精品解析：重庆市杨家坪中学2026-2027学年八年级上学期半期考试数学试题

重庆市杨家坪中学“教共体”半期学情监测 八年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，25个小题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.   B.   C.   D.   6. 判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是 ( ) A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ②③ 7. 如图，，在上有一点．过点作，交于点，，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，平分，交于点，点，分别在边，上，连接，，过作于．已知，，，则的面积为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知两个整式，，将整式与整式求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，，以此类推．以下三个说法中正确的个数有（ ） ①当时，第六次求和操作的结果为；②当时，有最小值，最小值为2；③若关于的方程的解为任意数，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本大题6个小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算的结果为______． 12. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 13. 如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 14. 如图，中，点在上，点是的中点，，，则阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 16. 对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得，对调百位与个位上的数字得，对调十位与个位上的数字得，这三个新三位数得和为，，所有． ①______； ②若都是“相异数”，其中，（，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为______． 三、解答题：本大题2个小题，每小题8分，共16分．解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程组与不等式组： （1）解方程组： （2）解不等式组： 18. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知，求的值． 四、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分．解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，，点在上，连接，请根据要求完成以下作图并完成证明． （1）尺规作图：在射线上截取，在的上方作，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：，，，求证： 20. 如图，已知△ABC． （1）画出与△ABC关于轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； （2）△ABC的面积=　　　　； （3）在x轴上找一点P使得PB+PC的值最小． （保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： （1）求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ （2）在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 23. 如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴的正半轴上，，． （1）若，，求点的坐标； （2）以为直角顶点，以和为直角边分别在第一、二象限作等腰和等腰，连接交轴于点，当点和点分别在、轴的正半轴上运动时，判断并证明与的数量关系． 25. 已知在四边形中，，E，F分别是直线、上的点． （1）如图1，若，，E、F分别在线段、上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系，并请说明理由． （2）如图2，若，点E、F分别在线段、的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系，并请说明理由． （3）如图3，若不变，点E在的延长线上，点F在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学“教共体”半期学情监测 八年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，25个小题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形， B中，，不能组成三角形， C中，，不能组成三角形， D中，，能组成三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：，错误； B选项：，错误； C选项：，正确； D选项：，错误． 4. 两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的外角性质得，由邻补角的定义可得，即可求解． 【详解】解：如图，设的邻补角为， ， ， ． 5. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 6. 判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是 ( ) A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 7. 如图，，在上有一点．过点作，交于点，，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形性质、等腰三角形性质，先依次算出前几条垂线段的长度，观察数字变化，归纳得到通项关系式，再代入序号求值． 【详解】解：，， ， ， ，是等边三角形 同理可得：，，……归纳规律： 当时，． 8. 如图，中，平分，交于点，点，分别在边，上，连接，，过作于．已知，，，则的面积为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据面积关系求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴． 9. 在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据证明即可； ②证明，得出，即可证明； ③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； ④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴不可能是等边三角形，故③错误； ④∵， ∴，， ∴点M、B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确； 综上分析可知，正确的有3个． 10. 已知两个整式，，将整式与整式求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，，以此类推．以下三个说法中正确的个数有（ ） ①当时，第六次求和操作的结果为；②当时，有最小值，最小值为2；③若关于的方程的解为任意数，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据操作规则依次计算出到的整式表达式，再逐一判断三个说法的正确性． 【详解】解：根据题意计算各次求和结果： ； ； ； ； ； ． ①当时，，故①正确． ②当时，，，则． ，当时取等号， 的最小值为，故②正确． ③∵， ∴， 整理得：． 方程的解为任意数， 的系数与常数项分别对应相等，即，，解得，故③正确． 综上，正确的说法有3个． 二、填空题：本大题6个小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】将拆分为，逆用积的乘方法则简化计算． 【详解】解： ． 12. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 13. 如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先延长到，使，连接，证明，然后根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ． ， ， 在中，， ． 14. 如图，中，点在上，点是的中点，，，则阴影部分的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用三角形中线平分面积及同高三角形面积比等于底边比的性质，分别求出和的面积，最后求和得到阴影部分面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积． 15. 如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图： ∵平分， ∴点必在上， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的面积是12，，边上的高为， ∴， 解得， ∴的最小值为4． 16. 对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得，对调百位与个位上的数字得，对调十位与个位上的数字得，这三个新三位数得和为，，所有． ①______； ②若都是“相异数”，其中，（，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据的算法进行计算即可； ②根据的算法可得，，进而由可得，由，，，及，，都是正整数可得或或或或，最后根据即可求解； 本题考查了整式的加减，新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：①对调的任意两个数位上的数字得，，， ∴三个新三位数的和为， ∴ ， 故答案为：； ②∵都是“相异数”，，对调的任意两个数位上的数字得，，， ∴三个新三位数的和为， ∴， ∵， 对调的任意两个数位上的数字得，，， ∴三个新三位数的和为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵各个数位上的数字互不相同， ∴，，，， ∵，，都是正整数， ∴或或或或， ∵， ∴当，时，的值最大，， 故答案为：． 三、解答题：本大题2个小题，每小题8分，共16分．解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程组与不等式组： （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】方程组采用代入消元法消去，先求出再回代求；不等式组需分别求出两个不等式的解集． 【小问1详解】 解：由得： 把代入： 把代入，得 方程组的解为 【小问2详解】 解：由①： ， ， 解得：； 解（两边同乘）： ， ， 解得：． 不等式组的解集为． 18. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 四、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分．解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，，点在上，连接，请根据要求完成以下作图并完成证明． （1）尺规作图：在射线上截取，在的上方作，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：，，，求证： 【答案】（1） （2）证明：， ， 在和中： ， （）， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点；以为圆心，适当长度画弧，交、于两点； 以为圆心，等长半径画弧交于一点； 量取前弧两点间距，在左侧弧上截取等长弧，连线得到射线，交 于． （2）根据平行的性质及角边角全等判定定理证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知△ABC． （1）画出与△ABC关于轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； （2）△ABC的面积=　　　　； （3）在x轴上找一点P使得PB+PC的值最小． （保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析，（2，3）、（2，3）、（1，1）；（2）1；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）先分别做出A、B、C关于y轴的对称点，然后再顺次连接，最后确定各点的坐标即可； （2）用△ABC所在的梯形面积减去两个三角形的面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点C'，再连接BC'与x轴的交点即为点P． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求： A1、B1、C1的坐标分别为：（2，3）、（2，3）、（1，1）； （2）△ABC的面积=（2+1）×2-×2×1-×1×1=3-1-=1； （3）如图：作点C关于x轴的对称点C'，再连接BC'与x轴的交点即为点P． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换，掌握网格结构、准确找出对应点的位置是解答本题的关键． 21. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）11 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： （1）求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ （2）在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】（1）每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 （2）3平方米和4平方米 【解析】 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； 【小问2详解】 解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米， 根据题意得： 解得：， 因为t为正整数， 所以或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 23. 如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形外角的性质求出，然后证明，即可得到； （2）连接，由全等三角形的性质得到，，然后利用等腰三角形的性质得到，等量代换即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴的正半轴上，，． （1）若，，求点的坐标； （2）以为直角顶点，以和为直角边分别在第一、二象限作等腰和等腰，连接交轴于点，当点和点分别在、轴的正半轴上运动时，判断并证明与的数量关系． 【答案】（1） （2）． 证明： 过点作轴于点，如图所示， ∴， ∵、均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，证明， 得出，， 得出，即可得出答案； （2）过点作轴于点，证明，得出，，得出，证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 25. 已知在四边形中，，E，F分别是直线、上的点． （1）如图1，若，，E、F分别在线段、上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系，并请说明理由． （2）如图2，若，点E、F分别在线段、的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系，并请说明理由． （3）如图3，若不变，点E在的延长线上，点F在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）解：，理由如下： 如图（），延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图（），在上截取，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 即； （3）． 【解析】 【分析】（）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）对于图，在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）如图，在延长线上取一点，使得，连接，先判定，进而得出，，再判定，得出，又，所以，所以，即，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结论：，理由： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $