精品解析：山东淄博市张店区实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

【2026.10.30】初四上月考数学试卷-张店区实验中学 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列各曲线中表示是的函数的是（） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 抛物线经平移后得到的新抛物线的解析式为，则下列关于平移的说法正确的是（ ） A. 右移1个单位，下移3个单位 B. 左移1个单位，上移3个单位 C. 右移1个单位，上移3个单位 D. 左移1个单位，下移3个单位 4. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线（是常数）的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tanβ=，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系.若水面上升1m，水面宽为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数中自变量与函数的部分对应值如下表： 下列各选项中，正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向上 B. 这个函数的图象与轴只有一个交点 C. 当时，则 D. 当时，随的增大而增大 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 12. 如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点的位置可以在点__________处．（从点，，，中选择） 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 14. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 15. 如图1，点从矩形的顶点出发，沿的方向运动至点停止，连接，为的中点，连接．设点的运动路程为，线段的长为，图2表示点从运动到的过程中与的函数关系．当点运动到中点时，的长度为______． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 18. 为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 主题 研究篮球运动员投篮技术特点 活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下处起跳投篮： 2．篮球运行路线是抛物线； 3．当篮球运动水平距离时，达到最大高度，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面，该运动员身高，球在头顶上方处出手． 设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点为出手点，点为最高点，点为篮圈中心．过点作水平地面的垂线，垂足为点，以点为坐标原点，所在直线为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系．此时可以确定点，点的坐标分别为，． 确定思路 通过建立坐标系，可以求出抛物线解析式，从而进一步解决实际问题．因为点是最高点然后下降，说明点是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度． 19. 【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 21. 综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 23. 已知抛物线（m，n为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026.10.30】初四上月考数学试卷-张店区实验中学 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列各曲线中表示是的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，只有D符合题意． 2. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】题目考查了特殊角的三角函数值和直角三角形的性质，关键是掌握特殊三角函数值．因为，可得，所以，即为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 抛物线经平移后得到的新抛物线的解析式为，则下列关于平移的说法正确的是（ ） A. 右移1个单位，下移3个单位 B. 左移1个单位，上移3个单位 C. 右移1个单位，上移3个单位 D. 左移1个单位，下移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可判断． 【详解】解：由抛物线，左移1个单位长度，下移3个单位长度，可得到抛物线， 故选：D． 4. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 5. 抛物线（是常数）的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴顶点坐标为： ， ∵ ∴顶点在第一象限． 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意， D、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 7. 如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tanβ=，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系.若水面上升1m，水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：求出OB，PB的长得到点P的坐标，从而求出抛物线的解析式，再把y＝1代入抛物线的解析式中求横坐标，横坐标的差即是所要求的结果. 详解：设AB＝2b，则PB＝3b，OB＝6b， 所以OA＝8b，则8b＝4，所以b＝， 所以OB＝，PB＝，则P(，). 设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 把x＝，y＝代入得×(－4)a，解得x＝2±， 所以水面上升1m后的宽为2＋－(2－)＝. 故选A. 点睛：根据所给条件求出抛物线上三个点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据函数值得到相应点的横坐标. 8. 已知二次函数中自变量与函数的部分对应值如下表： 下列各选项中，正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向上 B. 这个函数的图象与轴只有一个交点 C. 当时，则 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由表格数据可得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，故选项错误； ∵， ∴这个函数的图象与轴有两个交点，故选项错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 即时，二次函数取最大值为， 当时，可知时，二次函数取最小值，最小值为， ∴当时，则，故选项正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小。 选项D所述区间包含函数值减小的区间 故选项错误； 故选：． 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则.   顶点的坐标为，   对称轴为直线，即，  ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，  ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线是关键．根据解析式即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 12. 如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点的位置可以在点__________处．（从点，，，中选择） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 分别过点，，，作的垂线，利用正切的定义即可计算判断． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∴，， ∴，不符合题意； 如图，过点作于点，连接， ∴，， ∴，不符合题意； 如图，过点作交延长线于点，连接， ∴，， ∴，符合题意； 如图，过点作于点，连接， ∴，， ∴，不符合题意． 故答案为：． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 【答案】 【解析】 【分析】函数的对称轴为：，则另外一个交点在：，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴方程另一个解． 14. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值．如图，设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：如图， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大面积为 故答案为：． 15. 如图1，点从矩形的顶点出发，沿的方向运动至点停止，连接，为的中点，连接．设点的运动路程为，线段的长为，图2表示点从运动到的过程中与的函数关系．当点运动到中点时，的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可知，当点运动到点时，取得最小值，当点运动到点时，长度为，利用直角三角形斜边中线性质求出和的长，进而求出的长，确定矩形边长，当点在中点时，延长，，相交于点，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由图2可知，当时，取得最小值，此时点运动到点， ∵点与点重合，且点是的中点， ∴， ∴； 当时，，此时点运动到点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，，． 延长，，相交于点， ∵点是的中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∵， ∴． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）1． 【解析】 【分析】先代入特殊角的三角函数值：，，，，，，，然后再计算即可． 【详解】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值． 17. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 18. 为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 主题 研究篮球运动员投篮技术特点 活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下处起跳投篮： 2．篮球运行路线是抛物线； 3．当篮球运动水平距离时，达到最大高度，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面，该运动员身高，球在头顶上方处出手． 设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点为出手点，点为最高点，点为篮圈中心．过点作水平地面的垂线，垂足为点，以点为坐标原点，所在直线为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系．此时可以确定点，点的坐标分别为，． 确定思路 通过建立坐标系，可以求出抛物线解析式，从而进一步解决实际问题．因为点是最高点然后下降，说明点是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据题意可得到，将代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：点是抛物线的顶点， ， ， 点是抛物线上的点， ， ， ； （2）解：当时，， 跳离地面高度为． 答：球出手时，运动员跳离地面的高度为． 19. 【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 【答案】矩形广告牌的面积约为平方米 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形，依题意，，，，，，分别在中求得，根据，建立方程，求得进而求得的长，再求得矩形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 依题意，，，，， ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴ ∴的面积 答：矩形广告牌的面积约为平方米 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 21. 综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时，的最大值为 【解析】 【分析】（1）将点和点的坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果； （2）先求出直线的解析式，进而表示出的长，进一步得出结果； （3）作，交于，则， 得到，求出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，根据相似三角形的性质以及二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解 得 ， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 在抛物线中，令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入得， 解 得 ， ， ， ， ； 【小问3详解】 作，交于， ， ， 把代入得，， ， ， 如图①，当时， ， 当时，，， ； 如图②，当时，此时， ， 当时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值； 如图③，当时，， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值； 如图④，当时，同理可得，没有最大值； 综上所述，当时，的最大值为． 23. 已知抛物线（m，n为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②或； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $