河南省南阳市名校2026-2027学年高二上学期期中学情分析数学试题

2026—2027学年（上）南阳名校高二期中学情分析 数 学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为 A． B． C． D． 2．若方程表示双曲线，则n的取值范围是 A． B． C． D． 3．已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为 A． B． C． D． 4．若直线：与：平行，则与之间的距离为 A． B． C． D． 5．“直线：与：互相垂直”是“a”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为 A．或 B．或 C．或 D．或 7．在平面直角坐标系中，已知，，动点在圆上运动，且，，三点不共线，则的值 A．恒为 B．恒为 C．恒为 D．随点的位置变化而变化 8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为 A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线：，：，则 A．和的实轴长相等 B．和的渐近线相同 C．和的焦距相等 D．上存在两点，使得上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 10．已知圆经过，，三点，则下列说法正确的是 A．圆的一般方程为 B．圆上一点到原点距离的最小值为 C．圆上一点到直线：距离的最大值为 D．若为圆上的动点，则的取值范围是 11．已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是 A．的最小值是 B．若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C．若直线经过点，且，则直线的斜率为 D．若直线经过点，则的最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．当点到直线：的距离最大时，在轴上的截距为__________． 13．过点的直线与曲线：恰有一个公共点，则的斜率的取值范围是__________． 14．已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆：的公切线条数． 16．（15分） 已知抛物线：的焦点为． （1）求点的坐标及的准线方程； （2）若点在的准线上，线段与交于点，且，求直线的斜率及点的坐标． 17．（15分） 已知直线：过点且与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，点为坐标原点． （1）求的最小值，及此时曲线所围成的封闭图形的面积； （2）若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 18．（17分） 已知椭圆：的上顶点为，且上顶点与右顶点之间的距离为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且为的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与交于另一点，为坐标原点，直线与交于另一点，若的面积为，求直线的方程． 19．（17分） 已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． （1）求的方程． （2）设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （ⅰ）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ⅰⅰ）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）南阳名校高二期中学情分析 数学·答案 一．选择题 1．答案 B 2．答案 D 3．答案 B 4．答案 A 5．答案 B 6．答案 C 7．答案 C 8．答案 D 二．选择题 9．答案 BD 10．答案 ABD 11．答案 ACD 三．填空题 12．答案 13．答案 14．答案 四．解答题 15．解析（1）设 （1分） 由，得， （3分） 解得，则 ．（4分） 又半径， （5分） 所以圆的标准方程为． （6分） （2）圆：的标准方程为， （7分） 所以圆心为，半径． （9分） 因为， （11分） 所以圆与圆外切， （12分） 故圆与圆的公切线条数为3． （13分） 16．解析（1）由，得， 则焦点在轴上，且，， （2分） 所以． （4分） 的准线方程为． （6分） （2）根据题意，不妨设点在第四象限，过点作准线的垂线，垂足为，如图． （7分） 设，则，所以． （9分） 所以． （11分） 又，所以，解得，所以． （13分） 由对称性知，当点在第三象限时，，． （15分） 17．解析（1）由直线过点，得． （1分） 因为直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，， 所以，，，． （2分） 又，所以，当且仅当，即，时等号成立． （5分） 所以的最小值为，此时，． （6分） 曲线所围成的封闭图形为菱形， 顶点为，，其面积为． （9分） （2）因为以线段为直径的圆经过点， 所以，即，整理，得． （11分） 由，得，解得或． （13分） 当时，，直线：； 当时，，直线：． （15分） 18．解析（1）由上顶点为，得． （1分） 又右顶点为，所以，解得． （3分） 所以的方程为． （4分） （2）设， 因为为EF的中点，所以，．① （5分） 又，，两式相减，得， （7分） 将①式代入，得， （8分） 因此直线的方程为，即． （10分） （3）设 由的面积为知，直线的斜率存在，设其方程为． （11分） 由，消去并整理，得， （12分） 则． （13分） 因为，所以， （15分） 所以，整理，得， 所以或， （16分） 故直线的方程为，． （17分） 19．解析（1）由：，得． （1分） 由，得，所以． （2分） 所以的方程为． （3分） （2）（ⅰ）设，则且， 所以，． （5分） 又，，所以，． （6分） 所以，为定值． （7分） 设，则，整理，得， 故点的轨迹为双曲线的一部分． （9分） （ⅰⅰ）设，，则． 易知直线的斜率存在且不为，设：． 由，消去并整理，得， 则，，．① （12分） 由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设其为． （13分） 由，，三点共线，得， （14分） 整理，得， 代入，及①， 得， （16分） 故直线过定点，该定点的坐标为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $