长为40m 5.y=x2-2x3或-1<0或x>2(4,0)与(-1,0) 即学即练 x<-1或x>4 1.C2.8 y=kx+1 30①抛物线的表达式为y=一云(（红一15)十9 【例3】(1)联立 y=x2-4x1 (2)水火箭距离地面的竖直高度为5m 化简可得：x2一(4十k)x一1=0， 课外精练 ∴.△=(4十k)2十4>0， 1.C2A3B4C5136能70.58 故直线1与该抛物线总有两个交点； (2)SAO=/2. 9,1抛物线的解折式为y=一2十名x 即学即练 6.(1)抛物线与直线的交点为(3，一4)与（一2,6）. (②抛物线最高点的坐标为（子，碧）》. (2)当-2<x<3时，<2； (3)这棵树的高度是2， 当x<-2或x>3时，y>. 10.(1)y=-2x+80; 课外精练 (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大1.A2.C3.A4.B 利润是450元； 5.x<-1或x>3x<-3或x>1 153 学参考答案(HS)指 6.k≥37.-4<x<28.-3≤a≤19.x<-2或x>4 (3)加的取值范围是号<a≤号 10.(1)x=1,x2=3.(2)1<x<3.(3)x>2.(4)k<2 11.(1)抛物线的解析式为y=x2一2x一3=(x一1)2一4， 第25章《二次函数》知识结构与中考链接 抛物线的顶点坐标为(1，一4). (2)y=-x2+2x+3.(3)m=4或-5<m≤3. 1.B2.C3.>M>% 12.①④13.A 4直线BC的函数表达式为y=一名x十。 14=日（红+3）+名 ②D(是). (2)①抛物线BD的解析式y=一日（红一3）P+空 5.(1)y=xt-2x(2)(2,-5)6.A7.<8B9.D ②落点D在安全范围内， 10.(1)证明：，△=一4ac=(m-1)2-4×(-1)×m=(m十 (3)这条钢架的长度为2√17米， 1)≥0，∴.不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点； (2)略(3)①0<x<2②k<4③-5<t≤4. 专题二二次函数与几何的综合问题 1a0a=6=81: 1.(1)抛物线的解析式为y=x2一x一2； ②这两个位置之间的距离为8.4km; (2)函数值的取值范围是-号<)<0， ⑧一号 <a<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超 (3)最小值为5 过15km 2.(1)抛物线的表达式为：y=x2一2x一3； 12.(1)y=-x2+2x+8; (2Q(号，一)：（3)存在，理由略最小值为号 1 (2)P的坐标为(1,9)； 3.(1)y=x2十2x-3; ③)存在M的坐标为（中，中）或（香，）或 2 (2)P(1,0)或(-4,5)； (3)存在， (,）,2) N(-1,√14)或N(-1,-√14)或N(-1,-1)或 章末训练题 N(-1,-3+√17). 4.(1)y=-2-2x+2; 1.D2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.A9.C10.< (②6咒的最大值为名， 1.362.x≤-1或x≥313.号14①@ 此时点C的坐标为（一多，）： 18.1y=-号-x+是： (3)存在， (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单 G点坐标（一2,0）或(4,6)或(2,4). 位长度，解析式变为y=一合，顶点落在原点。 5.(1)y=-x+4;C(0,4). (②)①当m=号时，PD=号是最大值 16.(1m>-; (2)一元二次方程x2十x一m=0的解为x1=1,x2=一2. ②存在，P的坐标为(3,3)或(2,4)： 6.(1)y=-x2+x+6; 17.(1)一次函数关系y与x之间的函数关系式为y=一2x (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似，点D的坐标为(1,6) +60. 或（合空）： (2)当销售单价为18元或20元时，该产品每月获得的利润 为240万元 (3)点D的横坐标为3十25-√2四 (3)当销售单价为20元时，该产品每月获得的利润最大，最 2 大利润为240万元. 7.1y=t-4红+3，(2Q(2,-): 18.(1①36；@点A的坐标是（停，号）】 (3)存在， (2)①8； E(0,8十√43)或(0,8一√43)或(0,5)或(0，/59)或 ②v=4v√10 (0,-√59) 8.(1)抛物线的顶点坐标(1,1)； 191)二次函数的解析式为)=合女-号x一3： (②a的取值范围是受<a<名， ②36. 154九年很下册·数学(HS)a 第2课时 二次函数 与一元二次方程（不等式） 笔课前优学 1.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象与x轴交 点的横坐标是一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠ 0)的根， 2.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象与x轴的 交点有三种情况： (1)抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程ax +bx十c=0有两个不相等的实数根，则 b2-4ac>0; (2)抛物线与x轴有一个交点时，一元二次方程ax 十bx+c=0有两个相等的实数根，则b2一4ac =0; (3)抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程 a.x2+bx+c=0没有实数根，则b一4ac<0. 3.不解方程，通过y=ax2+bx十c(a≠0)的图象能判 断方程ax2十bx十c=0(a≠0)解的情况与不等式 a.x2+bx+c≤0(a≠0)或a.x2+bx+c≥0(a≠0) 的解集， 4.求抛物线y=ax2十bx十c与直线y=x十m的交 点坐标就是求方程组y=ar+6x+c的解。 y=kx+m 5.抛物线与一元二次方程两根的关系 如图所示，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交 于A(x1,0)、B(x2,0),则x1、x2为一元二次方程 ax2+bx十c=0两实根，于是有： ①x十xm2=-b: a i ②x1x2=S a ③AB= a' 课堂精讲 知识点1二次函数与一元二次方程 【例1】已知函数y=mx2一6.x十1(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上 的一个定点； (2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值. 【思路点拔】(1)根据表达式可知，当x=0时，y的 值与m的取值无关，故可知不论m为何值，函数y= m2一6x+1的图象都经过y轴上一个定点. (2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x 4 轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用b2一4ac 与0的大小关系解答. 规律和方法e了 此题考查了抛物线与x轴的交点、一次 :函数与x轴的交，点，是典型的分类讨论思想的 应用 亿0E030t30e30K30e30e30e30e0e30e30e0e36E30e30e30E30e30g30E30E3 即学即练 1.已知抛物线y=a.x2一2x十1(a≠0)与x轴没有交 点，那么该抛物线的顶点所在的象限是 () A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 2.若二次函数y=一x2十2x十k的部分 图象如图所示，则关于x的一元二次方 程一x2十2x十k=0的一个解0=3， 则另一个解2= 3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2十2x十k 与x轴只有一个交点，则= 知识点2二次函数与二次不等式 【例2】已知抛物线y=3x2一8x十4. (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)画出函数大致图象，根据图象回答下列问题： 当x取何值时，y=0?y>0?y<0? 【思路点拨】(1)根据在坐标轴上的点的坐标特征确 定抛物线与两坐标轴的交点·(2)画草图时注意抛物 线的顶点，对称轴及与坐标轴的交点的大致位置·抛 物线被x轴分为三部分·在x轴上方所有，点的横坐 标的集合便是不等式a,x2十bx十c>0的解集，在x轴 下方图象上所有，点的横坐标的集合是不等式ax2十 bx十c<0的解集. 规律和方法上eoe 抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，即函数 值为0，所以交点的横坐标就是相对应的一元二 次方程ax2+bx十c=0的解，利用图象解不等 式时正确画图，读图是求解的关键 即学即练 4.如图是二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的部分图 象，由图象可知不等式a.x2十b.x十c>0的解集是 A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>5 5.(1)已知二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图 所示，这个二次函数的关系式是 当x= 时，y=3;当x 时，y>0. (2)抛物线y=一x2十3x十4与x轴的交点坐标为 ;当 时， y<0. 第5题(1)图 4 第25章二决函赵 知识点3抛物线与直线的交点问题 【例3】已知直线l:y=kx十1与抛物线y= x2-4x. (1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点； (2)设直线1与该抛物线两交点为A、B,O为原点，当 k=一2时，求△OAB的面积. ©规律和方法 两函教图象的交点个教排化为两函数表 达式联立所得，方程组的解的组数 消去y,一元 转化为 二次方程的根的情况，当△>0时，两个函数的； 图象有两个不同的交点；当△=0时，两函数的 图象只有一个交点；当△<0时，两函数的图象 没有交点 即学即练 6.已知抛物线y1=x2-3x-4与直线y2=-2x +2. (1)求两个函数图象的交点坐标； (2)x为何值时，yM<y2,yⅥ>y2? 九年级下册·数学(HS)州 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.若二次函数y=ax2+1(a≠0)的图象经过点 (一2,0)，则关于x的方程a(x一2)2+1=0 (a≠0)的实数根为 () A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C=号w-号 D.x1=-4,x2=0 2.如图，已知抛物线y=ax2十c(a≠0)与直线y=x 十m交于A(一3，y),B(1,y2)两点，则关于x的不 等式ax2十c≥一kx十m的解集是 ) A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 3.(泸州中考)已知二次函数y=ax2十(2a一3)x十a 一1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则 实数a的取值范围为 A.1<a<号 B0<a<号 c.0<a<8 D1<a< 4.二次函数y=ax2十bx(a≠0)的 图象如图所示，若一元二次方程 ax2+bx十m=0(a≠0)有实数 根，则m的最大值为 ( A.-3 B.3 C.-6 D.9 二、填空题 5.如图，抛物线y=ax2十c(a≠0) 与直线y=m.x十n(m≠0)交于 A(-1,p),B(3,q)两点，则不等 式ax2一mx十c>n的解集为 ;不等式a.x 十mx十c>n的解集是 6.(济宁中考)将抛物线y=x2一6.x十12向下平移 个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共 点，则的取值范围是 7.若二次函数y=ax2+bx十c(a<0)的图象经过点 (2,0),且其对称轴为直线x=一1，则使函数值 y>O成立的x的取值范围是 8.当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x-1)2 一3有交点，则a的取值范围是 9.已知二次函数y=ax2十bx一3自变量x的部分取 值和对应的函数值y如下表： x…-2-1 0 1 3 y 5 0 -3-4-3 0 则在实数范围内能使得y一5>0成立的x的取值 范围是 三、解答题 10.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图所 示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2十bx十c=0的两个根； (2)写出不等式a.x2十bx十c>0的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值 范围； (4)若方程a.x2+bx十c=有两个不相等的实数 根，求k的取值范围。 2· 11.已知：抛物线y=x2+bx+c经过点(2，一3)和 (4,5) (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)将抛物线沿x轴翻折，得到图象G,求图象G 的表达式； (3)在(2)的条件下，当一2<x<2时，直线y=m 与该图象有一个公共点，求m的值或取值 范围 ·4 第25章二次画数 B组（能力提升） 12.关于抛物线y=x2-2mx十m2十m-4(m是常 数)，下列结论正确的是 (填写所有正确 结论的序号)， ①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴； ②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m= -4; ③若点A(m-2,y1),B(m+1,y2)在抛物线上，则 y1y2; ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的 距离都等于2√2， 13.“如果二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴 有两个交点，那么一元二次方程aa2十bx十c=0 (a≠0)有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话 的理解，解决下面问题：若m、n(m<n)是关于x的方 程1一(x一a)(x一b)=0的两根，且a<b,则a、b、m n的大小关系是 () A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 14.(赤峰中考)如图，是某公园的一种水上娱乐项目. 数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入 研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1， 人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落 入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B 与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平 面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经 过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测 量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问 题，请你解决。 y/米 y/米 E o Dx/米 Ox/米 图1 图2 (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低 点C与地面的距离为？米，点C到点B的水平距 离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 九年辗下册·数学(HS)a (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离 OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安 全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形 成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成 中心对称 ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 BD的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？ 请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； ·44 (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加 固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水 滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN, 另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM. 现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了 美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯 一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地 面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）. y/米 M x/米