精品解析：山东聊城市东阿县实验中学等校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年八年级（上）第二次学情检测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，，，添加下列条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 4. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 把分式中的，的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的5倍 C. 扩大为原来的10倍 D. 缩小为原来的 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 8. 掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 10. 已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 分式的值为0，则____________． 12. 若，则的值是______． 13. 若常数 M， N满足 则 ___________ 14. 若关于x的方程无解，则a的值为__________． 15. 如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分．） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解分式方程： （1）； （2） 18. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 19. 列分式方程解应用题 甲、乙两地相距，从甲地到乙地乘高铁列车比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，乘高铁列车从甲地到乙地需要多长时间？ 20. 如图，点在的边上，，，垂足分别是点，，且，连接，，两者相交于点．求证：． 21. 如图，，，点在上，．求证： （1）； （2）． 22. 已知：如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八年级（上）第二次学情检测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，，，，的分母均不含字母（为常数）， ∴均不是分式； ∵，的分母含有字母， ∴是分式； ∴分式共有2个 2. 如图，，，添加下列条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件可得，即，结合，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不是对应角，不法证明，故D符合题意； 故选：D． 3. 下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用不等式的性质、全等三角形的性质及绝对值的意义、对顶角，分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、若，则的逆命题为：若，则；错误，正确结论为，故该选项为假命题． B、对顶角相等的逆命题为：相等的两个角是对顶角，错误，“如两直线平行，内错角相等”，故该选项为假命题； C、全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的两个是全等三角形，根据可判断出该命题正确，故该选项为真命题； D、，则的逆命题为：若，则，错误，如当时，，，故该选项为假命题； 故选C． 4. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 5. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 6. 把分式中的，的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的5倍 C. 扩大为原来的10倍 D. 缩小为原来的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分子和分母的变化对分式值的影响是解题关键． 将x和y分别替换为和，计算新分式并化简，与原分式比较． 【详解】解：由题意得， = = ， ∴ 分式的值缩小为原来的 故选：D． 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 8. 掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系，是解题的关键．设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，合作效率为各自效率之和，即，合作时间小时完成整个工作（工作量为1），故效率之和等于，即可列出方程． 【详解】解：设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，根据题意得： ． 故选：B． 9. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的值，解分式方程，根据分式无意义的条件，分母为0，分式的值为0的条件，分式的分子为0，分母不为0，分别求出的值，再把和代入分式，求出分式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴， ∴， ∵时，分式的值为0， ∴， ∴， ∴分式为， ∴当时，分式的值为，即当分式的值为1时，，即； 当时，分式的值为，即：， 综上，只有选项C错误，符合题意； 故选C． 10. 已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 分式的值为0，则____________． 【答案】1; 【解析】 【详解】由分式的值为零的条件得−1=0且(x+1)(x−2)≠0 解得：x=1， 故答案为1. 点睛：本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）若分式的值为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可. 12. 若，则的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】先将已知条件进行化简，然后将所求的分式进行变形，代入已知关系即可求解． 【详解】解：①由已知条件得出与的关系： ∵,通分可得， ∴． ②将所求式子化简求值： 把代入，将分子和分母分别整理： 分子变为：． 分母变为：． 将代入整理后的分子和分母： 分子变为：． 分母变为：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是根据已知条件得出与的关系，再利用整体代入思想化简求值． 13. 若常数 M， N满足 则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式的运用，通过部分分式分解，将右边通分后与左边比较分子，利用系数比较法得到关于M和N的方程组，进而求解的值． 【详解】解：由分式等式 ， 右边通分得：与左边分母相同，故分子相等：， 展开右边：， 因此，得到恒等式：， 比较系数：， 则：， 故答案为：． 14. 若关于x的方程无解，则a的值为__________． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程得，分两种情况：由分式方程有增根的条件得，将其代入整式方程可求解；或整理后的整式方程无解.理解增根满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；”是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 整解得：， 原方程无解， ，或， 由，解得：， ， 故答案为：0或． 15. 如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分．） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）首先计算分式的乘方，再变除法为乘法，化简计算即可； （2）首先把括号里进行通分，再变除法为乘法，因式分解后化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解分式方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤及根的检验是解题的关键． （1）利用解分式方程的步骤解方程即可； （2）利用解分式方程的步骤解方程即可． 【小问1详解】 方程两边同时乘以得， ， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为． 【小问2详解】 方程两边同时乘以得， ， 解得， 经检验，不是原方程的解． 原方程无解． 18. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将有意义的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴整数的值为，，， ∵， ∴， ∴原式． 19. 列分式方程解应用题 甲、乙两地相距，从甲地到乙地乘高铁列车比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，乘高铁列车从甲地到乙地需要多长时间？ 【答案】乘高铁列车从甲地到乙地需要． 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际运用．由路程÷速度=时间，利用“乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍”得出等量关系即可建立方程求得答案即可． 【详解】解：设高铁列车从甲地到乙地的时间为，则特快列车从甲地到乙地的时间为， 根据题意得， 解这个方程得， 经检验，是原分式方程的根， 答：乘高铁列车从甲地到乙地需要． 20. 如图，点在的边上，，，垂足分别是点，，且，连接，，两者相交于点．求证：． 【答案】 证明：，， 故与均为直角三角形， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 先根据，得出与均为直角三角形，证明其全等，再根据全等三角形的性质得到，，证明，再根据等角性质得出，即可证明． 【详解】略 21. 如图，，，点在上，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； （2） 证明：如图所示，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质定理，等边对等角，根据题意证得是解题的关键． （1）先证明，再利用可证明得到结论； （2）利用可得，利用三角形外角的性质定理得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知：如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点于点，交于点， ， ， 在和中， ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，并且适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由于点于点，交于点，得，则，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，则，所以，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ∴的长为4． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 【答案】 （1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的性质可得，再证明，最后利用证明即可； （2）证明得出，，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $