精品解析：广西壮族自治区南宁市马山县马山中学2026-2027学年高二上学期期中热身测试（月考）数学试题

高二年级期中热身测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点到直线的距离为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 2. 如图，在四面体中，，，．点M在上，且，N为中点，则等于（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，连接，    是的中点，， ，， ． 3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得，求解此不等式可得的取值范围. 【详解】由方程，可得， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：D. 4. 如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可． 【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，由为正三角形，故．故选B． 【点睛】本题考查了异面直线所成角，求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解． 5. 若x，y满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，其几何意义为点到直线的距离的平方，由到点直线的距离公式可求得答案. 【详解】原多项式可化为，其几何意义为点和点间距离的平方， 且点在直线上,设d为点Q到直线的距离， 则，又，得， 即，故所求的最小值为. 故选：B 【点睛】本题考查了数形结合思想，将多项式的最值转化成求点到直线的距离的平方，属于中档题. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 7. 四棱柱中，侧棱底面，，底面中满足，，，为上的动点，为四棱锥外接球的球心，则直线与所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设球心，则由可求出，设，然后表示出，求出其最大值，从而可求出直线与所成角的正弦值的最小值. 【详解】因为在四棱柱中，侧棱底面， 所以四棱柱为直四棱柱， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，， 所以, 球心在平面的投影坐标为，则设球心， 因为，所以，解得， 所以， 设，则， 所以 ， 设（），则 所以当，即时，有最大值， 此时直线与所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为 故选：C 8. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点在圆的外部，则的值可能为（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于半径列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】化为， 所以圆心半径， 在圆的外部， 所以，解得或， 综上所述，的取值范围是. 因为， 故选：ABD. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 圆与圆有两条公切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点的坐标设出直线方程，求截距，列出方程组求解判断A，根据直线方向向量的概念判断B， 利用两平行线间的距离公式判断C，根据圆与圆的位置关系判断D. 【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为， 令解得，令解得， 因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍， 所以，解得或， 所以直线方程为或，A说法错误； 选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确； 选项C：由得， 则直线与直线之间的距离，C说法错误； 选项D：由题意圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为，， 所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确； 故选：BD 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象表示两个圆 B. 的最大值是 C. 的取值范围是 D. 直线与曲线有且仅有2个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A对于判断曲线表示的图形，需要对给定方程进行化简变形. 对于求的最大值，可考虑将其转化为到原点距离的平方再加1，画图求解即可. 对于求的取值范围可联系到点与点连线的斜率范围.画图找出临界状态即可. 对于D，判断直线与圆的交点个数，运用圆心到直线距离与半径比较的方法判断. 【详解】对于A，由得， 即， 所以或， 所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．故A正确. 对于表示到原点距离的平方再加1，如图，根据两圆关于原点对称，故最大值考虑一种情况即可，即为.故B错误. 对于表示点与点连线的斜率.如图，设过点且与圆相切的直线为 ，由直线与圆相切得或故C正确. 对于D，由C知，时，则直线为，与圆M相切. 圆心N到直线距离，故直线为，与圆N相切. 直线与曲线有且仅有两个交点.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心为，截直线的弦长为的圆的方程为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，直线方程为， 所以圆心到直线的距离为， 根据弦长公式，可得， 解得，故圆的方程为． 13. 两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可． 【详解】解：两平面的法向量分别为，， 设两平面的夹角为， 所以，即，因为， 所以，即两平面的夹角为． 故答案为：． 14. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解． 【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知过点的直线与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得圆圆心，再由满足圆的方程，得到点在圆上，利用切线的性质，求得直线的斜率，进而求得直线的方程； （2）设圆的圆心坐标为，半径为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程. 【小问1详解】 由圆，可化为， 可得圆心，半径为， 又由点满足圆的方程，可得点在圆上， 因为直线过点与圆相切，所以， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 设圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆经过点，且与圆外切于点， 可得，解得， 所以圆的方程为. 16. 如图所示，在直四棱柱中，，，，，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 因为在直四棱柱中，面， 又面，所以， 又因为，所以，即两两垂直， 故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系,得两直线方向向量,利用向量数量积运算证明即可； （2）建立方程组得平面法向量,再根据线面角的向量求法,结合空间向量数量积运算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，， 设平面的法向量为，则由得， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切． （1）求圆C的标准方程． （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆C的方程为，利用点到直线的距离公式求出； （2）求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求出. 【小问1详解】 由题意设圆C的方程为， 因圆C与直线相切， 则圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 故圆C的方程为； 【小问2详解】 圆心到直线距离， 所以弦长. 18. 已知椭圆：的离心率为，抛物线：的焦点为，椭圆与抛物线交于点，且． （1）求椭圆及抛物线的标准方程； （2）若直线与椭圆、抛物线都相切，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为. （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求抛物线方程；根据点在抛物线上及椭圆离心率得到，，代入椭圆方程求解即可. （2）设出直线方程，与抛物线方程、椭圆方程联立，结合相切时求解即可. 【小问1详解】 抛物线：的焦点为，点在抛物线上， 由抛物线定义得，代入得，解得， 故抛物线方程为. 点在抛物线上，则有. 由椭圆离心率，得，即. 椭圆方程可化为. 将点代入椭圆方程得，解得. 则. 故椭圆方程为. 【小问2详解】 设直线：， 当不存在时，若与抛物线相切，则，但与椭圆相切要求，矛盾，故斜率存在.  当直线与抛物线相切时， 联立，整理得， 由，得，化简得，即.  当直线与椭圆相切时， 联立，整理得， 由，得， 代入，化简得， 整理得，即，解得（负值舍去）， 所以，此时. 故直线的方程为或，即或. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且． （1）求的长; （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合垂直关系，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，利用计算出的长度即可； （2）利用向量法求出平面的法向量与平面的法向量，进而求出二面角的正弦值即可. 【小问1详解】 因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系． 设，由，得，，，． 因为F是的中点，所以，则，． 又，所以， 解得，故． 【小问2详解】 由（1）可知，，则，，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 设平面的法向量为， 则，令，得． 所以， 故二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期中热身测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点到直线的距离为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2. 如图，在四面体中，，，．点M在上，且，N为中点，则等于（        ） A. B. C. D. 3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. 4. 如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 0 5. 若x，y满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 四棱柱中，侧棱底面，，底面中满足，，，为上的动点，为四棱锥外接球的球心，则直线与所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点在圆的外部，则的值可能为（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 圆与圆有两条公切线 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象表示两个圆 B. 的最大值是 C. 的取值范围是 D. 直线与曲线有且仅有2个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心为，截直线的弦长为的圆的方程为________. 13. 两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为____ 14. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知过点的直线与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 16. 如图所示，在直四棱柱中，，，，，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切． （1）求圆C的标准方程． （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求的值． 18. 已知椭圆：的离心率为，抛物线：的焦点为，椭圆与抛物线交于点，且． （1）求椭圆及抛物线的标准方程； （2）若直线与椭圆、抛物线都相切，求直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且． （1）求的长; （2）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $