第二十章 解直角三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学第二十章解直角三角形单元能力提升卷，涵盖三角函数定义、解直角三角形应用及几何综合，通过真实情境与分层设计适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三角函数定义、坐标几何、直角三角形性质|结合多地期末真题，基础与能力题梯度分布| |填空题|8/24|三角函数计算、方向角、网格问题|融入生活情境（篮球馆位置），考查空间观念| |解答题|10/72|测量应用（铁塔/车库设计）、几何证明、综合探究|现实情境（考古勘探/工程问题），培养模型意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D A B A C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共18分） 9． 11． 11． 12．/ 13．③ 14．80 15．2 16．/0.5 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】本题考查的是特殊三角函数值的运算，熟练掌握、、对应的三角函数值是解题的关键．先代入各特殊角的三角函数值，再按照四则运算顺序计算即可得出结果． 【详解】解： ．·····························5分 18．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，根据正弦、余弦、正切的定义求值即可． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理可得斜边． 的对边是，邻边是，斜边是． 所以， ， ．·····························5分 19．（6分） 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；·····························3分 （2）解：∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴．·····························6分 20．（6分） 【答案】(1)13米 (2)上升了约6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，读懂题意是解题的关键． （1）理解题意，根据在中，米，，代入数值到进行计算，即可作答． （2）理解题意，把数值代入进行计算，得的长，再结合，得出的长，即可作答． 【详解】（1）解：在中，米，， ∴（米）， ∴直吊臂的长约为13米；·····························3分 （2）解：延长交水平线于点C， 则水平线， 在中，米，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴当时，货物M上升了约6米．·····························6分 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． （1）过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； （2）根据（1）可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 是的高， ． ． ． ， 即， 解得．     ， ． 解得．·····························3分 （2）解：由（1）可得，，， ．     ，，   ． ，，   ． ． ． ．·····························6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)能，在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，设，解，再由建立方程求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，由题意，设，解中， ．在等腰中， ，则，解得，那么．设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点，最后对运用勾股定理建立方程及其即可． 【详解】（1）解：如答图1，过点作的垂线，交的延长线于点． 由题意，． 设． 在中， ． 在等腰中，， 则， 解得， ． ；·····························4分 （2）解：能． 如答图2，过点作的垂线，垂足为点． 由题意，设， 在中， ． 在等腰中， ， ， 解得， ． 如答图2，设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点， ， ， ． 在中，由勾股定理列方程， 解得． 答：在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流．·····························8分 23．（8分） 【答案】(1)证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）由条件可证明，可得，再由，即可证明结论； （2）由条件可得，再可得，则，，可得，再由，则在中即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形．·····························3分 （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的长为．·····························8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为；·····························2分 （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为；·····························5分 ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范．·····························8分 25．（10分） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形，灵活运用，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据，代入，求出即可； （2）过点作于，在和中，利用三角函数分别求出，，利用三角形面积公式即可得答案； （3）先求出，，，利用求出，利用三角函数求出的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴．·····························2分 （2）如图②，过点作于， ∵，， ∴，， ∴．·····························6分 （3）如图，由题意得，，，， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴．·····························10分 26．（10分） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；·····························3分 （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴；·····························6分 （3）延长，交于点，过点作于，过点作交延长线于， ∵平行四边形， ∴， 不妨设，，则， 由，得， ∵， ∴， 设， 则由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．·····························10分 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角的余弦值是，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知在中，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）已知公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026九年级下·北京·专题练习）如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线，交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·海南海口·一模）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）春日暖阳，小宇去爬山，在出发点处测得山顶部的仰角为度，在爬山过程中，每一段平路（）与水平线平行，每一段上坡路（）与水平线的夹角都是度，在下山路线有一点（同一水平线上），斜坡的坡度为，且长为．若小宇走平路的速度为米/分，走上坡路的速度为米/分，走下坡路的速度为米/分．小宇从处出发到达坡顶后，欣赏风景停留了分钟，随后一路下坡到山脚另一边的处，在整个行程中，小宇共耗时（   ）（参考值，，） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 8．（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，，点分别在上，且均不与各顶点重合，的面积分别为．给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·重庆·期中）计算：______． 10．（25-26九年级上·北京·期中）在锐角三角形中，，则______． 11．（25-26九年级上·北京·期中）王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离______（结果精确到；参考数据：，，） 12．（25-26九年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 13．（2025·北京门头沟·模拟预测）如图，在中，斜边，若，，则下面四个结论： ①点到的距离为；②点到的距离为； ③点到的距离为；④点到的距离为． 其中正确的是______（填序号）． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为________米． 15．（2026·广东东莞·三模）如图，在矩形中，E是边上的中点， ，连接，相交于G点，若 ， ，则 的值是______． 16．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 __________________ ．    三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·北京昌平·期末）计算：． 18．（5分）（2025九年级上·北京·专题练习）在中，，，，求的正弦值、余弦值和正切值． 19．（6分）（2026·北京门头沟·一模）如图，在四边形中，，点在上，且，对角线平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，且，，求的长． 20．（6分）（25-26九年级上·北京平谷·期末）为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 21．（6分）（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 22．（8分）（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 23．（8分）（2026·北京石景山·二模）在中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 24．（8分）（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 25．（10分）（25-26九年级上·广东梅州·期末）【探究活动】： 在中，的对边分别是，，，称是两个锐角，的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为，即，也就是，其实对于任意的锐角三角形，上述结论仍然成立．如图①，过点作于点，则在中，，所以，所以，在中，，所以，所以，同理可得，因此，即，因为，每项都除以，得，即． 任务： 【初步应用】： （1）如图②，在锐角三角形中，，则的长是_____； （2）求问题（1）中的面积． 【综合应用】： （3）如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为，求楼的高度．（参考数据： 26．（10分）（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 2．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角的余弦值是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确添加垂线构造直角三角形． 过点P作轴于点A，先由余弦定义求出，再由勾股定理求解，最后利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示：过点P作轴于点A， ∵P是第一象限内的点，其坐标是， ∴， ∵与x轴正半轴的夹角的余弦值是， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知在中，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．先求出，则可得，再根据正切、正弦、余弦的定义逐项判断即可得． 【详解】解：∵在中，是斜边边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，即，选项A错误； 在中，，即，选项B错误； 在中，，即，选项C错误； 在中，，即，选项D正确； 故选：D． 4．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）已知公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将分解为和之和，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 5．（2026九年级下·北京·专题练习）如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线，交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由作图方法可得，垂直平分，则；由矩形的性质和勾股定理得到，则可推出，进而得到，证明，得到，再由直角三角形两锐角互余可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可得，， ∴垂直平分， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 6．（2026·海南海口·一模）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折的性质，以及外角定理证得，进行角度转换即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴， 由翻折变换的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）春日暖阳，小宇去爬山，在出发点处测得山顶部的仰角为度，在爬山过程中，每一段平路（）与水平线平行，每一段上坡路（）与水平线的夹角都是度，在下山路线有一点（同一水平线上），斜坡的坡度为，且长为．若小宇走平路的速度为米/分，走上坡路的速度为米/分，走下坡路的速度为米/分．小宇从处出发到达坡顶后，欣赏风景停留了分钟，随后一路下坡到山脚另一边的处，在整个行程中，小宇共耗时（   ）（参考值，，） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】先利用斜坡的坡度和勾股定理，求出到水平线的垂直高度；再结合处测得的仰角，通过三角函数算出到的水平距离；接着分析上坡路（与水平线夹角）的垂直高度和水平距离关系，得到上坡总路程；同时计算平路总路程：到的水平距离减去上坡水平距离；最后分别用“路程速度”算出平路、上坡、下坡的时间，加上停留的分钟，求和得到整个行程的总耗时． 【详解】解：作于点，则， ∵斜坡的坡度为，米， 设， 由勾股定理得： ， ∴米，米， 由题意，， 在中，， ∴米， ∵每一段上坡路（）与水平线夹角为， ∴上坡路总长，且， ∴米，米， 平路总长米， 小宇走平路速度为米/分，走上坡路速度为米/分，走下坡路速度为米/分，停留分钟， 平路时间：分钟， 上坡路时间：分钟， 下坡路时间：分钟， 停留时间：分钟， 总耗时：分钟． 8．（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，，点分别在上，且均不与各顶点重合，的面积分别为．给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性较强，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 可得，则， 再由三角形的外角性质得到，故②正确；证明，则，即，故③正确；过点作于点，证明，则，，可得为等腰直角三角形，故 ，设，，由，得到，则，故②正确． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴同理可得：， ∴， ∴，即，故③正确； 过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·重庆·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值，，并计算平方根，然后进行有理数运算． 【详解】原式 ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·北京·期中）在锐角三角形中，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，三角形内角和性质，绝对值的非负性．利用非负数的性质，由已知得平方项和绝对值项分别为零，解出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·北京·期中）王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离______（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为 由题意，得，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】取格点，连接，结合网格可得，根据勾股定理求出的长，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，在正方形网格中，取格点，连接， 由图可知，， ∴， ∴在中，． 13．（2025·北京门头沟·模拟预测）如图，在中，斜边，若，，则下面四个结论： ①点到的距离为；②点到的距离为； ③点到的距离为；④点到的距离为． 其中正确的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】过点作于，根据平行线的性质得出，进而得出，解直角三角形得出，，可判断①②错误，解直角三角形得出，即可判断③正确，④错误；综上即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵在中，斜边， ∴，， ∴，， ∴点到的距离为，故①②错误， ∵，， ∴， ∴点到的距离为，故③正确，④错误， 综上所述：正确的是③． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为________米． 【答案】80 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，由三角形内角和定理可得，则解直角三角形可得的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， 故答案为：80． 15．（2026·广东东莞·三模）如图，在矩形中，E是边上的中点， ，连接，相交于G点，若 ， ，则 的值是______． 【答案】2 【分析】本题关键是作出正确的辅助线：取中点H，连接，过E作 ，垂足为I，根据已知条件求出 的长，根据中位线求出的长，并判断 是等腰直角三角形，据此求出 ，再由 可求出，最后根据 求出 ． 【详解】解：如图，取中点H，连接，过E作 ，垂足为I， 由矩形性质可知 ， ，则， 是边上的中点， ， ． 是等腰直角三角形， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． 16．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 __________________ ．    【答案】/0.5 【分析】在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H，利用等边三角形性质证明出，得出当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动，再证明，得出，利用解直角三角形求出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示，在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H，    又是等边三角形， ， ， ， ， 当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动， 当时，最短，此时， ， ， ， 又中，， ， ， ，即， 线段长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，掌握相关性质定理为解题关键． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·北京昌平·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊三角函数值的运算，熟练掌握、、对应的三角函数值是解题的关键．先代入各特殊角的三角函数值，再按照四则运算顺序计算即可得出结果． 【详解】解： ．·····························5分 18．（5分）（2025九年级上·北京·专题练习）在中，，，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】 【分析】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，根据正弦、余弦、正切的定义求值即可． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理可得斜边． 的对边是，邻边是，斜边是． 所以， ， ．·····························5分 19．（6分）（2026·北京门头沟·一模）如图，在四边形中，，点在上，且，对角线平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，且，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；·····························3分 （2）解：∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴．·····························6分 20．（6分）（25-26九年级上·北京平谷·期末）为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】(1)13米 (2)上升了约6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，读懂题意是解题的关键． （1）理解题意，根据在中，米，，代入数值到进行计算，即可作答． （2）理解题意，把数值代入进行计算，得的长，再结合，得出的长，即可作答． 【详解】（1）解：在中，米，， ∴（米）， ∴直吊臂的长约为13米；·····························3分 （2）解：延长交水平线于点C， 则水平线， 在中，米，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴当时，货物M上升了约6米．·····························6分 21．（6分）（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． （1）过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； （2）根据（1）可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 是的高， ． ． ． ， 即， 解得．     ， ． 解得．·····························3分 （2）解：由（1）可得，，， ．     ，，   ． ，，   ． ． ． ．·····························6分 22．（8分）（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，设，解，再由建立方程求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，由题意，设，解中， ．在等腰中， ，则，解得，那么．设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点，最后对运用勾股定理建立方程及其即可． 【详解】（1）解：如答图1，过点作的垂线，交的延长线于点． 由题意，． 设． 在中， ． 在等腰中，， 则， 解得， ． ；·····························4分 （2）解：能． 如答图2，过点作的垂线，垂足为点． 由题意，设， 在中， ． 在等腰中， ， ， 解得， ． 如答图2，设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点， ， ， ． 在中，由勾股定理列方程， 解得． 答：在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流．·····························8分 23．（8分）（2026·北京石景山·二模）在中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）由条件可证明，可得，再由，即可证明结论； （2）由条件可得，再可得，则，，可得，再由，则在中即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形．·····························3分 （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的长为．·····························8分 24．（8分）（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为；·····························2分 （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为；·····························5分 ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范．·····························8分 25．（10分）（25-26九年级上·广东梅州·期末）【探究活动】： 在中，的对边分别是，，，称是两个锐角，的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为，即，也就是，其实对于任意的锐角三角形，上述结论仍然成立．如图①，过点作于点，则在中，，所以，所以，在中，，所以，所以，同理可得，因此，即，因为，每项都除以，得，即． 任务： 【初步应用】： （1）如图②，在锐角三角形中，，则的长是_____； （2）求问题（1）中的面积． 【综合应用】： （3）如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为，求楼的高度．（参考数据： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形，灵活运用，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据，代入，求出即可； （2）过点作于，在和中，利用三角函数分别求出，，利用三角形面积公式即可得答案； （3）先求出，，，利用求出，利用三角函数求出的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴．·····························2分 （2）如图②，过点作于， ∵，， ∴，， ∴．·····························6分 （3）如图，由题意得，，，， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴．·····························10分 26．（10分）（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；·····························3分 （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴；·····························6分 （3）延长，交于点，过点作于，过点作交延长线于， ∵平行四边形， ∴， 不妨设，，则， 由，得， ∵， ∴， 设， 则由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．·····························10分 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角的余弦值是，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知在中，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）已知公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026九年级下·北京·专题练习）如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线，交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·海南海口·一模）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）春日暖阳，小宇去爬山，在出发点处测得山顶部的仰角为度，在爬山过程中，每一段平路（）与水平线平行，每一段上坡路（）与水平线的夹角都是度，在下山路线有一点（同一水平线上），斜坡的坡度为，且长为．若小宇走平路的速度为米/分，走上坡路的速度为米/分，走下坡路的速度为米/分．小宇从处出发到达坡顶后，欣赏风景停留了分钟，随后一路下坡到山脚另一边的处，在整个行程中，小宇共耗时（   ）（参考值，，） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 8．（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，，点分别在上，且均不与各顶点重合，的面积分别为．给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·重庆·期中）计算：______． 10．（25-26九年级上·北京·期中）在锐角三角形中，，则______． 11．（25-26九年级上·北京·期中）王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离______（结果精确到；参考数据：，，） 12．（25-26九年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 13．（2025·北京门头沟·模拟预测）如图，在中，斜边，若，，则下面四个结论： ①点到的距离为；②点到的距离为； ③点到的距离为；④点到的距离为． 其中正确的是______（填序号）． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为________米． 15．（2026·广东东莞·三模）如图，在矩形中，E是边上的中点， ，连接，相交于G点，若 ， ，则 的值是______． 16．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 __________________ ．    三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·北京昌平·期末）计算：． 18．（5分）（2025九年级上·北京·专题练习）在中，，，，求的正弦值、余弦值和正切值． 19．（6分）（2026·北京门头沟·一模）如图，在四边形中，，点在上，且，对角线平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，且，，求的长． 20．（6分）（25-26九年级上·北京平谷·期末）为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 21．（6分）（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 22．（8分）（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 23．（8分）（2026·北京石景山·二模）在中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 24．（8分）（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 25．（10分）（25-26九年级上·广东梅州·期末）【探究活动】： 在中，的对边分别是，，，称是两个锐角，的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为，即，也就是，其实对于任意的锐角三角形，上述结论仍然成立．如图①，过点作于点，则在中，，所以，所以，在中，，所以，所以，同理可得，因此，即，因为，每项都除以，得，即． 任务： 【初步应用】： （1）如图②，在锐角三角形中，，则的长是_____； （2）求问题（1）中的面积． 【综合应用】： （3）如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为，求楼的高度．（参考数据： 26．（10分）（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $