精品解析：山东青岛莱西市2024-2025学年高一上学期期中数学试题

莱西市2024级高一（上）期中数学试题2024.11 本试卷共19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数的定义域为集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（ ） (参考数据：) A. B. C. D. 5. 若关于的方程有两个正根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值区间是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“”的否定是“” D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 10. “双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；（3）如果购物总额超过 元但不超过元，则按标价给予折优惠；（4）如果购物总额超过元，其中元内的按第（3）条给予优惠，超过 元的部分给予折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ） A. 如果购物总额为78元，则应付款为73元 B. 如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C. 如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D. 如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 11. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的个数为____________个. 13. 已知关于的不等式的解集为，则______________. 14. 已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为______；若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为，当时，函数. （1）若，利用定义研究在区间上的单调性； （2）若是偶函数，求的解析式. 16. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 17. 已知函数，. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 18. 已知函数是奇函数，. （1）求的值，并求关于的不等式的解集； （2）求函数图象的对称中心. 19. 已知函数． （1）直接写出在上的单调区间无需证明； （2）求在上的最大值； （3）设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”已知，若是函数的“区间”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱西市2024级高一（上）期中数学试题2024.11 本试卷共19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数的定义域为集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2. 下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐一判断四个选项中函数的定义域与对应法则是否与一致，进而得出答案. 【详解】函数的定义域为 对于A项，的定义域为，对应法则与一致，则A正确； 对于B项，的对应法则与不一致，则B错误； 对于C项，的定义域为，则C错误； 对于D项，的定义域为，则D错误； 故选：A 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和指数函数、幂函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 4. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（ ） (参考数据：) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据列式求解即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由于，故， 所以，所以，解得. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题. 5. 若关于的方程有两个正根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，解不等式组即可得答案. 【详解】解：根据题意得： ，解不等式组得. 故的最小值为. 故选：B. 6. 若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增，则每一段都是增函数，且的右侧函数值不小于左侧函数值求解. 【详解】因为函数是上的单调递增函数， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是 故选：C 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】∵是减函数，，所以， 又， ∴． 故选：C． 8. 已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得不等式等价于，由单调性即可求出. 【详解】，即， 在上单调递减，，解得, 故的取值区间是. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“”的否定是“” D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项． 【详解】是无理数，是有理数，A错； 时，，但，不是充要条件，B错； 命题的否定是：，C正确； “”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确． 故选：CD． 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确． 10. “双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；（3）如果购物总额超过 元但不超过元，则按标价给予折优惠；（4）如果购物总额超过元，其中元内的按第（3）条给予优惠，超过 元的部分给予折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ） A. 如果购物总额为78元，则应付款为73元 B. 如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C. 如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D. 如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据优惠规则计算应付款项，判断各选项． 【详解】购物总额为78元，则应付款为元，A正确； 购物总额为228元，则应付款为元，B正确； 购物总额为368元，则应付款为元，C错误； 购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有元对应购物额度为，因此购物总额为元，D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查函数的应用，在求解应付款时，如果购物总额大于300元，计算时需先计算300元应付270元，多于300元的乘以0.8，这才是正确结论，不能全部乘以0.8． 11. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断. 【详解】A. 因为，故正确； B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确； C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误； D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的个数为____________个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据，结合集合的个数，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合， 若集合中只有一个元素，可得； 若集合中只有两个元素，可得或； 若集合中有三个元素，可得， 综上可得，集合的个数为4个. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式的解集为，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，关于的方程的两根分别为和，利用韦达定理可求得实数的值. 【详解】由于关于的不等式的解集为， 则关于的方程的两根分别为和，且， 由韦达定理可得，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为______；若，则的取值范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】先确定函数的单调性，再求的最大值；不等式等价于，利用的单调性和奇偶性，求出的范围，进而可得的范围. 【详解】因为函数，用表示中的较小者，记为， 所以， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为， 不等式，即， 又明显为偶函数，在上单调递减， 所以，解得， 因为，恒成立， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为，当时，函数. （1）若，利用定义研究在区间上的单调性； （2）若是偶函数，求的解析式. 【答案】（1）单调递增函数；（2）. 【解析】 【分析】（1）由得到，设且 ，然后判断的符号，下结论. （2）令，则， ，然后由是偶函数求解. 【详解】（1）当时，， 设且 ， 则 ， ， 因为， 所以 ， 所以， 即， 所以在区间为单调递增函数. （2）令，则， 所以 , 因为是偶函数, 所以, 所以函数在上的解析式为： . 16. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 【答案】（1） （2）0.6元/kw•h 【解析】 【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【小问1详解】 设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 【小问2详解】 依题意有， 整理得， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 17. 已知函数，. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象的性质确定参数a的取值区间； （2）确定方程的根或，讨论两根的大小关系得出不等式的解集. 【详解】（1）因为函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线 由二次函数图象可知，的单调增区间为 因为在上单调递增，所以 所以，所以实数的取值区间是 ； （2）由得： 方程的根为或 ①当时，，不等式的解集是 ②当时，，不等式的解集是 ③当时，，不等式的解集是 综上，①当时，不等式的解集是 ②当时，不等式的解集是 ③当时，不等式的解集是 18. 已知函数是奇函数，. （1）求的值，并求关于的不等式的解集； （2）求函数图象的对称中心. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由求出，再验证函数是奇函数，再解不等式得出解集； （2）由结合的对称性得出函数图象的对称中心. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为 因为函数是奇函数，所以， 所以，解得 检验可知，当时， 即函数为奇函数，满足题意 由得， 所以， 即 所以，解得，所以该不等式的解集为 （2）由题知： 所以函数的图象是由的图象向上平移一个单位得到的 因为为奇函数，所以其图象的对称中心为 所以图象的对称中心是 19. 已知函数． （1）直接写出在上的单调区间无需证明； （2）求在上的最大值； （3）设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”已知，若是函数的“区间”，求的最大值． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） 若，的最大值为  若，的最大值为． （3）1 【解析】 【分析】（1）根据p函数的函数性质即可求解；（2）对参数进行分类讨论即可求解；(3)对参数进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由题意知，若，则在 ，上单调递减，所以的最大值为 若，则在 ，上单调递减，在上单调递增，此时，所以的最大值为 若，则在上单调递减，在上单调递增，此时，所以的最大值为 综上，若，的最大值为 若，的最大值为． 【小问3详解】 由知， 当时，在 ，上的取值范围为，在上的取值范围为因为，所以，满足，，使得，所以此时是的“区间”当时，在 ，上的值域为，在上的值域为因为当时，，所以，使得 ，即，，，所以此时不是的“区间”故所求的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $