4.1 指数（5大培优题型）-2026-2027 学年高一上学期数学新教材同步培优讲义（人教A版必修第一册）

4.1 指数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 3 知识点二、根式的概念和运算法则 3 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 4 知识点四、有理数指数幂的运算 4 知识点五、无理数指数幂 4 03 题型精讲 6 04 课后精练 15 05 培优拓展 21 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；0的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识点五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点六、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 题型一：根据根式有意义的条件求取值范围 【典例1-1】若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【答案】C 【解析】被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数， 故选：C. 【典例1-2】，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，无意义，A不是； 对于B，当时，无意义，B不是； 对于C，对任意实数都有意义，C是； 对于D，当时，无意义，D不是. 故选：C 【变式1-1】若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由负分数指数幂的意义可知，， 所以，即，因此的取值范围是． 故选：C. 【变式1-2】若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】由题意可知， 且． 故选：B 【变式1-3】若有意义，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 故选：C. 【方法技巧与总结】 使根式有意义 题型二：根式的化简与求值运算 【典例2-1】（2026·高一·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 【典例2-2】若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 【变式2-1】（2026·高一·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 【变式2-2】（2026·高一·江西赣州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 故选：C. 【变式2-3】（2026·高一·全国·单元测试）化简（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】， 故选：D． 【方法技巧与总结】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 题型三：分数指数幂与根式的相互转化 【典例3-1】（2026·高一·广东广州·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 【典例3-2】（2026·高一·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A.，故A错误；B.，故B错误； C.，故C错误；D. ，故D正确. 故选：D 【变式3-1】（2026·高一·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【变式3-2】（2026·高一·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项：，，故A错误； 对于B选项：，故B错误； 对于C选项：，故C正确； 对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误. 故选：C 【变式3-3】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】按根式与分数指数幂的互化规则逐项检验，注意偶次方根的结果非负，即可对四个选项作出判断． 对于A，，当时，，选项A错误； 对于B，，不是，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，当时，无意义，选项D错误． 【方法技巧与总结】 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 题型四：指数幂运算的化简与求值 【典例4-1】化简下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1）原式 ． （2）原式， 当时，原式； 当时，原式. 【典例4-2】（2026·高一·吉林长春·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【解析】（1） . （2）由于，所以， 所以 . 【变式4-1】计算下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1）原式． （2）原式． 【变式4-2】（2026·高一·广西钦州·期中）求值： 【解析】原式       【变式4-3】（2026·高一·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【解析】（1）原式； （2）原式：． 【方法技巧与总结】 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 题型五：整体代换法的解题应用 【典例5-1】（4.1指数）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【解析】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 【典例5-2】（2026·高一·江苏无锡·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【解析】（1）由，得. （2）由，得. 【变式5-1】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【解析】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 【变式5-2】（1）已知（常数），求的值. （2）已知，求下列各式的值： ①；②；③. 【解析】（1）将两边平方得， 整理得. （2）①，. ∴. ②，. ③. 【变式5-3】已知，求的值. 【解析】 ， ， ， 所以. 【方法技巧与总结】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 1．（2026·高一·北京顺义·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 2．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）设为正数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以得， 即，所以. 3．（2026·高一·宁夏陕西·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为； 对于A：的定义域为， 与解析式不同，故A错误； 对于B：的定义域为，与的定义域不同，故B错误； 对于C：的定义域为，与的定义域不同，故C错误； 对于D：的定义域为，与解析式相同，故D正确. 4．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】6是偶数，故当时，． 5．（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【解析】由可得. 故选：A. 6．（2026·高一·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】由得， 因为，所以. 故选：B 7．（2026·高一·云南昭通·期末）若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 【答案】C 【解析】， 所以. 故选：C. 8．（2026·高一·天津蓟州·阶段检测）化简为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 9．（多选题）（2026·高一·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 10．（多选题）（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 11．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）计算__________. 【答案】/ 【解析】 12．（2026·高一·广东茂名·期中）已知，，则 =________. 【答案】 【解析】由,得. 由,得. 所以. 13．（2026·高一·福建三明·期中）计算_________． 【答案】 【解析】 . 14．（2026·高一·甘肃定西·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【解析】（1）根据指数幂运算法则计算； （2）将完全平方算出的值，再完全平方即可求出的值． 【详解】 （1）原式 . （2）因为，所以， 所以，所以， 所以. 15．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【解析】（1）原式. （2）令，由得，所以，. 分母. 故原式. 16．计算； 【解析】 ； 17．（2026·高一·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【解析】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 18．（2026·高一·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）若，求． 【解析】（1）原式= =   = = = （2）由，得， 故， 又 =， 故. 19．（2026·高一·云南曲靖·期中）（1）计算 （2）化简：. 【解析】（1） ； （2）原式. 1．（2026·高一·江苏·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 可化为， 由基本不等式，故，即， 当且仅当，即时取等号， 综上可得，的最小值为． 2．（多选题）（2026·高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 3．（多选题）（2026·高一·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 4．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）如果为正整数且不是一个完全平方数，那么可以表示为的形式.若，则的值分别为__________. 【答案】4，3，8 【解析】由，则， 而，所以， 所以，则， 所以，则， 因为，所以，解得. 故答案为：4，3，8. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 3 知识点二、根式的概念和运算法则 3 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 4 知识点四、有理数指数幂的运算 4 知识点五、无理数指数幂 4 03 题型精讲 6 04 课后精练 11 05 培优拓展 14 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；0的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识点五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点六、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 题型一：根据根式有意义的条件求取值范围 【典例1-1】若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【典例1-2】，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【变式1-3】若有意义，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 使根式有意义 题型二：根式的化简与求值运算 【典例2-1】（2026·高一·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【典例2-2】若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（2026·高一·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 【变式2-2】（2026·高一·江西赣州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·全国·单元测试）化简（    ） A． B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 题型三：分数指数幂与根式的相互转化 【典例3-1】（2026·高一·广东广州·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 题型四：指数幂运算的化简与求值 【典例4-1】化简下列各式： (1)； (2)． 【典例4-2】（2026·高一·吉林长春·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【变式4-1】计算下列各式： (1)； (2)． 【变式4-2】（2026·高一·广西钦州·期中）求值： 【变式4-3】（2026·高一·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 题型五：整体代换法的解题应用 【典例5-1】（4.1指数）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【典例5-2】（2026·高一·江苏无锡·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【变式5-1】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【变式5-2】（1）已知（常数），求的值. （2）已知，求下列各式的值： ①；②；③. 【变式5-3】已知，求的值. 【方法技巧与总结】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 1．（2026·高一·北京顺义·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）设为正数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·高一·宁夏陕西·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 6．（2026·高一·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 7．（2026·高一·云南昭通·期末）若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 8．（2026·高一·天津蓟州·阶段检测）化简为（   ）. A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）计算__________. 12．（2026·高一·广东茂名·期中）已知，，则 =________. 13．（2026·高一·福建三明·期中）计算_________． 14．（2026·高一·甘肃定西·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 15．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 16．计算； 17．（2026·高一·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 18．（2026·高一·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）若，求． 19．（2026·高一·云南曲靖·期中）（1）计算 （2）化简：. 1．（2026·高一·江苏·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A．4 B．8 C． D． 2．（多选题）（2026·高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）（2026·高一·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）如果为正整数且不是一个完全平方数，那么可以表示为的形式.若，则的值分别为__________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $