河南省南阳市方城县部分高中2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l经过两点，则直线l的斜率为 B. C. D. 2．已知是椭圆C：的左、右焦点，P是C上一点，若，则 A.6 B.8 C.10 D.12 3．已知圆C的方程为，则实数a的取值范围是 A.(-∞,5) B.(-∞,4) C.(5,+∞) D.(4,+∞) 4．两条直线与之间的距离是 A.5 B. C. D. 5．直线(k+3)x-(k+4)y+1=0过定点 A. B.(1,1) C. D.(1,-1) 6．已知点F为抛物线的焦点，l为C的准线，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M.若|MF|=|MP|，则|PF|= A.6 B. C.3 D. 7．已知圆C:上仅有两个点到直线l:3x-4y-12=0的距离为1，则r的取值范围为 A.(5,7) B.(4,6) C.(3,5) D.(2,4) 【高二数学 第1页（共4页）】 056-NY 学科网（北京）股份有限公司 8．如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC=6，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC,CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则AP= A. B.2 C. D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若直线不能构成三角形，则m的取值可能是 A B. C. D. 10．已知点P在圆上，点Q在圆上，则 A.两圆相交 B.圆与x轴相切 C.|PQ｜的取值范围为［3,7］ D.面积的最大值为6 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点P为双曲线C右支上一点，若存在点P，使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是 A.双曲线C的离心率为 B.外接圆的面积的最小值为 C.x轴与的内切圆的公共点为定点 D.设点I是的内心，则直线的斜率之比为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若椭圆C的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为 13．已知F为双曲线C：的左焦点，P,Q为C右支上的两点.若|PQ|=10，点A(5,0）在直线PQ上，则ΔPQF的周长为 14．已知圆，点P(t,0)为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N.若两条切线PM,PN与直线y=1分别交于A,B两点，则｜AB｜的最小值为 【高二数学 第2页（共4页）】 056-NY 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知△ABC的三个顶点是A(-2,-1),B(3,4),C(6,-3) （1）求边AC上的中线所在的直线方程； （2）求边BC上的高所在的直线方程． 16.（本小题满分15分） 已知椭圆C 的长轴长为16，短轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点是椭圆C上任意一点，，若点M满足，求点M的轨迹方程. 17.（本小题满分15分） 已知圆E过A(-1,2),B(1,0）两点，且圆心在直线x+y-3=0上. （1）求圆E的标准方程； （2）若直线l:x-ay+3a-2=0(a∈R)与圆E相交于点P,Q，求|PQ|的最小值及此时a的值. 【高二数学 第3页（共4页）】 056-NY 学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题满分17分） 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，点P(-2,3)在C上，直线l 与C交于A,B两点. （1）求C的方程； （2）若线段AB的中点坐标为（3,-1），求直线l的方程； （3）若M为C的左顶点，直线l过C的右焦点F,A,B都在C的右支上，△MAB的面积为，O为坐标原点，求 19.（本小题满分17分） 已知抛物线的焦点为F，点F在直线2x-3y-1=0上，过点F且与x轴垂直的直线交C于A,B两点. （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F的直线l与抛物线C交于M,N两点（异于A,B)，且M,A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，过点G作圆E：的两条切线，切点分别为P,Q. ①O是原点，试判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由； ②求cos∠PGQ的最小值. 【高二数学 第4页（共4页）】 056-NY 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案、提示及评分细则 1.D由直线1经过A(-1.0).B(0厅)丙点，可得直线1的斜率为=气二-万.放选D 2.C由椭圆的定义可得|PF1|十IPF2|=2a=16,因为|PF1|=6,所以|PF2|=10.故选C. 3.A由题意得(-2)2+42-4a>0,解得a<5.故选A 4.C由两平行线之间的距离公式可得d=6-=5,故选C. √22+1平 x-y=0, x=1, 5.B直线方程可化为k(x-y)+3x-4y十1=0，令 得 所以直线(k十3)x-(k十4)y+1=0过 13x-4y+1=0,y=1, 定点(1,1).故选B. 6.A由抛物线的定义知：PF|=PM,又|MF|=|MP|,∴.△PMF为等边三角形，∠FMN= 30,放Mr=源o=》=6,放PF=放选入 7.D由题意知C(-1,0),C到1的距离d=3X1)二4X012L=3,要使圆C上仅有2个 √32+(-4) 点到l的距离为1，则3-1<3十1，即2<4.故选D. 8.B建立如图所求的直角坐标系，得B(6,0),C(0,6),则直线BC的方程为x十y=6,且 △ABC的重心为G(0+9+E,0+9+),即G(2,2),设P(a,0),P关于直线BC的对称点为 3 3 P Q a+x+y0=6, 2 2 x=6, P(xy),则 解得 y-0.(-1)=-1, y=6-a, 即P(6,6-a),易知P关于y轴的对称点产A x-a 为P:(一a,0,根据光线反射原理知B,Q,RP四点共线，所以直线QR的方程为y=令。[x一（一a门，即y 8+o,又直线QR过G(2,2),所以2-8-2+a)解得4=2或a=0(舍去)，所以AP=2故选B 6+a ∫3x+y-4=0, x=1, 9.ABC由 解得 即直线（与l2的交点为M(1,1),因为直线，l2,l3不能构成三角形，所以3过 x-y=0 y=1, 点M,或名分别与4，平行，若过点M则2-3m一4=0，即m=一号：若与/h,则品-3，即m=一号若/， 3m 则品1，所以m=导综上m的可能取值为子号，号放选AC 10.AB由题知圆C的圆心C1(0,0),半径n=2:圆C2:x2+y2-6x十8y十9=0可化为(x-3)2+(y+4)2=16,故圆C2 的圆心C2(3,一4)，半径n=4,则2一n<|CC2|=5<n十n,所以两圆相交，A正确；圆C2与x轴相切于点(3,0)， B正确；易知|PQ|的最小值为0，最大值为CC2|+n十2=11，所以PQ的取值范围为[0,11门，C错误；显然PC1⊥ CC,时，△PC,C的面积最大，为号×5×2=5，D错误.故选AB 11.ACD因为点P为双曲线C右支上一点，所以|PF|>|PF|,且∠PF,F≠受.若△PFF为等腰直角三角形，则 |PF|-|PF2|=2a, 只能是PF2⊥FF2,|PF2|=|FF2l.由|PF|2=|PF2|2+|FF212,得2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0.对于 PF2=FF2=2c, A因为离心率>1，所以。一厄十1，所以A正确：对于B设△PF,R的外接圆的半径为R,则=2R,即R 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 sn∠户PF当∠EPF=受，即sin∠FPF,=1时，半径R取得最小值c,△PF,R的 外接圆的面积取到最小值c2π>bπ，所以B错误；对于C,如图，设点I是△PFF2的内 心，过点I分别作PF1,PF2,FF2的垂线，垂足分别为A,D,E,由双曲线的定义及切线长 性质知PF|-|PF2|=|F1A1-F2D|=2a,|FF2|=FE+F2EI=|F1A|+|F2D |=2c,故FA|=a十c,所以OE=a,则E的坐标为(a,O),为定点，故C正确；对于D,由 上知点E是双曲线的右顶点，点I在直线x=a上.设I(a,m),m≠0，则直线IF,IF2的 m 斜率之比为正-干为前数放D正确，放选AD a-c 1 12.2 ,椭圆的短轴长是焦距的3倍，∴.b=√3c,又.a2=b十c2,∴.a2=32+c2=4c2,可得a=2c,∴.椭圆的离心率为e == 13.36由已知a=4,b=3,则c=√a2+P=5,所以A(5,0)是双曲线的右焦点，1PF|-|PA|=2a=8,|QF| |QA|=8,则|PF|+|QF|-(|PA|+QA|)=|PF|+IQF|-|PQ|=16,所以|PF|+|QF|=10+16=26, 所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=26+10=36. 14号 当两条切线斜率都存在，即t≠士1时，设切线方程为y=k(x一t),k≠0，即kx一y一t=0,PM,PN的斜率为k1, ,故圆心C到切线的距离d=+3=1,得(2-1)十61十8=0，k,十2 √/R2+I ,兰6一产在切线方程中令y=1可得x=名十，放AB1=-= 6t 8 6t 8 (分+)-（居+）川=+)面 t2 一4· 2 P+8 8 4 ABl。号，此时一0：当两条切线巾有一条切线的斜率不存在，即(=士1时，不纺拿：=1来计算，可得切线方程 为十3y0度=1.令y=1可得A(学，)，B11D,此时1AB=是，综合得ABl=号 15.解：(1)因为A(-2,-1),C(6,一3)，所以AC的中点E的坐标为(2，一2)，… …2分 又ke=4二，2=6， 3-2 …4分 所以边AC上的中线所在的直线方程为y一4=6(x一3)，即6.x一y一14=0. ………6分 (2)因为B(3,4),C(6,-3),所以x=4上一32=-2」 36 31 …8分 设边BC上的高所在的直线的斜率为k,所以·6r=一1，得=号，…… 10分 所以边BC上的高所在的直线方程为y十1=号(x+2),即3x一7y一1=0， 13分 16.解：1)因为椭圆C:若+若=1(0>6>0)的长轴长为16，短轴长为4， 所以20=16,2b=4,解得a=8,b=2.…3分 所以椭圆C的方程为石4十兰1.… …6分 (2)设Mx,y), 由PM=5PQ,P(n,h),Q(x0,0),得(x-m,y-h)=5(n一m,一6）， 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 所以x=x0,y=一4h,即x0=x,h= y …9分 又点P()是椭圆C上任意一点，所以景十兴-1， 11分 1 163y 所以+ =1,即x2+y=64, 所以点M的轨迹方程为x2十y=64.…15分 17.解：(1)由题意，得直线AB的斜率为一1，AB的中点为(0,1)，… …1分 所以AB的中垂线的斜率为1，… …2分 故AB的中垂线的方程为y=x十1. …3分 x十y-3=0,|x=1, 由 ”得 故圆E的圆心E的坐标为(1,2)，…5分 y=x+1, y=2, 又|EB1=√(1一1)2十(2-0)2=2，所以圆E的标准方程为(x-1)2+(y一2)2=4. …7分 (2)由(1)知圆心E(1,2),半径为2，… …8分 因为直线1的方程为x-ay十3a-2=0(a∈R), 所以x-2-a-3)=0,令T-2=0. x=2, 解得 故直线l过定点F(2,3).… 10分 y-3=0, y=3, 又|EF|=√2<2，故点F(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=4内，… 11分 要使|PQ最小，直线l必与EF垂直，… 12分 直线EF的斜率等于号-1.所以直线1的斜率为一-1，所以4=-， 13分 此时|PQ的最小值为2√P一EF下=2√4-2=22. 15分 b=3, a=1, 18.解：(1)由题知 解得 …3分 b=3, 所以C的方程为- =1. 4分 (2)设A(,y),B(x2,2),则 两式相减得（十2）（一）-y土业）二2》=0.…6分 3 因为线段AB的中点坐标为(3，一1)，所以x十2=6，y十2=一2.… …7分 所以6-)十号（n一为)=0，所以直线1的斜率为兰=-9， x1一x2 所以直线1的方程为y+1=一9X(x一3)，即9x十y一26=0，经检验，直线9x十y一26=0符合题意.…10分 (3)由题知C的右焦点为F(2,0),设直线l的方程x=my+2,A(x,y),B(2,2), 22y2 联立方程 -兰1消去x整理得(3m2-1Dy+12w+9=0, x=my+2, 则4=36m+36>0+为=3n%为一3n。0.则m<分 -12m 9 …12分 故-=V+)-4y2=6m更 1-3m2. 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 又1MF1=3,所以Sau=专1MrIy-为1=合×3x5夏=185， 1-3m2 解得m=子， 14分 所以Oi·Oi=+y2=(my十2)(m+2)+y2=(m2+1)y为+2m(y十)+4 (0m+D·9+2m…2%+4长m517。… …17分 19.解：(D抛物线C:=2px的焦点F(,0），… 1分 因为点F在直线2x一3y-1=0上，所以-1=0，解得p=1,… …2分 所以抛物线C的方程为y2=2x.… 3分 (2)①由题意知直线1不垂直于坐标轴，设其方程为x=y十2（≠0），如图所示： 1 叶2消法得：2y1=0, 由 y2=2x, 因为△=(-2)2-4×1×(-1)>0， 设M(y),N(x2,2),所以y边十2=2t,y2=一1，… 6分 0成.0=a+·为=（物十g)+心+1D·%+是 =心-（心+1）+}=一是是定值 …8分 ②由抛物线对称性，不妨令点A在x轴上方，则直线AB:x=2, 由 7A(31）B(合-1) … …9分 y2=2x, 线Aw的*为号意号品为程为y异(：》 x1一222 数防片片高防六 (）)+ 由 消去y得：（子）(x专)-2 12分 整理得：x= -1 1 20言+ 2 2一y一2 y中市2 2一y-2 因此点G的横坐标恒为一， …14分 圆E:(x-1)+(y-)）=1的圆心为E(1,2）,半径=1，所以GEm=号， 设∠PGE=0,则cos∠PGQ-1-2sim0=1-GE, 所以当GE=号时，cos∠PGQ取得最小值号 17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】