精品解析：山东聊城市东昌府区部分学校2025——2026学年第一学期第一次巩固练习 八年级数学试题

2025—2026学年第一学期第一次巩固练习 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（共10个小题，每题3分，共30分） 1. 在，，，，，中，是分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A. B. C. D. 3. 与如图摆放，点在同一条直线上，，，在下列条件中，不能保证的是（ ）     A. B. C. D. 4. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列等式从左到右的变形中，一定正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 直角都相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 7. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（  ） A. B. C. D. 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分） 11. 若分式，则x的值为______． 12. 分式约分后等于______． 13. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设___． 14. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接．已知，若，则的长为________． 15. 如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则_______． 16. 如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 19. 如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． （1）求线段的长． （2）求的度数． 20. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 21. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 22. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 （1）_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； （2）若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； （3）当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 23. （1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期第一次巩固练习 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（共10个小题，每题3分，共30分） 1. 在，，，，，中，是分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义：若为整式，且中含有字母，则是分式，逐一判断即可． 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母为常数，不是分式； 是整式，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； ∴ 符合条件的分式共有个． 【点睛】注意π是常数，不是字母． 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可知是边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：第一个三角形中之间的夹角为，另一个三角形中是两边的夹角． 两个三角形全等， ． 故选：D． 3. 与如图摆放，点在同一条直线上，，，在下列条件中，不能保证的是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，由得，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴，即 在与中, ，， A、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意； B、添加，能判定，故本选项不合题意． C、添加， ∴，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不符合题意； D、添加， ∴，不能判定，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不能说明，故A不符合题意； B．，则，，可以说明，故B符合题意． C．，则，，不能说明，故C不符合题意； D．，则，，不能说明，故D不符合题意． 故选：B． 5. 下列等式从左到右的变形中，一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、不一定成立，不符合分式的性质，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 直角都相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 7. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 9. 将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，直接利用三角板的性质结合平行线的性质分析得到，根据三角形的内角和得到，再根据对顶角相等得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：． 10. 如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分） 11. 若分式，则x的值为______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 12. 分式约分后等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了约分．规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 分子、分母的公因式是，通过约分进行化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设___． 【答案】一个三角形中有两个角是直角 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设一个三角形中有两个角是直角， 故答案为：一个三角形中有两个角是直角． 14. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接．已知，若，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的性质得到∴，由此得到，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，作图-基本作图，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解决此题的关键．由作图可得，于是证得，得出，再根据三角形内角和定理求出的度数，问题即可得解. 【详解】解：由作图可得， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：76． 16. 如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可． （1）先算乘方，再约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式． 18. 补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】 两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【解析】 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】略 19. 如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． （1）求线段的长． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等即可求解； （2）由得到，，再结合三角形内角和求得，再根据角度和差计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 【答案】 （1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABF＋∠BAD＝∠CBE＋∠C， ∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C， ∴∠AEF＝∠AFE； （2）150° 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE； （2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果． 【详解】解：（1）略 （2）∵FE平分∠AFG， ∴∠AFE＝∠GFE， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴FG∥AC， ∵∠C＝30°， ∴∠CGF＝180°−∠C＝150°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题． 21. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 （1）_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； （2）若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； （3）当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 【答案】（1）是 （2）是 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据，得到，结合定义判定是灵动三角形； （2）根据，得到，结合结合定义判定是 灵动三角形； （3）根据，得到，分类计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，互余性质，分类思想，正确理解新定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵ 且， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵是灵动三角形，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 23. （1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或18 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $