4.3 对数（9大培优题型）-2026-2027 学年高一上学期数学新教材同步培优讲义（人教A版必修第一册）

4.3 对数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、对数概念 3 知识点二、对数的运算法则 3 知识点三、对数公式 4 03 题型精讲 5 题型一：对数的概念与定义辨析 5 题型二：指数式与对数式的互化 5 题型三：对数恒等式的应用 6 题型四：积、商、幂形式的对数运算 7 题型五：对数方程的求解 7 题型六：换底公式的灵活应用 8 题型七：利用已知对数表示未知对数式 8 题型八：常见对数恒等式的证明 8 题型九：对数运算的综合应用 10 04 课后精练 13 05 培优拓展 16 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正数的积的对数等于同一底数各个正数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 题型一：对数的概念与定义辨析 【典例1-1】给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于;④成立.其中正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【变式1-3】（2026·高一·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 题型二：指数式与对数式的互化 【典例2-1】（2026·高一·四川甘孜·阶段检测）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例2-2】下列指数式与对数式互化不正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-1】（2026·高一·全国·单元测试）将（且）转化为对数形式，其中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-2】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）将转化为对数形式，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-3】（2026·高一·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【方法技巧与总结】 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 题型三：对数恒等式的应用 【典例3-1】（2026·高三·四川绵阳·阶段检测）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【变式3-1】（2026·高一·全国·单元测试）（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）（    ） A． B． C． D．2 【变式3-3】（2026·湖南·模拟预测）化简（   ） A． B． C．5 D．3 【方法技巧与总结】 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 题型四：积、商、幂形式的对数运算 【典例4-1】（2026·高一·云南红河·期中）（   ） A． B． C．0 D．1 【典例4-2】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）计算 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【变式4-3】（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 题型五：对数方程的求解 【典例5-1】（2026·高一·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例5-2】（2026·高一·江苏镇江·期中）如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（    ） A． B． C． D．15 【变式5-1】已知、是方程的两个实根，则 A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）关于的方程的解为___________． 【变式5-3】（2026·高一·上海虹口·期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则_______． 【方法技巧与总结】 直接利用定义法或者换元法 题型六：换底公式的灵活应用 【典例6-1】（2026·四川南充·一模）已知，则______． 【典例6-2】 ________　. 【变式6-1】（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知，则______. 【变式6-2】（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【变式6-3】（2026·高一·河南南阳·期末）若，则______． 【方法技巧与总结】 （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 题型七：利用已知对数表示未知对数式 【典例7-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知，，用a，b表示______． 【典例7-2】（2026·高一·四川成都·期中）已知，，则用，表示________. 【变式7-1】（2026·高一·天津·阶段检测），则用和表示的结果为_____ 【变式7-2】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【变式7-3】（2026·高一·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 【方法技巧与总结】 利用对数运算法则的应用进行转换. 题型八：常见对数恒等式的证明 【典例8-1】（2026·高一·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【典例8-2】已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 【变式8-1】求解下列问题： (1)证明：． (2)已知，且． 求证：． 【变式8-2】已知，，为正数，，． (1)求； (2)证明：． 【变式8-3】（2026·高一·江苏·阶段检测）已知正实数x，y满足. (1)比较x，y，1三个数的大小； (2)求的值； (3)证明：. 【方法技巧与总结】 利用换底公式和作差法进行证明. 题型九：对数运算的综合应用 【典例9-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【典例9-2】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【变式9-1】计算: (1)； (2). 【变式9-2】计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11)， (12)， 【变式9-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来. 1．（2026·高一·江苏·期中）设，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·江苏·期中）已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 3．（2026·高三·重庆江津·阶段检测）碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），经过年后，碳14的含量占比（其中为常数，为初始值），从3万年到4万年，碳14的含量占比由变为，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·北京石景山·阶段检测）自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·河南南阳·阶段检测）已知，则的溶液的是的溶液的的（    ） A． B．10倍 C．倍 D． 6．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·天津·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 8．（2026·高三·山东潍坊·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·山东聊城·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 11．（2026·高三·江苏南京·阶段检测）若，则______. 12．（2026·高三·山西太原·阶段检测）___________． 13．（2026·高三·山西·阶段检测）已知，，若，且，则__________． 14．（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）求值：_______________． 15．（2026·高三·上海浦东新·阶段检测）已知，则________（用含的代数式表示）． 16．计算：. 17．； 18．（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： 19．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 20．（2026·高一·天津·阶段检测）回答下面3个题： (1) (2)若，，求 的值； (3)记，，用 表示对数 . 21．（2026·高一·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 1．（2026·高一·上海·期中）若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·高二·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026·高一·江苏·阶段检测）若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（多选题）（2026·高一·河南·期中）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 6．（多选题）（2026·高一·江苏·期中）设，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·江西景德镇·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D．的最大值为2 8．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足：，，则______. 9．（2026·高一·安徽马鞍山·期末）已知实数、满足，，则___________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、对数概念 3 知识点二、对数的运算法则 3 知识点三、对数公式 4 03 题型精讲 5 题型一：对数的概念与定义辨析 5 题型二：指数式与对数式的互化 6 题型三：对数恒等式的应用 8 题型四：积、商、幂形式的对数运算 9 题型五：对数方程的求解 10 题型六：换底公式的灵活应用 12 题型七：利用已知对数表示未知对数式 13 题型八：常见对数恒等式的证明 14 题型九：对数运算的综合应用 16 04 课后精练 22 05 培优拓展 29 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正数的积的对数等于同一底数各个正数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 题型一：对数的概念与定义辨析 【典例1-1】给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④， 故选：C. 【典例1-2】下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于;④成立.其中正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数故①正确;对于②,指数式没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2故③错误;对于④,显然不成立,故④错误. 故选：B. 【变式1-1】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对①，，故①正确； 对②，对数式中的真数恒大于0，所以一个数如果不是正数，它就没有对数，故 ②正确； 对③，因为，但它不能化成对数式，故③错误； 对④，由对数式知，所以，故④错误. 故选B. 【变式1-2】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数， 故选：B 【变式1-3】（2026·高一·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【方法技巧与总结】 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 题型二：指数式与对数式的互化 【典例2-1】（2026·高一·四川甘孜·阶段检测）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】由可得 ,C不正确 故选：C 【典例2-2】下列指数式与对数式互化不正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于A：可化为：，∴A正确； 对于B：化成指数式为，∴B不正确； 对于C：可化为与，∴C正确； 对于D：可化为：，∴D正确． 故选：B． 【变式2-1】（2026·高一·全国·单元测试）将（且）转化为对数形式，其中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【解析】根据对数式与指数式的关系， 若，则，即，所以A正确； 若，则，即，所以B正确； 若，则，即，所以C正确； 由得，与已知不等，所以D错误. 故选：D. 【变式2-2】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）将转化为对数形式，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【解析】根据对数的定义和． 故选：C． 【变式2-3】（2026·高一·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【方法技巧与总结】 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 题型三：对数恒等式的应用 【典例3-1】（2026·高三·四川绵阳·阶段检测）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】； 故选：A. 【典例3-2】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【解析】. 故选：D 【变式3-1】（2026·高一·全国·单元测试）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】． 故选：C. 【变式3-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】∵， ∴. 故选：A. 【变式3-3】（2026·湖南·模拟预测）化简（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【解析】． 【方法技巧与总结】 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 题型四：积、商、幂形式的对数运算 【典例4-1】（2026·高一·云南红河·期中）（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】. 【典例4-2】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由，得，而， 则. 【变式4-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）计算 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，所以 . 【变式4-2】的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【答案】B 【解析】 . 【变式4-3】（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得 ，所以． 【方法技巧与总结】 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 题型五：对数方程的求解 【典例5-1】（2026·高一·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】由题意可知，即是方程的两个根， 则，可得， 所以. 故选：D 【典例5-2】（2026·高一·江苏镇江·期中）如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（    ） A． B． C． D．15 【答案】C 【解析】原方程等价于 因式分解得：， 所以，， 所以方程的两根分别为，，所以. 故选：. 【变式5-1】已知、是方程的两个实根，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，得，即，又， 所以. 故选B. 【变式5-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）关于的方程的解为___________． 【答案】 【解析】由题意， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（2026·高一·上海虹口·期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则_______． 【答案】 【解析】解:由题知的两个实数根是、, 根据韦达定理有, 即, 即, . 故答案为: 【方法技巧与总结】 直接利用定义法或者换元法 题型六：换底公式的灵活应用 【典例6-1】（2026·四川南充·一模）已知，则______． 【答案】 【解析】由，可得，， ， ， 所以 . 【典例6-2】 ________　. 【答案】3 【解析】 【变式6-1】（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知，则______. 【答案】/ 【解析】由，可得，， 则. 【变式6-2】（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【解析】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 【变式6-3】（2026·高一·河南南阳·期末）若，则______． 【答案】 【解析】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 题型七：利用已知对数表示未知对数式 【典例7-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知，，用a，b表示______． 【答案】 【解析】由题意. 故答案为： 【典例7-2】（2026·高一·四川成都·期中）已知，，则用，表示________. 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式7-1】（2026·高一·天津·阶段检测），则用和表示的结果为_____ 【答案】 【解析】由，得，而， 所以. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【解析】由，得， 则， 因为， 所以． 【变式7-3】（2026·高一·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 【答案】 【解析】因为，得， 所以， 所以， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用对数运算法则的应用进行转换. 题型八：常见对数恒等式的证明 【典例8-1】（2026·高一·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【解析】（1）证明: ，得证； （2）推广：. 证明：． 【典例8-2】已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 【解析】或, 证明如下： 设，则， 所以，因为，且，所以，即. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以或. 【变式8-1】求解下列问题： (1)证明：． (2)已知，且． 求证：． 【解析】（1）证明：左边右边 （2）证明：令，则，，， 所以， ， 所以． 【变式8-2】已知，，为正数，，． (1)求； (2)证明：． 【解析】（1）令，则，，， ， ， ． （2）证明:， ， ． 【变式8-3】（2026·高一·江苏·阶段检测）已知正实数x，y满足. (1)比较x，y，1三个数的大小； (2)求的值； (3)证明：. 【解析】（1）由，且，知，即. 由，且，知，即. 综上可知. （2）由，可得，， 则，， 因此，. （3）证明：由（2）知，即， 则. 【方法技巧与总结】 利用换底公式和作差法进行证明. 题型九：对数运算的综合应用 【典例9-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【解析】（1）因为，， 所以； 即. （2）由分别转化为对数式， 即， 即， 结合换底公式可得： . 【典例9-2】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 【变式9-1】计算: (1)； (2). 【解析】（1） . （2） . 【变式9-2】计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11)， (12)， 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4）； （5） ； （6） ； （7）； （8） ； （9） ； （10）； （11） ； （12） 【变式9-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式； （2）解法一：； 解法二：  ； （3）原式． 【方法技巧与总结】 （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来. 1．（2026·高一·江苏·期中）设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. 2．（2026·高一·江苏·期中）已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】已知，故， ，故． 3．（2026·高三·重庆江津·阶段检测）碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），经过年后，碳14的含量占比（其中为常数，为初始值），从3万年到4万年，碳14的含量占比由变为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，， 则，，故， 即，即，故. 4．（2026·高三·北京石景山·阶段检测）自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，一年后本金与利息之和为. 对取自然对数得. 代入参考数据得， 所以. 5．（2026·高三·河南南阳·阶段检测）已知，则的溶液的是的溶液的的（    ） A． B．10倍 C．倍 D． 【答案】B 【解析】当时，由， 得， 当时，由， 得， 所以的溶液的是的溶液的的倍. 6．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 7．（2026·高三·天津·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【解析】由，得 因为，所以 所以 所以 8．（2026·高三·山东潍坊·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，. 9．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式 . 10．（多选题）（2026·山东聊城·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】AC 【解析】， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 11．（2026·高三·江苏南京·阶段检测）若，则______. 【答案】1 【解析】. 12．（2026·高三·山西太原·阶段检测）___________． 【答案】/ 【解析】. 13．（2026·高三·山西·阶段检测）已知，，若，且，则__________． 【答案】/1.5 【解析】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 14．（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）求值：_______________． 【答案】/5.875 【解析】 ． 15．（2026·高三·上海浦东新·阶段检测）已知，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】. 16．计算：. 【解析】 . 17．； 【解析】原式＝ ＝. 18．（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： 【解析】（1）证明:设，即． 两边取以为底的对数，得． 因为，，， 因此上式两边可除以，得． 所以，． （2）因为，因此． （3） ． 19．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 【解析】（1） . （2）, 20．（2026·高一·天津·阶段检测）回答下面3个题： (1) (2)若，，求 的值； (3)记，，用 表示对数 . 【解析】（1）原式 ； （2），又， 所以； （3）， 所以. 21．（2026·高一·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 【解析】（1）因为，所以，， 所以. （2）若，则，， 所以. 1．（2026·高一·上海·期中）若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A， ，A 正确； 对于B，由题：，， 所以， ，B正确； 对于C，由选项A可知，所以， 所以，当且仅当时取等号，因为，所以，C错误； 对于D，由选项A可知，由选项B可知，， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 因为，所以，D正确． 2．（2026·江西·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 3．（2026·高二·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 4．（2026·高一·江苏·阶段检测）若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】设，根据对数换底公式，得， 已知，代入得： ， 即， 因式分解得： 解得或， 由，得： 若，则； 若，则（与上式对称，取分析即可）。 将代入，得： 化简右边：，因此： 因且，故 解得或（舍去） 则，故： 故选：B 5．（多选题）（2026·高一·河南·期中）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【解析】令， 得， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，当时，得，则， 得，故B项正确； 对于C项，当时，得，而， 则，得，但推不出，故C项错误； 对于D项，当时，得， 则 ， 而，得，得，得， 得，而， 得，得，得，故D项正确． 6．（多选题）（2026·高一·江苏·期中）设，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，故，且，因此即. 选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：设，，则 ，， 故. 时，， 所以，等号当且仅当时成立，故D正确. 7．（多选题）（2026·高一·江西景德镇·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D．的最大值为2 【答案】ABD 【解析】∵， 当且仅当，即时取等号. 且，则， ∴，A选项正确； ，当且仅当，即时取等号， ∵，即，∴， 由双勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 而，∴，B选项正确； ， 令，则，函数， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴函数在上单调递减，∴， 当时，，C选项错误； 令，则由A选项可知， ∴，∴， ∴的最大值为2，即时取最大值，D选项正确. 故选：ABD. 8．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足：，，则______. 【答案】3 【解析】∵，∴， 又，∴，即， 又函数在定义域上单调递增，所以，， ∴. 9．（2026·高一·安徽马鞍山·期末）已知实数、满足，，则___________． 【答案】 【解析】构造函数，其中， 因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数 由可得，由可得， 即,由函数的单调性可知，则， 于是，则得， 所以. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $