精品解析：广西南宁市第三中学2026-2027学年高二上学期第2次月考数学试卷

南宁三中2026~2027学年度上学期高二段考 数学试题 2026.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的圆心为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 若直线：与：平行，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -1 3. 已知为抛物线：的焦点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知双曲线：的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过原点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，圆：，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，圆与轴相切 B. 当时，圆与圆内切 C. 过点的直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，设圆与圆的交点为，，则直线的方程为 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，右顶点为，焦距为，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，则下列说法中正确的是（） A. 的周长为 B. 若，则直线，的斜率之积为 C. 若上存在点使得，则 D. 若上存在点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围为 11. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，点为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点不与点重合时，平面平面 B. 三棱锥的体积为4 C. 若点到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线：上，则圆的方程为_____. 13. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则_____. 14. 已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，，. （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积. 16. 已知，，动点异于，两点，若直线与直线的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率. 17. “金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，10月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出100只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.同一组中的数据用该组区间的中点值代表. （1）求抽取的这100只蟹质量的中位数；（若有小数，保留一位） （2）若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取5只，再从这5只中随机抽取2只，求这2只蟹都来自同一个质量区间的概率； （3）某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有10000只蟹待捕捞，用样本估计总体.经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以90元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的蟹以20元/只收购，对质量高于或等于250克的蟹以30元/只收购.如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由. 参考数据：抽取的这100只蟹质量的平均数为克 18. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，且点在上. （1）求的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且. （ⅰ）求； （ⅱ）若点满足，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2026~2027学年度上学期高二段考 数学试题 2026.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的圆心为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆的一般方程的圆心为， 因为的圆心为， 所以，解得. 2. 若直线：与：平行，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，得 3. 已知为抛物线：的焦点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为抛物线：， 所以抛物线焦点为， 又为抛物线的焦点， 所以，解得. 4. 已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出焦点 坐标，设，利用中点坐标公式得，利用抛物线的定义即可求出弦长. 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 5. 已知双曲线：的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，得， 设渐近线的倾斜角为，则， 则， 因为两条渐近线夹角为，所以或， 则或，得或， 因为，所以，则该双曲线的焦距为. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用直角三角形边角关系及椭圆的定义列式求解. 【详解】由直线的斜率分别为，得，则，即， 又，因此，而， 于是，即，所以的离心率． 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过原点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意可得四边形为矩形，然后设出，然后利用表示出等线段，在直角和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】 由题意可得，是平行四边形， 又为圆的一条直径，，四边形是矩形，, 设，根据双曲线定义可得， 在直角中，有①， 又，，，， 在直角中，有，整理得， 解得或（舍）， 将代入①式得，又， ，. 8. 已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，圆：，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，圆与轴相切 B. 当时，圆与圆内切 C. 过点的直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，设圆与圆的交点为，，则直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A：求圆心到轴距离，和半径比大小，判断圆与 轴位置关系； 选项B：算出半径、圆心距，对比半径和差，判断两圆位置关系；选项C：点在圆内，最短弦垂直，结合勾股定理算弦长；选项D：两圆方程相减，得到公共弦直线方程. 【详解】由圆的一般方程配方得标准方程：， 可知圆圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径， 两圆心距. 选项A：当时，，圆心到轴的距离为2，不等于半径3，因此圆与轴相交， A错误. 选项B：当时，，两圆半径均为5， ，两圆相交，B错误. 选项C：点满足，在圆内部， 过圆内一点的最短弦是垂直于该点与圆心连线的弦， 弦长为，C正确. 选项D：由，化简得， 即直线的方程，D正确. 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，右顶点为，焦距为，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，则下列说法中正确的是（） A. 的周长为 B. 若，则直线，的斜率之积为 C. 若上存在点使得，则 D. 若上存在点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用椭圆的定义，将的周长拆成两组焦半径之和，得到周长为；B.设点坐标写出斜率乘积，结合椭圆方程化简得积为，代入算出结果；C.焦点张角最大值在短轴顶点，列式推出条件是，和选项结论不符；D.借助内切圆半径公式建立等式，利用得到不等式，求解离心率范围. 【详解】选项A，根据椭圆的定义，得， 由于直线过左焦点，故， 于是△的周长为，A正确； 选项B，设，由是关于轴的对称点，得，右顶点， 直线、的斜率分别为，故， 由在椭圆上，，整理得，代入上式得， 若，结合，得，，因此，B正确； 选项C，椭圆上点对两焦点的张角，在短轴顶点处取得最大值，要存在点使，需短轴顶点处的张角， 在短轴顶点处，，，由余弦定理， 由，得，即， 结合，平方整理得，即，与选项中矛盾，C错误； 选项D，设△的内切圆半径为，三角形的面积为，周长为，由三角形的面积公式，得内切圆的半径为， 因为，所以， （为的纵坐标，）， 代入，得， 由，得，两边平方并代入，整理得， 由，得， 结合椭圆离心率，得离心率范围为，D正确. 11. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，点为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点不与点重合时，平面平面 B. 三棱锥的体积为4 C. 若点到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量法可得到平面，进而可得到平面平面，可以判断选项A， 先求出的面积，再利用向量法求出点到平面的距离，再根据体积公式求得三棱锥的体积，判断选项B， 设出点坐标，根据题意求出点的轨迹方程，然后判断选项C， 先找出过，，三点的平面截正方体所得截面，然后判断截面形状并求出面积判断选项D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则， 对于A，， ，， ，， 又平面且， 平面，又点不与点重合，平面， 平面平面，A选项正确. 对于B，易得是边长为的等边三角形，面积， 设，其中， ， ，记平面的法向量为， 则，令，则，， 到平面的距离， 三棱锥的体积， B选项错误. 对于C，设，则点到的距离为，， ， 点到直线的距离为，根据题意可得， ，整理得，故点的轨迹为抛物线，C选项正确. 对于D，延长交于点，取的中点，连接, ，，可得为中点， 由与全等可得且， 同理可得且， 再由与全等可得， 过，，三点的平面截正方体所得截面为菱形， ， 截面面积，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线：上，则圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，应用点斜式写出的垂直平分线，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得标准方程. 【详解】由，可得中点:，故 ， 可得垂直平分线斜率为 所以垂直平分线方程为: ，即. 圆心在直线和直线上，即， 解得，故圆心， 可得圆的半径为：， 所以圆的方程为：. 13. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则_____. 【答案】10 【解析】 【分析】根据直线的方程求得、点坐标，从而求得抛物线解析式，再利用两点距离公式或抛物线的性质即可求解. 【详解】抛物线：的焦点为，点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为， 直线的方程为，令，解得，即，， 可得抛物线：，坐标， 令代入直线方程，解得，即坐标， 令代入抛物线方程，解得，即坐标， 所以. 14. 已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用可知是的中点，且点为的中点，结合双曲线方程与离心率的定义，可得关于离心率的方程，求解该方程即可得到离心率的值. 【详解】如图，取该双曲线的右焦点为，不妨设在第一象限，连接， 因为，则点是的中点，且点为的中点， 又因点为的中点，则为的中位线，又，则， 将代入，可得，即， 故，因点为的中点，则得， 又因点在双曲线上，则， 结合，化简得，解得， 故C的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，，. （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，法1：由余弦定理以及同角三角函数的平方关系即可求解；法2：由正弦定理即可求解； （2）法1：由三角形的面积公式求解，再由即可求解；法2：由以及三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得 ， 则， 法1：， ； 法2：正弦定理，即， 则． 【小问2详解】 法1：由三角形面积公式可得， 则； 法2：因为，， 所以， 又因为，所以， 所以. 16. 已知，，动点异于，两点，若直线与直线的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，由直线与直线的斜率之积为，即可求解； （2）设直线的斜率为，直线的方程为，直线的方程与椭圆方程联立，再由韦达定理以及，即可求解. 【小问1详解】 设点，； 化简得. 【小问2详解】 因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知， 该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立， ，设， 所以有， 因为， 所以 或（舍去），即. 17. “金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，10月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出100只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.同一组中的数据用该组区间的中点值代表. （1）求抽取的这100只蟹质量的中位数；（若有小数，保留一位） （2）若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取5只，再从这5只中随机抽取2只，求这2只蟹都来自同一个质量区间的概率； （3）某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有10000只蟹待捕捞，用样本估计总体.经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以90元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的蟹以20元/只收购，对质量高于或等于250克的蟹以30元/只收购.如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由. 参考数据：抽取的这100只蟹质量的平均数为克 【答案】（1） （2） （3）选择方案②，理由如下： 因为蟹质量的平均数为255克， 所以按方案①获利为元； 按方案②：质量低于250克的频率为， 质量大于等于250克的频率为， 所以按方案②获利为元， 又因为，所以选择方案②获利更多 【解析】 【分析】（1）根据中位数的计算公式即可求解， （2）列举所有基本事件，即可利用古典概型的概率公式求解， （3）求解两种方案的获利金额，比较大小即可求解. 【小问1详解】 因为质量小于250的频率为， 所以中位数位于，设中位数为，则，中位数 【小问2详解】 因为的频率为，的频率为0.3，所以分层抽样比例为， 的两只记为，，的三只记为，， 共有样本点10个，列举为，，，，， ，，， ，， 记“这两只蟹取自同一组”， 事件包含的样本点为4个， 则由古典概型知这2只蟹都来自同一个质量区间的概率为； 【小问3详解】 略 18. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为是正方形，所以，平面，平面，平面， 同理平面，又，，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明线面平行，进而得面面平行，即可根据性质求证， （2）（3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为正方形所在平面与梯形所在平面垂直， 平面平面，平面，所以平面，故， 又因为，，所以， 因为，所以，故，故，，两两垂直， 如下图建立空间直角坐标系： 则，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，则，，，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 若在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为， 设，（），因为，所以， 设平面的一个法向量为，因为，， ，所以，令，则，， 故，， 由（1）得平面，故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 根据题意得，因为，所以， 即，又，故， 故在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为， 此时． 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，且点在上. （1）求的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且. （ⅰ）求； （ⅱ）若点满足，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆标准方程，根据及点在上列方程求解； （2）（ⅰ）联立方程，根据韦达定理写出结果，求出，再结合，列方程求解； （ⅱ）对向量条件化简，得到，联立方程，设的中点为，根据韦达定理求出的坐标，根据两直线垂直斜率的关系得到的关系，再利用弦长公式和三角形面积公式表示出的面积，最后根据均值不等式求出最大值. 【小问1详解】 由题可知，且椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆方程为：， 因为点在上，所以，又， 解得，， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）设， 联立，整理并化简得：， 所以， ， 所以， 又，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，则， 所以，解得， 又因为，所以； （ⅱ）由（1）可知，所以直线方程为：， 设的中点为， 因为，所以，即， 所以，即，即，所以， 又，所以， 所以，则，即， 又， ， 所以， 当且仅当时，取得等号，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $