精品解析：河北省保定市2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合， 因为集合，所以. 2. 复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，利用共轭复数的概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：B 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量，，则， 所以. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由等差数列的性质得，所以，得. 因此. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 故，故（负解舍去）， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 6. 已知某圆锥的侧面积为，且其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过设圆锥的底面半径、母线长、高，结合侧面展开图的性质、侧面积公式求出底面半径和母线长，再由勾股定理求高，最终代入体积公式计算得结果. 【详解】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 因为侧面展开图的圆心角为，所以，即，得到， 由圆锥侧面积公式，即，得到，解得（半径为正，舍去负解），因此，则， 所以. 7. 已知函数，在闭区间上的最大值不小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化为分段函数并作出函数图象即可求解. 【详解】解不等式得或， 所以函数， 作出其函数图象如下： 因为在闭区间上的最大值不小于， 所以由图可知或者即. 所以实数的取值范围是. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先推导得，再利用倒序相加法计算求和结果. 【详解】由可得， 即， 所以， 设，将求和式倒序得， 两式相加得，解得. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】由最小正周期公式即可计算求解判断A；求出函数的对称轴方程即可计算求解判断B；由的取值范围结合正弦函数图像性质即可求出相应值域判断C；求出函数的单调区间即可求解判断D. 【详解】函数，所以其最小正周期为，A正确； 由， 所以函数的对称轴方程为， 令，所以的图象关于直线对称，B正确； 时，， 所以，即函数在上的值域为，C错误； 由， ， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以在上单调递增，在上单调递减，D错误. 10. 在正方体中，棱长为，则下列正确的是（ ） A. 异面直线与互相垂直 B. 点分别为棱的中点，则四点共面 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点在直线上运动，点在直线上运动，则线段长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可判断A；求得，结合向量的共面定理，可判断B；由三棱锥的三条侧棱两两垂直，得到三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求得外接球的半径，结合球的体积公式，可判断C；结合异面直线的距离公式，求得异面直线间的距离，可判断D. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，且正方体的棱长为， 对于A，由， 可得， 所以， 所以，所以异面直线与互相垂直，所以A正确； 对于B，因为分别为棱的中点， 可得， 可得， 设，即， 可得，解得，即， 由共面向量定理，可得共面，所以四点共面，所以B正确； 对于C，由三棱锥的三条侧棱两两垂直， 可得三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 设三棱锥的外接球的半径为，可得，即， 所以三棱锥的外接球的体积为，所以C错误； 对于D，由直线和为异面直线，且， 可得， 设向量，其满足且， 可得，取，可得，所以， 根据异面直线间的距离公式，可得， 所以线段长度的最小值为，所以D正确. 11. 九连环是我国古典益智玩具，一根环柄上有个环，编号依次为，每个环有两种状态：在环柄上、被卸下．符号约定：○表示环在环柄上；⊗表示环被卸下．初始状态为个环均在环柄上，即 ．最终状态时个环全部卸下，即 ．装卸规则： ①每次仅可装卸个环，且装上或者卸下每个环的过程是可逆的； ②号环可自由装卸； ③装卸号环的充要条件：号环在环柄上； ④当时，装卸第号环的充要条件：第号环在环柄上，且前个环都被卸下． 设为从初始状态卸下前个环的最少步数，已知，． 状态：⊗₁⊗₂⊗₃⊗₄⊗₅⊗₆⊗₇○₈○₉， 状态：⊗₁⊗₂⊗₃⊗₄⊗₅⊗₆⊗₇⊗₈○₉．下列说法正确的是（ ） A. B. 状态比状态更接近全部卸下个环的目标 C. 数列满足递推关系 D. 从状态出发，全部卸下个环最少需要步 【答案】AC 【解析】 【分析】本题核心是建立递推关系.卸下第号环的条件是第号在柄上且前个卸下，因此要卸第号，必须先卸前个，再卸第号，最后把第号也卸下来.由此得到递推关系.状态为前7个环卸下、第8和9号环在环柄上，状态为前8个环卸下、第9号环在环柄上，直接比较即可. 【详解】要卸下第号，先卸前个（步），卸下第号（1 步），此时第号仍在柄上，需先装上前个再卸下第号，即 步.故，C 正确. 逐项计算：，A 正确. 继续递推：. B 项：卸下第9号环需第8号环在环柄上且前7个环全部卸下，状态满足该条件可直接卸下第9号环，状态需先装回第8号环才能卸下第9号环，因此状态比状态更接近目标，B错误. D 项：状态为前 7 个环卸下、第 8、9 号在柄上.此时第 8 号在柄上且前 7 个卸下，恰好满足卸第 9 号的条件，故可直接卸下第 9 号（1 步）.卸完后状态变为前 7 个卸下、第 8 号在柄，再卸下前 8 个环即为步.总步数为，不是 256，D 错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的最大值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案. 【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值， 所以当时，. 故答案为： 13. 过点有三条不同直线与曲线相切，则满足条件的实数的一个值为________． 【答案】(中的任意实数均可为答案.) 【解析】 【分析】设切线切点为，将问题转化为方程有三个根，然后通过研究单调性，极值可得答案. 【详解】设切线切点为，则，过点切线方程为： ， 代入，可得，为使过点的切线有三条， 则方程有三个根，令. ， 则在上单调递减，在上单调递增， 则在时取极小值，在时取极大值，为使方程有三个根， 则与图象有三个交点，从而. 则取满足题意. 14. 若平面四边形中，，，，则当四边形的面积最大时，________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理，表示长度，可得角与角的关系，再借助三角形的面积公式，利用角与角表示四边形面积为，借助三角恒等变换可得何时最大，从而可求对应的. 【详解】若四边形的面积最大，则必定在两侧. 如图：连接，在和中， ， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以， 所以 ， 所以的最大值为，当且仅当时，取最大值， 此时，故即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在区间上的所有对称中心的横坐标从小到大依次为，，…，，…． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数对称中心的性质，结合从小到大取值，即可推导出数列的通项公式； （2）先写出，判断是等差等比相乘型数列，利用错位相减法即可求和. 【小问1详解】 令，解得：，因为且横坐标从小到大排列， 得，因此. 【小问2详解】 由题意得，则 （1） （2） （1）减（2）得： ， 所以. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）判断的形状并证明； （2）若，，为边上一点，且，求． 【答案】（1）由已知可得，， 则，化简得，， 因为，所以或，因此或， 当时，，则，都成立， 此时是等腰三角形； 当时，则，此时是直角三角形； 综上所述，是等腰三角形或直角三角形. （2）当是等腰三角形时，线段长；当是直角三角形时，线段长. 【解析】 【分析】（1）对已知条件化简，得，可知或，；（2）当为等腰三角形时，利用三线合一的性质，可知，用勾股定理可求得的长；当为直角三角形时，则通过两种方法表示三角形面积，列方程求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 根据题意，画出如下草图， 当为等腰三角形时， 为等腰顶角的角平分线，则，为的中点， 所以，即. 当为直角三角形时， 为直角中直角的角平分线，即， 设，，则， 所以的面积， 同时，所以，解得. 综上所述，当是等腰三角形时，线段长；当是直角三角形时，线段长. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程存在个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）不妨设，的定义域为，. 当时，，在上单调递减， 当时，,在上单调递增. 所以在处取得最小值，且. 当时，，所以，当时,. 若，则至多有一个实数根； 若，则只有一个实数根. 这与方程有两个不同的实数根矛盾，所以. 又，而时，，所以两个根都在内， 结合两段上的单调性，得，. 因为，所以，. 于是，所以. 又，所以，即. 设，，则. 当时，； 当时，. 所以在处取得最小值，即. 因此对任意，都有. 由得，即. 又，所以. 所以. 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，. 所以，所以切线的斜率为. 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 略. 18. 如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，． （1）证明：； （2）若，的面积为，求二面角的正弦值； （3）在第（2）问的条件下，若内（不含边界）存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围． 【答案】（1）因为，所以， 因为且为中点，所以， 又因为，， 所以，所以， 在平面中，，所以， 即， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）三线合一得到线线垂直，由三角形全等得到与位置关系，即可得到线面垂直，由线面垂直的性质得到线线垂直； （2）由（1）计算出，并证明得到与平面的位置关系，然后由二面角的平面角的定义得到角，由边长求得二面角的正弦值. （3）由（2）建立空间直角坐标系，设点坐标，由等式求得点坐标的关系，由条件求得点坐标中的取值范围，然后由空间向量的数量积求得线面角的正弦值，然后求得线面角的正切值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，所以，所以， 由（1）可知，，平面，平面， 所以平面， 取中点，连接， 因为且为中点，所以为直角三角形，即， 所以，且平面平面， 所以二面角的平面角为， 在等腰直角三角形中，，所以，所以， 所以，所以. 【小问3详解】 由（2）可如图建立空间直角坐标系 则，设 ，所以，即， 直线 因为动点在内，所以， 所以，即. 所以. 平面的一个法向量为， 设直线与平面的线面角为， 则， 所以. 因为，所以函数在上单调递增， 所以. 19. 已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有． ①写出的解析式； ②若，讨论函数在上的零点个数． 【答案】（1）因为，，所以，因此是的元素. （2） （3）①，②若，函数没有零点；若，函数有个零点；若，函数有个零点；若，函数有个零点；若，函数没有零点. 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义证明；（2）条件等价于对任意，方程无解，分情况讨论的范围；（3）① 利用偶函数性质得到的解析式，再结合​的条件，推导的函数解析式；② 先结合，得到上的图象，再讨论的不同取值与图像交点个数，即零点个数. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，所以，有，即方程无解， 若时，要使无解，即无解，则； 若时，要使无解，即无解，则所有正实数满足； 若时，要使无解，即无解， 化简得，设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，， 所以在区间上的值域为， 要使方程无解，则， 综上所述，正实数. 【小问3详解】 ①因为是偶函数，且当时，，可知当时，， 则对任意，当时，满足，即， 因为，所以，即对任意成立， 故对任意，成立，因此当时，. ②当时，同上述过程可得当时，，则的图象如下， 在区间上， 若，则函数的图象与轴没有交点，即函数没有零点； 若，则函数的图象与轴有个交点，即函数有个零点； 若，则函数的图象与轴有个交点，即函数有个零点； 若，则函数的图象与轴有个交点，即函数有个零点； 若，则函数的图象与轴没有交点，即函数没有零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆锥的侧面积为，且其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在闭区间上的最大值不小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递减 10. 在正方体中，棱长为，则下列正确的是（ ） A. 异面直线与互相垂直 B. 点分别为棱的中点，则四点共面 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点在直线上运动，点在直线上运动，则线段长度的最小值为 11. 九连环是我国古典益智玩具，一根环柄上有个环，编号依次为，每个环有两种状态：在环柄上、被卸下．符号约定：○表示环在环柄上；⊗表示环被卸下．初始状态为个环均在环柄上，即 ．最终状态时个环全部卸下，即 ．装卸规则： ①每次仅可装卸个环，且装上或者卸下每个环的过程是可逆的； ②号环可自由装卸； ③装卸号环的充要条件：号环在环柄上； ④当时，装卸第号环的充要条件：第号环在环柄上，且前个环都被卸下． 设为从初始状态卸下前个环的最少步数，已知，． 状态：⊗₁⊗₂⊗₃⊗₄⊗₅⊗₆⊗₇○₈○₉， 状态：⊗₁⊗₂⊗₃⊗₄⊗₅⊗₆⊗₇⊗₈○₉．下列说法正确的是（ ） A. B. 状态比状态更接近全部卸下个环的目标 C. 数列满足递推关系 D. 从状态出发，全部卸下个环最少需要步 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的最大值是_____ 13. 过点有三条不同直线与曲线相切，则满足条件的实数的一个值为________． 14. 若平面四边形中，，，，则当四边形的面积最大时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在区间上的所有对称中心的横坐标从小到大依次为，，…，，…． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）判断的形状并证明； （2）若，，为边上一点，且，求． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程存在个不同的实数根，，证明：． 18. 如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，． （1）证明：； （2）若，的面积为，求二面角的正弦值； （3）在第（2）问的条件下，若内（不含边界）存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有． ①写出的解析式； ②若，讨论函数在上的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $