精品解析：河南省南阳市名校2026-2027学年高二上学期期中学情分析数学试题

2026—2027学年（上）南阳名校高二期中学情分析 数 学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 若方程表示双曲线，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】方程表示双曲线，但没有要求焦点具体在哪个轴上， 根据双曲线的定义，只要满足，即可， 解不等式可得或. 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用中点坐标公式求出中点的坐标，结合点算出中线的斜率，再用点斜式写出直线方程并整理为一般式方程． 【详解】，，，边上的中点， 所以所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． 4. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求，利用平行线距离公式求解. 【详解】，， 因为两直线平行，所以， 解得，经验值符合， 所以，即， ， . 5. “直线：与：互相垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般式方程垂直关系的条件求得 或 ，再结合充分条件与必要条件判断即可. 【详解】因为直线，垂直等价于, 所以，有，即，解得 或 ， 当时，：与：，满足垂直，必要性成立； 当时，：与：，也满足垂直关系. 所以，两直线垂直不能得到（还可取 ），充分性不成立； 故“直线 与 互相垂直”是“”的必要不充分条件. 6. 已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据弦心距公式求出圆心到直线的距离，对直线的斜率分不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】圆：的圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，则. 当直线的斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线的距离为，满足条件. 当直线的斜率存在时，设斜率为， 则直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离， 即，解得. 此时直线的方程为，即. 综上，直线的方程为和. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点在圆上运动，且三点不共线，则的值（ ） A. 恒为 B. 恒为1 C. 恒为2 D. 随点的位置变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】先用圆的方程代换，用坐标表示的距离平方，并化简得到，再在中利用正弦定理，将两角正弦之比转化为对应边长之比求值． 【详解】 圆的方程为，圆心，半径， ，所以， 设，满足，即， ， ， 所以， 因为边长都是正数，所以，即， 在中，由，得． 8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得知为等边三角形，再根据椭圆的定义即可得到椭圆方程． 【详解】设椭圆的标准方程为， 因为，分别为，的中点，则， 又，则，即，可得， 又，且为的中点，则，所以为等边三角形， 又，则，， 所以，， 即，，则， 所以椭圆的标准方程为． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，：，则（ ） A. 和的实轴长相等 B. 和的渐近线相同 C. 和的焦距相等 D. 上存在两点，使得上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质和定义依次判断即可. 【详解】对于双曲线：，，，， 对于双曲线：，，，， 对于A，的实轴长，的实轴长，所以和的实轴长不相等，故A错误； 对于B，的渐近线为，的渐近线为，所以和的渐近线相同，故B正确； 对于C，的焦距为，的焦距为，所以和的焦距不相同，故C错误； 对于D，由于的左右焦点分别为，根据双曲线的定义， 可知上任意一点到的距离之差的绝对值为定值， 由于在上，即上存在两点，满足条件，故D正确. 10. 已知圆经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的一般方程为 B. 圆上一点到原点距离的最小值为 C. 圆上一点到直线距离的最大值为 D. 若为圆上的动点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【详解】设圆的方程为， 因为圆经过，，三点， 所以，解得， 对于A，圆的一般方程为，A正确； 对于B，圆的圆心坐标为，半径为， 原点到圆心的距离为， 所以圆上一点到原点的距离的最小值为，B正确； 对于C，圆心到直线的距离为， 所以圆上一点到直线的距离的最大值为，C错误； 对于D，圆的标准方程为， 设， 则， 则， 因为，所以的取值范围是，D正确. 11. 已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C. 若直线经过点，且，则直线的斜率为 D. 若直线经过点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点与准线；A利用抛物线定义及三角形不等式求最值；B构造过焦点的特殊直线进行判断；C联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理及向量数量积求斜率；D通过交点参数的乘积求线段长度积的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，所以. 对于A，过作准线的垂线，垂足为. 由抛物线定义可知，故 当时，、、三点依次共线，两个等号同时成立，最小值为，A正确. 对于B，取过焦点的直线，则交点为、. 任取准线上一点，则，，所以 当时，均为锐角，满足条件的点有无穷多个，B错误. 对于C，过的竖直线与抛物线无交点，水平线与抛物线只有一个交点. 因此直线的斜率存在且不为零，设其方程为. 联立抛物线方程，整理得 记两交点为、， 由，得， 由韦达定理得，. 又（），所以 因此 由，得，即. 此时方程判别式为，确有两个不同交点，C正确. 对于D，若直线不垂直于轴，设其斜率为，则的方程为. 因直线与抛物线交于两点，故. 令，则. 代入得 记交点、对应的两根为、，则. 又，，所以 若直线垂直于轴，则，与抛物线交于和，此时 因此最小值为，D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当点到直线的距离最大时，在轴上的截距为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查动直线过定点、点到直线距离最值、直线截距，先分离参数找出直线恒过的定点，再利用几何性质：若动直线恒过定点，则点到动直线距离的最大值为，当且仅当时取到最大值，求出直线方程后，求解直线在轴上的截距. 【详解】直线l的方程整理得， 令，解得， 所以直线恒过定点， 动直线绕定点旋转，点到直线的距离， 当且仅当时，距离取得最大值， 直线的斜率， 因为，两条垂直直线斜率之积为，所以直线的斜率， 把代入直线方程得， 化简得，斜截式为， 令，得，即直线在轴上的截距为. 13. 过点的直线与曲线恰有一个公共点，则的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知曲线的图像为一条直线和一个圆，由直线与直线一定相交， 得出直线与圆没有交点，借助圆心到直线距离要大于半径可解出斜率的取值范围. 【详解】由题知曲线的方程为或，曲线的图像为直线和圆心为，半径为的圆，如图所示； 当直线的斜率不存在时，直线与曲线没有交点. 当直线的斜率存在时，直线与直线有且仅有一个交点， 设直线的斜率为，直线的方程为整理得，圆心到直线的距离为， 直线与直线已经有一个交点，直线与圆没有交点， ，，或， 的斜率的取值范围为. 14. 已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于直线平行于轴，结合双曲线定义及双曲线的对称性可知，，在左支、在右支，为右焦点，故；在中对用余弦定理直接求出，建立与的关系；再由对称性得点横坐标，将代入双曲线方程求出纵坐标，最后用两点间距离公式建立关于的方程求解. 【详解】 设，（），双曲线的左焦点为， 由于直线平行于轴，根据双曲线的对称性可知， 由双曲线定义：，在左支、在右支，为右焦点，故，， 在中，，由余弦定理： ， 故，于是，得，从而，， 由平行于轴及双曲线关于轴对称，、横坐标互为相反数，又在右支， 故点横坐标， 将代入双曲线方程，得，解得， 右焦点，由两点间距离公式， 代入得：， 将代入，， 展开得，整理为， 两边除以，令，得，解得或，双曲线离心率，舍去，故. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公切线条数． 【答案】（1） （2）3． 【解析】 【小问1详解】 设． 由，得， 解得，则． 又半径， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 圆的标准方程为， 所以圆心为，半径． 因为， 所以圆与圆外切， 故圆与圆的公切线条数为3． 16. 已知抛物线：的焦点为． （1）求点的坐标及的准线方程； （2）若点在的准线上，线段与交于点，且，求直线的斜率及点的坐标． 【答案】（1），的准线方程为 （2）当点在第四象限时，直线的斜率为，； 当点在第三象限时，直线的斜率为， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得到答案； （2）先根据题意不妨设点在第四象限，从而根据斜率与倾斜角的关系得到直线的斜率，进而得到点的坐标，进而根据对称性得到当点在第三象限时直线的斜率及点的坐标． 【小问1详解】 由，得， 则焦点在轴上，且，， 所以，的准线方程为． 【小问2详解】 根据题意，不妨设点在第四象限，过点作准线的垂线，垂足为，如下图： 由，设， 则，所以， 所以直线的斜率为． 又，所以，解得，所以． 由对称性知，当点在第三象限时，直线的斜率为，． 17. 已知直线过点且与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，点为坐标原点． （1）求的最小值，及此时曲线所围成的封闭图形的面积； （2）若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【答案】（1）最小值为，面积为 （2）或． 【解析】 【分析】（1）设直线方程代入点，用均值不等式求最小值，确定得最小值及坐标，确定图形为菱形求出面积. （2）由圆过点列方程，联立方程求解，代入直线方程得直线方程. 【小问1详解】 （1）由直线过点，得， 因为直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，， 所以，，，， 又，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8， 此时，，曲线所围成的封闭图形为菱形， 顶点为，， 其面积为. 【小问2详解】 因为以线段为直径的圆经过点， 所以，即， 整理得， 由可得：，解得或， 当时，，直线， 当时，，直线． 18. 已知椭圆：的上顶点为，且上顶点与右顶点之间的距离为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且为的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与交于另一点，为坐标原点，直线与交于另一点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】第一问结合椭圆的几何性质进行求解. 第二问设，均在椭圆上，满足椭圆的方程，并作差求解直线的斜率. 第三问联立、消元，代入求解. 【小问1详解】 由上顶点为，得． 又右顶点为，所以，解得． 所以的方程为． 【小问2详解】 设， 因为为的中点，所以，．① 又，，两式相减，得， 将①式代入，得， 因此直线的方程为，即． 【小问3详解】 设由的面积为知，直线的斜率存在，设其方程为． 由，消去并整理，得， 则． 由椭圆对称性可知，，所以， 所以，整理得， 解得或， 故直线的方程为，． 19. 已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． （1）求的方程． （2）设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）设，则且， 所以，． 又，，所以，． 所以，为定值． 设，则，整理，得， 故点的轨迹为双曲线的一部分． （ii）设，，则． 易知直线的斜率存在且不为，设：． 由，消去并整理，得， 则，，．① 由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设其为． 由，，三点共线，得， 整理，得， 代入，及①， 得， 故直线过定点，该定点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）结合拼接条件和离心率求椭圆方程. （2）（i）通过联立与的方程消参，证明斜率乘积为定值，就此得到双曲线轨迹. （ii）设直线，联立双曲线，利用、对称，结合韦达定理证明直线过定点. 【小问1详解】 由：，得． 由，得，所以． 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）南阳名校高二期中学情分析 数 学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 若方程表示双曲线，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. “直线：与：互相垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点在圆上运动，且三点不共线，则的值（ ） A. 恒为 B. 恒为1 C. 恒为2 D. 随点的位置变化而变化 8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，：，则（ ） A. 和的实轴长相等 B. 和的渐近线相同 C. 和的焦距相等 D. 上存在两点，使得上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 10. 已知圆经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的一般方程为 B. 圆上一点到原点距离的最小值为 C. 圆上一点到直线距离的最大值为 D. 若为圆上的动点，则的取值范围是 11. 已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C. 若直线经过点，且，则直线的斜率为 D. 若直线经过点，则的最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当点到直线的距离最大时，在轴上的截距为________． 13. 过点的直线与曲线恰有一个公共点，则的斜率的取值范围是________． 14. 已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公切线条数． 16. 已知抛物线：的焦点为． （1）求点的坐标及的准线方程； （2）若点在的准线上，线段与交于点，且，求直线的斜率及点的坐标． 17. 已知直线过点且与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，点为坐标原点． （1）求的最小值，及此时曲线所围成的封闭图形的面积； （2）若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 18. 已知椭圆：的上顶点为，且上顶点与右顶点之间的距离为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且为的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与交于另一点，为坐标原点，直线与交于另一点，若的面积为，求直线的方程． 19. 已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． （1）求的方程． （2）设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $