精品解析：山东烟台市芝罘区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

初三数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 2. 当时，下列分式中，值为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求分式的值，将分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； B.当时，，结论正确，符合题意； C.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； D.当时，，结论正确，符合题意； 故选：B． 3. 若则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，D：分式分子分母进行同加或同平方运算，不符合分式基本性质，均错误； 选项B：由有意义得，即且，分子分母同除以得，正确； 选项C：，错误． 4. 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； B、，能用完全平方公式进行因式分解，符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； D、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 5. 某学习小组9名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如下表 人数（人） 1 3 4 1 分数（分） 80 85 90 95 那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A. 90，90 B. 90，85 C. 90，87.5 D. 85，85 【答案】A 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；可得答案． 【详解】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90； 排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90． 故选：A． 【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 6. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．先对已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式的恒等变换计算所求式子的值． 【详解】解：∵，且（若，代入方程左边得，矛盾）， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∵， ∴ 将代入，得． 故选：A． 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 8. 某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（ ） A. 乙组的中位数是80分 B. 甲组成绩的上四分位数是70分 C. 乙组有同学的成绩超过96分 D. 乙组成绩比甲组成绩集中 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意． 9. 若，则计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，提取公因式.对所求式子的高次项提取公因式，凑出的形式，整体代入降次计算 【详解】解：， ， ， 将代入， 得原式 10. 若，，且，则x，y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】比较与的大小可采用作差法，将差式配方为完全平方式的和，结合平方的非负性及的条件判断差的符号． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当且时，等号成立， ∵， ∴等号不成立，即， ∴． 11. 已知x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的性质，先化简分式，再根据分式的性质分析即可． 【详解】， 当x+1分别等于2，1，-1或-2，即x分别等于1， 0，-2或-3时，x=1时分式的分母为0，舍去． x= 0，-2或-3． 故选C． 12. 若的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】观察等式左右两边均含结构，先对左侧通分，结合三角形三边为正的性质约去非零公因式，简化等式后因式分解得到边的等量关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵是三角形的三边长， ∴，，， ∴两边同时除以得， 交叉相乘得， 展开得， 移项整理得， 分组得， 提取公因式得，即， ∴或，即或， ∴是等腰三角形． 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】分式有意义的前提是分母不为0，据此令分式的分母不等于0，求解得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义的条件是分母不为0， ∴， ∴， ∵平方等于1的实数为和， ∴且． 14. 若，则分式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，利用分式的性质对分式变形是解题的关键． 由已知条件可得，然后整体代入所求分式化简即可解答． 【详解】解：由 ，得，即． 所以分式为 ． 故答案为：． 15. 若关于的二次三项式是完全平方式，则常数的值为_________． 【答案】或16 【解析】 【分析】先将二次三项式的两个平方项拆解为完全平方公式的结构形式，根据完全平方式的交叉项系数特征列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵ 关于的二次三项式是完全平方式， ∴ 该式符合完全平方公式的结构， ∴一次项系数满足， 当时， 解得 当时 解得． 综上所述，常数的值为或16． 16. 某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可． 【详解】解：最终期末综合成绩为：（分） 17. 已知长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，其代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形的周长及面积得到，，将代数式利用提公因式法分解因式后代入计算即可． 【详解】解：∵长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握因式分解的方法及长方形的周长、面积计算公式是解题的关键． 18. 若计算某组数据方差的算式为，则这组数据的方差计算结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】从给定的方差算式中提取全部样本数据，先根据算术平均数的定义计算，再代入方差公式计算最终结果． 【详解】解：从给定的方差算式可确定这组数据为1，2，3，3，6，样本容量为5， ∵ 算术平均数为所有数据之和除以数据个数， ∴ ， 将代入方差算式： ． 19. 若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】对除式进行因式分解，结合多项式整除的性质，代入对应根建立关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：∵． ∵多项式能被整除． ∴当、时，． 将代入多项式得． 整理得①． 将代入多项式得． 整理得②． 联立①②，两式相加得． 解得． 将代入②式得． 解得． ∴． 20. 观察下列一组方程：①，②，③，…，小明通过仔细思考，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为，；第②个方程的解为，；第③个方程的解为，．若为正整数且关于的分式方程的一个解是，则的值为_________． 【答案】15或16 【解析】 【分析】先从已知的三个方程归纳出通用的分式方程形式与对应解的规律，再将待求解的分式方程通过恒等变形匹配该通用规律，结合已知解分情况计算正整数n的值. 【详解】解：∵ 第①个方程为，解为，； ∵ 第②个方程为，解为，； ∵ 第③个方程为，解为，； ∴ 可归纳得到通用规律：对正整数k，方程的解为或． ∵ 待求解的方程为，且， ∴ 将方程左边的x拆分为，代入后整理得， 对照上述通用规律，令，，可得该方程的解满足或，即方程的解为或． ∵ 已知方程的一个解为． ∴ 分两种情况计算：当时，解得；当时，解得． 经检验，两个n值均为正整数，且时分母，均满足分式方程的成立条件． 三、解答题（共7道题，满分60分） 21. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，然后再用完全平方公式即可； （2）将原式转化为，然后利用平方差公式进行因式分解，注意检查每个小括号，是否有公因式存在． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】用等式的性质将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，再检验公分母是否不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 23. 先化简，再求值：，其中为不大于3的正整数． 【答案】化简结果为，当时，原式的值为 【解析】 【分析】先通分计算括号内的分式运算，将除法转化为乘法后约分化简，结合分式有意义的条件确定m的有效取值，代入计算求值 【详解】解：原式 ， 因为为不大于3的正整数， 所以的可能取值为1，2，3． 要使原分式有意义，需满足，， 即，． 因此． 将代入化简后的式子，得：原式． 24. 已知关于的分式方程，请解答下列问题： （1）若该分式方程的解是增根，求的值； （2）若该分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】（1） 的值为或 （2） 的取值范围是且 【解析】 【分析】（1）将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程计算的值； （2）求出整式方程的解，结合解为负数且不为增根列不等式求解； 【小问1详解】 解：原分式方程两边同乘，得， 整理得， ∵分式方程的解是增根， ∴增根满足，即或，且增根是整式方程的解， 当时，代入， 得，解得； 当时，代入， 得，解得； 综上所述，的值为或； 【小问2详解】 解：当，即时，整式方程的解为， ∵分式方程的解是负数， ∴，且（为正数，无需排除）， 由，得，解得， 由，得，解得， 当时，整式方程无解，原分式方程无解，不符合题意， 综上所述，的取值范围是且． 25. 为调查八年级学生课余体育锻炼的时间情况，某校在八年级名学生中随机抽取了男生和女生各名，收集得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理数据：制作了如下统计图： 分析数据：两组数据的平均数、四分位数和众数如表所示： 平均数 众数 女生 男生 （1）上面的表格中， ， ，被抽取的男生中课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是 ； （2）请补全女生直方图和男生箱线图； （3）若该校学生为男生，根据调查数据，请估算该校八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的男生有多少名？ 【答案】（1）；；； （2） ； （3）约有名 【解析】 【分析】（1）根据第二四分位数和众数的定义可求出，，根据扇形统计图先求出男生体育锻炼的时间落在这一组的百分比，进而可求出被抽取的男生中课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数； （2）求出女生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数，可补全直方图，根据表格数据可补全男生箱线图； （3）利用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：解法一：女生数据由低到高排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴第二四分位数是第位和第位的平均数，即， ∵女生数据中分钟出现的次数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，男生体育锻炼的时间落在这一组的百分比为， ∴被抽取的男生中课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是人； 【小问2详解】 解：女生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数为人， 补图略； 【小问3详解】 解：（名）， 答：八年级课余时间体育锻炼的时间在分钟以上（不包含分钟）的男生约有名． 26. 项目化问题解决——家庭购车计划 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的某款纯电车和某款燃油车，对这两款车的使用费用分析如下： 纯电车：保险等费用高， 但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 数据收集1 （行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段行驶相同的一段里程时，获得以下数据： 纯电车电费总费用7.5元，燃油车油费总费用18.75元； 纯电车每公里电费费用比燃油车油费费用便宜0.45元． 数据收集2 （其它费用） 纯电车：每年保险费用6500元，车机服务等费用1230元； 燃油车：每年保险费用2900元，保养服务等费用每公里0.075元． （1）任务1：求纯电车每公里电耗费用和燃油车每公里油耗费用； （2）任务2：根据小明家的用车情况，每年行驶里程在10000公里以上，请综合考虑行驶费用和其它费用，帮小明家确定购车方案，以使每年行车综合费用更低． 【答案】（1）纯电车每公里电耗费用为元，燃油车每公里油耗费用为元； （2）当每年行驶里程在公里以上时，选择纯电车的年行车综合费用更低． 【解析】 【分析】（1）利用两车行驶相同里程的等量关系，设未知数列方程求解每公里费用； （2）设年行驶里程为公里，分别表示两车年综合费用，通过解不等式比较费用，结合里程范围确定购车方案． 【小问1详解】 解：设纯电车每公里电耗费用为元，则燃油车每公里油耗费用为元， 由两车行驶里程相同，得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 燃油车每公里油耗费用为（元）； 【小问2详解】 解：设每年行驶里程为公里，且，纯电车年综合费用：（元）， 燃油车年综合费用：（元）， 令， 解得， ∵满足， ∴当每年行驶里程在公里以上时，纯电车的年综合费用更低. 综上所述，应选择纯电车． 27. 在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．同理，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们把这种方法称为等体积法． 如图1，在一个棱长为的正方体一角挖掉一个棱长为的正方体，则剩余几何体的体积为．请解决下列问题： （1）将图1的几何体进行如图2所示方法切割，得到三个长方体（如图3），图3中三个长方体的体积依次表示为__________，__________，__________； （2）请利用“等体积法”将分解因式； （3）应用：利用（1）中所得到的等式进行因式分解：； （4）拓展：已知，求代数式的值． 【答案】（1），，． （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别找出切割后三个长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式依次算出体积，，． （2）利用等体积法，剩余几何体体积等于三个长方体体积相加，提取公因式得到立方差分解公式． （3）把写成，套用立方差公式，令完成因式分解． （4）先对提公因式再用立方差公式变形，由、算出，代入式子求出结果为． 【小问1详解】 解：观察切割得到的第一个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第二个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第三个长方体，长为，宽为，高为． 所以三个长方体的体积依次表示为，，． 【小问2详解】 解：∵ 图 1 剩余几何体体积为， 切割后三个长方体体积之和为， ∴ 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，下列分式中，值为0的是（ ） A. B. C. D. 3. 若则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学习小组9名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如下表 人数（人） 1 3 4 1 分数（分） 80 85 90 95 那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A. 90，90 B. 90，85 C. 90，87.5 D. 85，85 6. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（ ） A. 乙组的中位数是80分 B. 甲组成绩的上四分位数是70分 C. 乙组有同学的成绩超过96分 D. 乙组成绩比甲组成绩集中 9. 若，则计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 10. 若，，且，则x，y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 已知x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 若的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 14. 若，则分式的值为_____． 15. 若关于的二次三项式是完全平方式，则常数的值为_________． 16. 某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为______分． 17. 已知长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，其代数式的值为______． 18. 若计算某组数据方差的算式为，则这组数据的方差计算结果是_________． 19. 若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 20. 观察下列一组方程：①，②，③，…，小明通过仔细思考，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为，；第②个方程的解为，；第③个方程的解为，．若为正整数且关于的分式方程的一个解是，则的值为_________． 三、解答题（共7道题，满分60分） 21. 因式分解： （1）； （2）． 22. 解方程：． 23. 先化简，再求值：，其中为不大于3的正整数． 24. 已知关于的分式方程，请解答下列问题： （1）若该分式方程的解是增根，求的值； （2）若该分式方程的解是负数，求的取值范围． 25. 为调查八年级学生课余体育锻炼的时间情况，某校在八年级名学生中随机抽取了男生和女生各名，收集得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理数据：制作了如下统计图： 分析数据：两组数据的平均数、四分位数和众数如表所示： 平均数 众数 女生 男生 （1）上面的表格中， ， ，被抽取的男生中课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是 ； （2）请补全女生直方图和男生箱线图； （3）若该校学生为男生，根据调查数据，请估算该校八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的男生有多少名？ 26. 项目化问题解决——家庭购车计划 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的某款纯电车和某款燃油车，对这两款车的使用费用分析如下： 纯电车：保险等费用高， 但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 数据收集1 （行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段行驶相同的一段里程时，获得以下数据： 纯电车电费总费用7.5元，燃油车油费总费用18.75元； 纯电车每公里电费费用比燃油车油费费用便宜0.45元． 数据收集2 （其它费用） 纯电车：每年保险费用6500元，车机服务等费用1230元； 燃油车：每年保险费用2900元，保养服务等费用每公里0.075元． （1）任务1：求纯电车每公里电耗费用和燃油车每公里油耗费用； （2）任务2：根据小明家的用车情况，每年行驶里程在10000公里以上，请综合考虑行驶费用和其它费用，帮小明家确定购车方案，以使每年行车综合费用更低． 27. 在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．同理，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们把这种方法称为等体积法． 如图1，在一个棱长为的正方体一角挖掉一个棱长为的正方体，则剩余几何体的体积为．请解决下列问题： （1）将图1的几何体进行如图2所示方法切割，得到三个长方体（如图3），图3中三个长方体的体积依次表示为__________，__________，__________； （2）请利用“等体积法”将分解因式； （3）应用：利用（1）中所得到的等式进行因式分解：； （4）拓展：已知，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $