精品解析：山东聊城市东昌府区聊城文轩初级中学 2026-2027学年上学期八年级数学第一模块科学素养诊断反馈

2026－2027学年上学期初二数学第一模块科学素养诊断反馈 时间：90分钟 总权重：120% 一、选择题（本题共10个小题，权重共30%，只有一项符合题目要求） 1. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 2. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 全等三角形的对应边相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则等于（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　） A. 这个三角形中有一个内角大于 B. 这个三角形中有一个内角大于等于 C. 这个三角形中每一个内角都大于 D. 这个三角形中每一个内角都小于 6. 如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个条件：①在中，；②的三个内角度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是其中能确定是直角三角形的是（） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 8. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别是边上的高，两条高相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，权重共18%，只要求写出最后结果） 11. 已知，则的值为_____． 12. 已知关于x的方程有增根，则m的值为______． 13. 已知，则实数______． 14. 如图，已知，E、F是上两点，．若，，则的长为______． 15. 如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走2米，N点从B点向D运动，每秒走3米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得某时刻和全等，则线段的长度为______米． 16. 定义：若关于x的分式方程的解为，我们就说这个方程是和解方程，比如：就是一个和解方程．如果关于x的分式方程是一个和解方程，则m＝______． 三．解答题（本题共6个小题，权重共72%） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4）． （5）化简，再从，，0，1，2中选一个数代入求值． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 20. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 【甲】如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 【乙】如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 【丙】如图③，先过点B作线段，再在的延长线上取一点C，使，，这时只要测出的长即为A，B的距离． （1）以上甲、乙、丙三位同学所设计的方案，可行的有______． （2）请你选择其中一种可行的方案，说说它可行的理由． 21. 如图，点E在上，与交于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的角度． 22. 津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．求高铁列车的平均速度． 23. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“同契方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“整契方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“同契方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程与是“整契方程”，求正整数m的值． 24. 综合拓展： （1）如图①，已知：在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，点D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，直接写出与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期初二数学第一模块科学素养诊断反馈 时间：90分钟 总权重：120% 一、选择题（本题共10个小题，权重共30%，只有一项符合题目要求） 1. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 2. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 全等三角形的对应边相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题，涉及绝对值，全等三角形的性质，对顶角的性质；先写出每个命题的逆命题，并验证其真假即可． 【详解】解：A、逆命题为“如果，那么”，但a与b可能互为相反数，不一定相等，故A不符合题意； B、逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，是真命题，故B符合题意； C、逆命题为“若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等”，但对应角相等的三角形对应边不一定相等，不一定全等，故C不符合题意； D、逆命题为“若两个角相等，则它们是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，故D不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质对各选项逐一进行排除，即可得出答案. 【详解】A：分式的分子和分母同时乘以一个不为0的数时，分式的值不变，即，故选项A错误； B：不能再进行约分，即，故选项B错误； C：只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分，即，故选项C错误； D：，故选项D正确. 故答案选择D. 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以一个不为0的数或者式子时，分式的值不变. 4. 若，则等于（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：设， 则a=2k，b=3k，c=4k， 即， 故选C． 5. 用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　） A. 这个三角形中有一个内角大于 B. 这个三角形中有一个内角大于等于 C. 这个三角形中每一个内角都大于 D. 这个三角形中每一个内角都小于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，明确反证法的意义和反证法的步骤是解答的关键．根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：D． 6. 如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质， 根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由作图可知，在与中， ， 则． ∴，即， ∴． 故选：D． 7. 下列四个条件：①在中，；②的三个内角度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是其中能确定是直角三角形的是（） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定、三角形内角和定理（）和外角和定理（）等知识点，求得各选项三角形中的最大角是解题的关键． 分别计算每个条件下各内角的度数，判断是否存在90°角即可解答． 【详解】①设，则， ∴，解得， ∴，不是直角三角形； ②设内角为，则，解得：， ∴内角为，是直角三角形； ③∵，且， ∴， ∴，即，是直角三角形； ④设外角为，则，解得， ∴外角为，对应内角为，是直角三角形． ∴②③④符合条件． 故选C． 8. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以原计划工作时间减实际工作时间等于30天为等量关系列方程． 【详解】解：∵原计划每天绿化面积为万平方米，实际工作效率比原计划提高， ∴实际每天绿化面积为万平方米， 原计划工作时间为天，实际工作时间为天， ∵提前30天完成任务， ∴可得方程． 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．通过证明，得出、，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、， ∴， ∵点B与地面距离为， ∴点E到地面的距离为， ∴， ∴点D到地面的距离为：， 小丽距离地面的高度为：． 故选：A． 10. 如图，在中，分别是边上的高，两条高相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形高的定义得到，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得到，可判断①；证明，可利用证明，可判断②；证明是等腰直角三角形，得到，根据三角形外角的性质可判断③；根据邻补角互补和三角形内角和定理可判断④． 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个． 二、填空题（本题共6个小题，权重共18%，只要求写出最后结果） 11. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将已知代数式进行变形即可求出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 12. 已知关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握化分式方程为整式方程并能正确确定增根是解决此题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入整式方程得． 故答案为：． 13. 已知，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先将等式右侧通分．根据分式相等的条件得到分子对应相等．整理后利用多项式相等的性质得到关于的方程组．求解后代入计算即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 整理得， 可知， 解得：， ∴． 14. 如图，已知，E、F是上两点，．若，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】由“”可证，可得，根据即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ， ∴， ． 15. 如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走2米，N点从B点向D运动，每秒走3米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得某时刻和全等，则线段的长度为______米． 【答案】24或45 【解析】 【分析】设运动时间为t秒，则，，根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， ∴； ∵， ∴， ∴当和全等时，只存在和这两种情况， 当时， ∴，， ∴， 解得， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，线段的长度为24或45． 16. 定义：若关于x的分式方程的解为，我们就说这个方程是和解方程，比如：就是一个和解方程．如果关于x的分式方程是一个和解方程，则m＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据和解方程的定义先求出对应方程的解，再将解代入原分式方程建立关于的一元一次方程求解. 【详解】解：根据和解方程的定义，对于分式方程，其中，， 可得该方程的解为， ∴是原分式方程的解， 将代入原方程，得， 化简得， 移项合并同类项得， 解得. 三．解答题（本题共6个小题，权重共72%） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4）． （5）化简，再从，，0，1，2中选一个数代入求值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ， 由题意得：、、、， ∴、、、， 故a取2， 当时， 原式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【答案】（1）如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 （2） 解：． 证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴．（同位角相等，两直线平行） 【解析】 【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ． 本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； 【小问2详解】 略 20. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 【甲】如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 【乙】如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 【丙】如图③，先过点B作线段，再在的延长线上取一点C，使，，这时只要测出的长即为A，B的距离． （1）以上甲、乙、丙三位同学所设计的方案，可行的有______． （2）请你选择其中一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲、乙 （2）解：选甲，理由如下： 在和中， ∴， ∴； 选乙：理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）甲同学可利用证明，得到；乙同学可利用证明，得到；丙同学不可以利用证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，点E在上，与交于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的角度． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等和三角形内角和定理可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．求高铁列车的平均速度． 【答案】高铁列车的平均速度为 【解析】 【分析】设自驾平均速度为，则高铁列车的平均速度为，根据“乘坐高铁比自驾少用”列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设自驾平均速度为，则高铁列车的平均速度为，由题意得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：高铁列车的平均速度为． 23. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“同契方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“整契方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“同契方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程与是“整契方程”，求正整数m的值． 【答案】（1）解：是“同契方程”， 理由：解一元一次方程，解得：， 解分式方程，解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴一元一次方程与分式方程是“同契方程” （2） 【解析】 【分析】（1）先依次求出两个方程的解，再根据“同契方程”的定义即可得出结论． （2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意，两个方程有相同的整数解， ∴， ∴， ①当时，方程无解， ②当，即时，，即， ∵x，y均为整数， ∴， ∴， 又∵m取正整数， ∴． 24. 综合拓展： （1）如图①，已知：在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，点D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，直接写出与的面积之和． 【答案】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）5 【解析】 【分析】（1）证明得到，再根据线段的和差关系可证明结论； （2）同（1）证明即可； （3）同理可证明，得到，根据题意求出的面积，再根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是15， ∴的面积是5， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $