精品解析：广西南宁市第三中学2026-2027学年高二上学期月考（一）数学试卷

南宁三中2026～2027学年度上学期高二月考（一） 数学试题 2026.9 命题人：第一命题组 审题人：第一命题组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 则斜率，故 因为，所以. 2. 两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 3. 已知直线：，：，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的系数关系求解即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得. 当时，：，：，不重合. 所以. 4. 已知直线是圆在点处的切线﹐则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断点与圆的位置关系，根据圆的切线的几何性质求得直线的斜率，由此求得直线的方程. 【详解】由于，所以点在圆上， 圆的圆心为， ， 由于， 所以， 所以直线的方程为. 故选：B 5. 圆截直线所得弦的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 6. 已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 7. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是. 故选：B 8. 过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得， 因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 在轴上的截距为2 C. 与圆相离 D. 与直线之间的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线线垂直、直线的截距式方程、直线与圆的位置关系、平行线间的距离公式逐项计算即可. 【详解】选项A：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以直线与直线垂直，A正确. 选项B：令，得，所以在轴上的截距为，B错误. 选项C：圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，C错误. 选项D：直线与直线平行， 由平行线间的距离公式可知，D正确. 故选：AD. 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线上任意一点到原点的最大距离为 C. 曲线所围成图形的面积为 D. 函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案. 【详解】已知曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线为原点； 因此，画出曲线的图象，如图所示， 对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误； 对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则， 由于，所以，当且仅当时取等号， 则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成， 因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确； 对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示， 当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点； 当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点； 因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点， 根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点， 所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知两条直线，的方向向量分别为，，且，则实数_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示及向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】若，则，即，解得. 13. 某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥与球的关系可求出球的半径，利用球表面积公式求解. 【详解】如图， 由题意知，,, 故在中，, 设内切球球心为，则, 在中，， 所以，解得， 所以， 故答案为： 14. 在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到直线恒过的圆心，结合直线恒过的定点得到；根据，，，得到点在以原点为圆心，为半径的圆上；进而得到点为和的公共点，从而列不等式组求解即可. 【详解】直线可化为. 令，解得，所以直线恒过点. 因为对任意实数，点关于直线的对称点仍在上， 所以该直线恒过圆心，所以圆心为， 因为是上一点，所以圆的半径. 因为，，，， 则点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，又点为圆上的点， 故点为和的公共点，圆心距， 则由，解得. 故正数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的三个顶点分别是，， （1）求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，所以， 所以边所在直线的方程为，即， 又的中点为，即， 所以边垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 设的外接圆的方程为，其中， 依题意可得，解得， 所以，即， 即的外接圆的方程为． 16. 青海塔拉滩光伏园区是全球单体规模最大的光伏电站．截至2026年，通过生态修复与产业发展同步推进，园区累计治理沙化土地近60万亩，带动周边2300多户牧民增收．工作人员调查了100户牧民的家庭年增收额（单位：万元），得到如下频数分布表： 增收额分组 户数 a 24 b 21 14 （1）已知调查的100户牧民中增收额低于4万元的占比为33％，求a，b的值；估计该样本的第三四分位数（结果保留一位小数）； （2）从样本中增收额不低于5万元的牧户中，工作人员按照分层随机抽样方法抽取了5户进行深度调研．现从这5户中随机抽取2户参加一场座谈会，求抽取的2户增收额都在万元内的概率； （3）估计园区周边增收的2300户牧户中增收额不低于5万元的牧户数量． 【答案】（1），，第三四分位数约为 （2） （3）户 【解析】 【分析】（1）利用这两组户数之和总户数占比，先求出；再利用所有区间户数之和列方程求出，找到累计频数首次超过的区间；利用分位数公式代入数值计算. （2）根据分层抽样的比例，算出从这两组里分别抽取的户数，先算出从户中任选户的总的个数，再算出户都落在内的个数，两者相除得到概率. （3）算出它在户样本中的频率，利用此频率求出总体中对应牧户数量的估计值. 【小问1详解】 增收额低于万元的是和两组，占比，总户数， ，解得， ，代入解得， 因为有户，累计户，有户，累计户，有户，累计户， 有户，累计户，有户，累计户， 由，可得落在这一组， 则第三四分位数为. 【小问2详解】 增收额不低于万元的为组有户，组有户，户数比， 分层抽样抽取户，则组抽户，记为，组抽户，记为， 总基本事件有： 共个， 户都在内的事件只有个， 则抽取的2户增收额都在万元内的概率为. 【小问3详解】 样本中不低于万元的户数为， 则样本中增收额不低于万元的频率为， 估计园区周边增收的户牧户中增收额不低于万元的牧户数量为 户. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，． （1）若，求的值，以及的面积； （2）若，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可求，利用三角形面积公式求面积. （2）先由正弦定理化角为边，根据余弦定理化简求出，再由正弦定理计算即得. 【小问1详解】 根据余弦定理，因为，，， 代入公式计算得：，即； 根据面积公式：； 【小问2详解】 由，可得， 由正弦定理得：， 化简得：， 再由余弦定理：， 代入可得，则， 由正弦定理：得：. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）四边形中，，，，，若平面与平面所成的角的余弦值为． （i）求线段的长； （ii）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． 【答案】（1）在四棱锥中，底面，平面，则， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 由，为的中点，得，又，，平面， 所以平面． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到平面，从而得到，再结合即可求解； （2）（i）以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，根据题意得到平面和平面的法向量即可求解；（ii）根据题意得到即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）由（1）知，直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 过点作于点，由，，得， 设，则，，，， 所以，， 设平面的法向量，则，令，得， 由平面，得平面的一个法向量为， 依题意，得， 整理得，解得（舍去），所以线段的长为． （ii）显然平面，而平面，则，又， 所以，解得， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的， 所以点的轨迹的长度为． 19. 如图，经过原点O的直线与圆相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D． （1）当点B坐标为时，求直线的方程； （2）记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标； （3）求四边形的面积S的取值范围． 【答案】（1） （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆， 可得，设，， 则，又， ∴直线为， 令，可得x＝， ∴直线恒过x轴上定点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点的斜率公式及直线的点斜式方程即可求解； （2）设直线方程为，联立圆，可得，设，，则，再将直线直线求出，令，根据根与系数的关系可求出其所过定点； （3）设圆心到直线的距离平方为m，则，设圆心到直线的距离平方为n，根据圆的几何性质及平面几何知识易得，再利用弦长公式及四边形的面积公式，构建四边形的面积S关于m的函数关系式，最后求出S的取值范围． 【小问1详解】 ∵，， ∴的斜率为，又， ∴的斜率为，又， ∴直线的方程，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作，，垂足分别为，与交于点， 设圆心到直线的距离平方为m，则，即， 设圆心到直线的距离平方为n， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得点为中点，，则，即， 可得， ，又，， ∴四边形的面积为： ， 又，令， ∴，即， ∴四边形的面积S的取值范围为． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2026～2027学年度上学期高二月考（一） 数学试题 2026.9 命题人：第一命题组 审题人：第一命题组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 2. 两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0 4. 已知直线是圆在点处的切线﹐则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 圆截直线所得弦的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 在轴上的截距为2 C. 与圆相离 D. 与直线之间的距离为 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线上任意一点到原点的最大距离为 C. 曲线所围成图形的面积为 D. 函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知两条直线，的方向向量分别为，，且，则实数_________． 13. 某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为___________. 14. 在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的三个顶点分别是，， （1）求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； （2）求的外接圆的方程． 16. 青海塔拉滩光伏园区是全球单体规模最大的光伏电站．截至2026年，通过生态修复与产业发展同步推进，园区累计治理沙化土地近60万亩，带动周边2300多户牧民增收．工作人员调查了100户牧民的家庭年增收额（单位：万元），得到如下频数分布表： 增收额分组 户数 a 24 b 21 14 （1）已知调查的100户牧民中增收额低于4万元的占比为33％，求a，b的值；估计该样本的第三四分位数（结果保留一位小数）； （2）从样本中增收额不低于5万元的牧户中，工作人员按照分层随机抽样方法抽取了5户进行深度调研．现从这5户中随机抽取2户参加一场座谈会，求抽取的2户增收额都在万元内的概率； （3）估计园区周边增收的2300户牧户中增收额不低于5万元的牧户数量． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，． （1）若，求的值，以及的面积； （2）若，求． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）四边形中，，，，，若平面与平面所成的角的余弦值为． （i）求线段的长； （ii）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． 19. 如图，经过原点O的直线与圆相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D． （1）当点B坐标为时，求直线的方程； （2）记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标； （3）求四边形的面积S的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $