第1章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材浙教版九年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章解直角三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 y 2 4 5 6 8 9 10 答案 C A B D A C C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.5V3 12.2 13.4 14.5 15.15米/15m 16.①②③ 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1)1 ,25 +4x5-2N5 【详解】(1)解：原式 2-2x 2 2 =2-1+2V5-2W5 =1;-4分 3×1+23-2-1 (2)解：原式 =2W5 --8分 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(1)见解析 (2)见解析 3)见解析 【详解】(1)解：如图①， 图① 由网格可知：AC=1,BC=3,∠C=90° .tan∠ABC= AC 1 BC3, ∴点C即为所求；2分 (2)解：如图②， A D 图② 由网格可知： AB=VP+32-04D=√22+2=2N2BD=P+P=√2 .AD2+BD2=8+2=10=AB2, .∠ADB=90° tan∠BAD=BD=V21 AD222, ∴.点D即为所求；-5分 (3)解：如图③， 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图③ 由(2)得∠ADB=90°， 根据网格可知：EF∥BD, ∴.∠APE=∠ABD, am∠APE=tam∠ABD=4D_25-2 BD2 点EP即为所求.-8分 19.(1)楼CD高70m (2)无人机能安全返航 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AF∥BD,交CD于点F, 60yX45 x30° 4 B D :∠MFC=∠BDC=909,AF=BD=60N5m 在a45C中，∠C1=30,tm30=CF-5 AF 3, CF=AFtn3060J60(m)C=2CF=120m ,CD=CF+FD=60+10=70(m) 答：楼CD高70m;4分 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：无人机能安全返航，理由如下， 依题意可知，∠AEC=180°-60°-45°=75°，∠EAF=60°， .∠CAF=30°， ∴.∠EAC=∠EAF-∠CAF=60°-30°=30°， 在△EAC中，∠ECA=180°-∠EAC-∠AEC=180°-30°-75°=75°， ∴.∠ECA=∠AEC, ∴.AE=AC=120m, 无人机可飞行距离：s=W=5×40=200m, .200>120, ∴无人机能安全返航.…8分 20.(1)1 20<d(a)<2 2W17 (3)17 【详解】(1)解：根据题意可知∠A=60°， AB=AC, .△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC=BC d60=6-1.2分 (2)解：在△ABC中，AB+AC>BC, .2AB>BC」 e报 :d(A)<2 0°<A<180° d(A)>0 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0<d(4)<2 …5分 (3)解：如图，过点B作BD⊥AC,则∠BDA=90° D B------ C..sin4=BD 8 AB 17 ∴.设BD=8a,AB=17a. ∴.AD=VAB2-BD2=15a AC=AB=17a. .DC=AC-AD =17a-15a=2a. .BC=BD2+DC2 =2v17a :d4)=BC=27 AB17.-8分 21.(1)1:1 (2)1 (3)证明：如图④， b 图④ 根据正弦、余弦的定义得： sm4+w4-(g+G-+[②- 根据勾股定理得：a2+b2=c2, 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..sin24+cos24=2+b2 c2 c221, .'sin2 4+cos2 4=1. 1 (4)5 【详解】(1)解：如图①、图②， B2 C V3 Cn 1A2 图① 图② 根据正弦、余弦的定义得： os4=4S=6 4C=1-2 4B2, c0s42 B,4,2=2, m44-1.4ow4-- 2 =1 --1分 (2)解：如图③， 4 A3 图③ 根据正弦、余弦的定义得： sin2+cos2= 4 、AB A.B - 根据(1)得： sin+cos= 闾1m4+m4-司 根据上述计算，可猜想：sin2A+cos2A=1.-2分 (3)证明：如图④， 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B a b 图④ 根据正弦、余弦的定义得： m+4(+G-g+-“4 根据勾股定理得：a2+b2=c2, ..sin2A+cos2=+b2c2 c2.1, .sin2A+cos2A=1.--5分 （4)解：”sin2A+eosA=1,m4co4= 25 .'(sinA4+Cos4)2=sin24+cos24+2sin4.cos4=1+ 2449 25-25, .0°<∠A<90°， ∴.sinA>0,cosA>0. 497 :sn1+cos1=v6m1+cos0-25-3, 1 sinA+cosA的值为5.--8分 22.(1)①1.8：②0.26 2)y=V3x+18-5V5 10 0sxs23+9 30 【详解】(1)解：①在图(1)中， ,OG部分长为0.45米，点G到地面的距离是135米，OG1AC,AC与地面BD平行， ∴点C到地面的距离是0G+GP=0.45+1.35=1.8(米)， 在图(2)中，延长OG,交BD于H, 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M 雨线 雨线 K 60° B .AC∥BD,OG⊥AC, .GH⊥BD ∴.点C到地面的距离是0G+GH=0.45+1.35=1.8(米). 综上所述：点C到地面的距离是1.8米.…2分 ②：AC=1米，点O为AC的中点， 0c=4c-米 2 .ABII CD .∠ABD=∠CDP=72°， ,AC∥BD, .∠ACK=∠KDP=72°， 品在RA0CK中，OK=0Ctam∠0CK≈x3.08=1.54(米) .PK=0P-0K=1.8-1.54=0.26(米).5分 (2)解：如图，延长PN,交AC于点F,则OF=EG=x, A T E x/G 雨线 雨线 660° 777777 B DOP (2) 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 CF=OF+OC=x+ 2米， ABII CD ∴.∠ABD=∠KDP=60°， .AC∥BD, .∠FCK=∠KDP=60°， FK=CF-tam60°= 2 :y=V3x+18-53 10, 延长MN交AB于T,过点A作AI⊥MN于I, m=0=0.2-5 .4=1.8-l.6=0.2(米)，tan60°515， =M-合米 ,头部不被淋湿， V3,1 T=I+M≥MW,即15+2x20.2 xs213+9 解得： 30, x≥0， 25+9 0≤x≤ 30, y与x的函数表达式为y=V3x+18-5 10 0sxs23+9 30 -10分 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.)b=52 25(5+ (2)2 AB≈73.47 amile (3) 【详解】(1)解：由题意得sin A sin B, 10 6 ∴.sin45°sin30°， b=5v2 解得 .-3分 (2)解：过点C作CD⊥AB于点D, .sind=CD_CD :CD=bsin=2 ×5V2=5 .∠A=45°. .'AD=CD=5, :∠B=30°， .∠BCD=60°， :sin∠BCD=BD BC sin60°=BD 10, BD=sin60°×10=5 ×10=55 4B=AD+BD-c=5+53 8-0-s0: 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7分 CD (3)解：由题意可得，BC=40×1.5=60,∠ACB=60°，∠BAC=75°-30°=45°： AB 60 由题意得sin60°sin45°， ÷1B=306≈73.47 答：AB≈73.47 amile -10分 24.(1)点C离水平地面的高度约为15.59m (2)30.15 (3)土坑的深度约为6.80m 【详解】(1)解：如图，连接DE,过点C作CK⊥GF交GF于K,交DE于H,则CH⊥DE 水平线0 C 反射镜 A」 B/D H E 777777f777777777777777777777万 wmmo K G .∠CAB=30°∠CBD=60° .∠ACB=30° .BC=AB=18m 在Rt△CBH中， CH=BC.sin60°=18x 2 =93≈15.588≈15.59m 即点C离水平地面的高度约为15.59m.4分 (2)解：如图， 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 水平线节 N反射镜 A B/D cmommmm G 777 :AB∥PC,∠CAB=30 .∠PCA=∠CAB=30° 又.0=22.5° ∴.∠NCF=∠MCA=∠MCP+∠PCA=0+30°=22.5°+30°=52.5o ÷.∠4CF=180°-2(0+30）=120°-20-=120-2x2.50=750 ∠BCG=180°-2(0+60°)=60°-20=60°-2×22.5°=15° 同理可得 ∴.∠GCF=∠ACF-∠ACB-∠BCG =75°-30°-15° =30°.…7分 (3)解：由题意得四边形DEFG是矩形， 则DE=GF, 在Rt△CBH中，∠CBH=60°， .∠BCH=30° .∠GCK=∠BCH-∠BCG=30°-15°=15°. ∴.∠CGK=75°， .∠FCK=∠GCK=15°， .CK=CK ∴.ACGK≌aCFK(ASA) GK-FK-1GF-1DE-6m -2 在Rt△CGK中，CK=GK.tan75°≈6×3.732=22.392 ∴.HK=CK-CH=22.392-15.588=6.804≈6.80 12/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即土坑的深度约为6.80m.-…-12分 13/13函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章解直角三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.2c0s45°的值为() A.2 B.3 C.② D 1 2.在△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5,则cosA的值为() 5 12 13 5 A.13 B.13 c.5 D.12 3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田 面积一2×（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 33 AB,“矢”等于半径长与圆心0到弦的距离之差.如图，若该弧田的面积为2，“弦”为8，则 cos∠OAB=() 3 24 12 A.5 B.25 c D.25 4.如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°，它的示意图如图②所示.若AC长为a米， 则窗角C到窗框AB的距离CD的长度为() C <123° D B 图① 图② a A. tan23o米 B.sin23o米 C.c0s23°米 D.asin23°米 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图， 点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上，BD是OA的一条弦，则os∠OBD的值是() 4 A. 5 D.2 6.图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图， 摄像头A的仰角、俯角均为l5°，高度OA为l65cm.某人笔直站在离摄像头水平距离100cm的点B处，他 的身高为hcm,头部高度为l8cm,若此人要能被摄像头识别，则h的取值范围为（参考数据： sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)() 仰角15 摄像头A F--水平线 俯角15° 777777 图1 图2 A.163≤h≤192 B.138≤h≤184 c.156≤h≤192 D.156≤h≤217 +(N3-tanB)2=0 7.在AABC中，∠4∠B都为锐角，若 则C的度数是() A.15 B.45° C.75° D.105o 已知：如图，在A4BC中，D是边BC上的高，E为边4C的中点，BC=2I,D=8SmB 5.则 tan/EDC的值为() D 8 6 A. B.15 C.3 8 D.13 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,D为边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的 中点，若DE⊥DF,则DF的长为() A D E A.1 B告 c.s n 10.想定：sin(-)=-smx,cos(-)=cosx.cos(x+y)=cosxcosy--sinxsiny sin(x+y）=sinxcosy+cos xsin y.给出以下四个结论：① n(-45)=-v2 2；②sin20=2sin0cos0;③ cos(a-B)=cosacosB+sinasinB.cos75v6-v2 4.其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 1山，河堤横斯面如图所示，堤高8C=5米，迎水坡4B的坡度是：v5, ,则4C的长是 米。 B 12.如图，△ABC的顶点都在3×2的方格纸的格点上，则∠APD的正切值为， B 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图， AC,BD 对角线， ABCD DE⊥AC 为矩形 于点E,∠BDE=30,DE=5,则4C长为 14.如图.4D是。1BC的中线，∠DM1C=450,mB 2,AB=V5,则BC的长为— 15.眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑.如图，某校学生测 量其高度AB(含底座)，先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为32°，再由点C走8米到点E处， 测得其坛顶端A的仰角为45°.已知B、B、C三点在一条直线上，测角仪的高度CD=EF=1.5米.则天下 第一菹坛的高AB为」 (参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，结果保 留整数) B E 16.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点M在BC上，连接AM交BD于点N, ∠ABC=2LCAM.己知AB=10,BM=6.下列说法正确的是 ①4N-5:@M0=OB-ON:@m∠B0M-号：①点P在AC上运动，连接P,Mp,则NP+Ap的最 125 小值为5. D 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.计算： 2cos60°+4sin60°-V12 (1)八2 (a3tan45°+23-2-（π-V5° 18.图①，图②，图③均是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点 上.（利用网格，只用无刻度的直尺作图，保留适当的作图痕迹） 图① 图② 图③ (I)在图①中找一格点C,使A4BC为直角三角形，且∠ABC的正切值为3： (2)在图②中找一格点D,使△ABD为直角三角形，且∠BAD的正切值为2： (3)在图③中找一格点E,在线段AB上找一点P,使△APE为锐角三角形，且∠APE的正切值为2.（作出 一种即可) 19.如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小海用无人机测量大楼的高度.无人机悬停在空中E 处，测得楼4B楼顶A的俯角是60°，楼CD的楼顶C的俯角是45°，已知两楼间的距离 BD=603 米，楼 AB的高为10米，从楼AB的A处测得楼CD的C处的仰角是30°.(A、B、C、D、E在同一平面内)· 60y 45o 30°. D (1)求楼CD的高： 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)小海发现无人机电量不足，仅能维持40秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在A点的小海 马上控制无人机从E处匀速以5米秒的速度沿EA方向返航，无人机能安全返航吗？ 20.定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值.如图，在△ABC中，AB=AC,顶角 的对顶值记作d,这时d)三。仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列▣ B ①4(60) 的值为_ (2对于0°<A<180°，∠A的对顶值 d(A) 的取值范围是_。 (3)如果sin4=8 7,其中∠4为锐角，试求d(4)的值. 21.如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： B B B ▣ CI V3 2 1A 4 图① 图② 图③ 图④ ①sin24+cos24= sin2+cos2= (2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，则有sin2A+cos2A= (3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,C,利用三角函数的定义和 勾股定理，证明你的猜想 12 ④若0°<∠A<90,且sinA-cosM=25,求sinA+cos4的值. 22.【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图(1)、图(2)是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MWPO, 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN=0.2.MQ=1.6 AC=1 OG 0.45 O AC 米， 米，雨伞撑开的宽度 米，伞柄的部分长为米，点为中点， 0G1AC,点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为0， 雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行， A M M G Fh x G 雨线 雨线 雨线 雨线 K 72° K 人60° 777777777777777777777 ODP DOP (1) (2) 【问题感知】 (1)①在图(1)、图(2)中，点C到地面的距离是米： ②如图(1)所示，0=72°，若小丽将伞拿在胸前(OG与P在同一条直线上)，则小丽身体被雨水淋湿 的部分PK=米.（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 (2)如图(2)所示，8=60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分 PK的长度为y米，求'与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围. 23.【问题背景】如图1，在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,过A作 AD⊥BC于点D,则sinB=D sinc-4 , ,即AD=c-sinB,AD=b-sinC,于是c~sinB=b-sinC b aa b a b c 即sin BsinC,同理有sinCsin,sinAsinB,所以sin 4sin BsinC, B D a 图1 【简单应用】如图2，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,C,若∠A=45°，∠B=30°， a=10 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C a B 图2 (1)根据以上条件结合材料中的结论，求b的值： (2)求△ABC的面积. 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图3，甲船在C处测得岛A在甲船的北偏西30°的方向上，随后以40nmil/h的速度 按北偏东30°的方向航行，一个半小时后到达B处，此时又测得岛A在北偏西75°的方向上，求此时甲船距 岛的距离B (结果精确到 .01V6≈2.449 75 东 D 30 30 图3 24.为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方 法与过程如表： 具体问 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 题 主要工 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 具 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 水平线C 反射镜 截面示 意图 A B/D 777777777777777777777777☑ 1.在水平地面上选定一个激光发射点A,使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上： 2. 操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方： 3. 调整反射镜与水平线的夹角B,使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最 操作步 右端F处： 骤 4. 在线段AD上确定一点B,使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端 G处. (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内) 测量数 AB=18m DE=12m∠CAB=30°∠CBD=60°0=22.5° 据 参考数 sin75°≈0.966cos75°≈0.259tan75°≈3.732V3≈1.732 据 根据以上信息，完成下列任务.（结果精确到0.01m) (1)任务一：计算点C离水平地面的高度； (2)任务二：计算∠GCF= °，∠BCG= (3)任务三：计算土坑的深度. 919 第1章 解直角三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2．在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中， ，，， ． 3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，若该弧田的面积为，“弦”为8，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，先求出，再根据弧田的面积公式可得的值，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：公式中的“矢”等于， ∵弧田的面积为，“弦”为8， ∴，， 解得或（不符合题意，舍去）， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， ∴． 4．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 5．如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明是的直径，由得到，根据圆周角定理和余弦的定义求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是的直径， ∵点，在上， ∴ ∴， ∴． 6．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵头部高度为， ∴他的身高不能低于， ∴h的取值范围为． 7．在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，．再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，且． ∴，． ∴，． ∵、均为锐角． ∴，． ∵三角形内角和为． ∴． 8．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理求出，根据直角三角形的性质和三角形中位线定理得到，则，由平行线的性质得到，则，求出，即可得到． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵为边的中点，为上一点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题目给出的规定公式，逐一化简每个结论，即可判断出正确结论的个数． 【详解】解：① 由规定， 可得，故①正确； ② ， 根据， 可得，故②正确； ③ ， 根据，以及，， 可得： ，故③正确； ④ ， 根据， 代入得： ，故④正确； 综上，四个结论都正确，正确结论个数为． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【答案】 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 13．如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 【答案】 【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴． 14．如图，是的中线，，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据三角函数，勾股定理求出，取的中点为点，连接，根据等腰直角三角形的判定和性质，可得；根据相似三角形的判定和性质，推出，设，分别表示出，，，利用勾股定理求出，得到，解出，根据，即可． 【详解】解：过点作，垂足为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 取的中点为点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 设， ∴，，， 在中，； ∴， 整理可得：， 解得：，； 由图可得，不符合题意， ∴， ∴． 15．眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】米/ 【分析】过点作于点，证明四边形，四边形和四边形是矩形，则求出米，米，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，， ∵， ∴四边形，四边形和四边形是矩形， ∴米，米， ∴ ∴三点共线， 在中， ， ∴ 在中，∵，， ∴, 即，解得（米） ∵米 ∴（米） 即天下第一菹坛的高为米． 16．如图，菱形中，对角线、相交于点O，点M在上，连接交于点N，．已知，．下列说法正确的是________． ①；②；③；④点P在上运动，连接，，则的最小值为． 【答案】①②③ 【分析】利用菱形性质及，可得，进而可得，证明，可得与的关系，再结合勾股定理计算线段长度验证①②；利用三角函数定义验证③；利用轴对称性质求最短路径验证④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，，， ∵， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①∵， ∴， 在中，，故①正确； ②如图，过点作于点， ∵，， ∴ 四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴，故②正确； ③由②可知，， ∴， 在 中，，故③正确； ④如图，作点关于的对称点， ∴垂直平分， 在上取一点，连接，，则， ∴， 当且仅当，，在同一条直线上，即与交于点时，等号成立， ∴此时最小，最小值为线段的长度， ∵， ∴ 在 OD上，， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．（利用网格，只用无刻度的直尺作图，保留适当的作图痕迹） (1)在图①中找一格点C，使为直角三角形，且的正切值为； (2)在图②中找一格点D，使为直角三角形，且的正切值为； (3)在图③中找一格点E，在线段上找一点P，使为锐角三角形，且的正切值为2．（作出一种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（）取格点C，连接，即可； （）取格点D，连接，即可； （）取格点E，F，连接交于点P即可． 【详解】（1）解：如图， 由网格可知：，， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； （3）解：如图， 由（）得， 根据网格可知：， ∴， ∴， ∴点即为所求． 19．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小海用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中E处，测得楼楼顶A的俯角是，楼的楼顶C的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的A处测得楼的C处的仰角是．（A、B、C、D、E在同一平面内）． (1)求楼的高； (2)小海发现无人机电量不足，仅能维持40秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在A点的小海马上控制无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？ 【答案】(1)楼高 (2)无人机能安全返航 【分析】（1）如图所示，过点A作，交于点F，，根据特殊角的三角函数值的计算得到，由此即可求解； （2）根据（1）的计算得到，由平行线的性质，三角形内角和定理得到，则，根据路程的计算判定即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，交于点F， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 答：楼高； （2）解：无人机能安全返航，理由如下， 依题意可知，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 无人机可飞行距离：， ∵， ∴无人机能安全返航． 20．定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值．如图，在中，，顶角的对顶值记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列问题： (1)的值为 ． (2)对于，的对顶值的取值范围是 ． (3)如果，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）顶角为的等腰三角形是等边三角形，直接按的定义求解即可； （2）根据三角形两边之和大于第三边，求出对顶值范围； （3）作高构造直角三角形，利用设边长，用勾股定理算出，代入定义求． 【详解】（1）解：根据题意可知， ， 为等边三角形， ， ． （2）解：在中，， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作，则， ， 设，， ， ， ， ， ． 21．如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 22．【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 23．【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题目总结出的结论，代入数值计算即可； （2）先求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可； （3）利用题目中总结出的正结论代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得． （2）解：过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可得，，，； 由题意得， ∴ ． 答： ． 24．为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） (1)任务一：计算点离水平地面的高度； (2)任务二：计算_____________，______________； (3)任务三：计算土坑的深度． 【答案】(1)点离水平地面的高度约为 (2)； (3)土坑的深度约为 【分析】（1）连接，过点作交于，交于，则，根据三角形的外角的性质得出，根据等角对等边可得，解，即可求得的长； （2）根据光的反射原理得出，得出，，进而根据，即可求解； （3）证明，得出，解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于，交于，则． ，， ． 在中， 即点离水平地面的高度约为． （2）解：如图， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ． （3）解：由题意得四边形是矩形， 则， 在中，， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 即土坑的深度约为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $