第1章 解直角三角形（单元自测）数学新教材浙教版九年级下册

第1章 解直角三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 2．如图，中，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．在中，若，，，，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点A、B是以为直径的上的两个点，连接，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则的正弦值是（ ） A． B． C． D． 7．已知在中，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，垂足为，，则（ ） A． B． C． D． 9．如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（ ） A．3 B．2 C． D．1 10．如图，的圆心与正三角形的中心重合，已知的半径为3，正三角形的边长为，则圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 ________ （填“大”或“小”）． 12．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 13．的值等于________． 14．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 15．某厂家新开发的一种电动汽车如图所示，它的大灯射出的光线，与水平地面的夹角分别为和（，，在同一平面内），大灯到地面的距离为，则该车大灯照亮地面的宽度约是________．（不考虑其他因素，结果保留一位小数，参考数据：，，） 16．在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， （1）根据测量数据，求步道的长度； （2）为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 18．（8分）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 19．（8分）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    （1）求的长； （2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 20．（8分）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 21．（8分）如图是一种淋浴喷头，图是其截面图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角，手柄与墙的夹角．已知长为．淋浴时，人站在处，．当人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，已知小明的身高是．某次洗澡时，他将淋浴喷头调整至，此时水流正好喷在小明的“舒适喷淋点”处，即，求淋浴喷头手柄到地面的距离．（结果精确到，参考数据：） 22．（8分）如图1是某超市从一楼到二楼的一自动扶梯，图2是其侧面示意图．已知自动扶梯的坡度为，的长是米，是二楼楼顶，，点是上处在自动扶梯顶端正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，求二楼的层高．（精确到米） （参考数据：，，） 23．（8分）如图是一块四边形的劳动实践基地ABCD，已知点位于点东北方向上，点位于点南偏西方向上，点位于点正东方向且在点正南方向上，经测量，求该劳动实践基地的边AD的长．（A，B，C，D在同一个平面中，结果精确到1m．参考数据：，） 24．（8分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，米，． （1） °， °； （2）求支架的长（精确到0.01）； （3）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． （参考数据：，，） 25．（8分）【项目式学习】 项目主题：设计落地窗的遮阳篷 项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬 的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上 （1）若，，则支撑杆 m． （2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 （3）如图3，为了美观及实用性，小明在（2）的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴． ①求该二次函数的表达式． ②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离) 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 解直角三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．在中，各边都扩大4倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正弦函数值也不会改变． 【解析】锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选D． 2．如图，中，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【解析】∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意．故选A． 3．在中，若，，，，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义，即可求解． 【解析】如图， 在中，，斜边，，， ，，， 则只有选项D符合题意．故选D． 4．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【解析】．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选D． 5．如图，点A、B是以为直径的上的两个点，连接，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，连接，过点B作于点E，解直角三角形得出，，求出，根据，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，，最后求出结果即可，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 【解析】连接，过点B作于点E，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 6．在中，，，，则的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦值的计算，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角正弦的定义计算即可得到结果． 【解析】∵ ，，， ∴ 由勾股定理可得， ∵ 在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，的对边为， ∴ ．故选C． 7．已知在中，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意解得、、的度数，进而根据余弦定理判断、选项，根据三角形的边和角的关系判断选项，根据正弦定理和三角函数的三倍角公式解得，进而判断选项． 【解析】由题意可得，， 设，则，， ，解得， ，， ， 由余弦定理可得，， 即， ， 选项错误，选项正确； 大角对大边，可知， 选项错误； ， ， 由三角函数的三倍角公式可得，， 由正弦定理可得，， 当时，， ， 解得， ，与矛盾，故选项错误． 8．在中，，，垂足为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可证明得到，则，据此可得，则． 【解析】∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴．故选A． 9．如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（ ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了30度角的性质，三角函数． 先求出，判断出运动时间为时，P在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【解析】当点P在上运动时，作交于D，作交于E， 当时，， ∵， ∴， ∵当，时， ∴， ∴， ∵ ∴点先到达点， 由图像可知，， ， ， 当时，，， 此时， 如图，作交于F， ∵ ∴， ∴的值是， 故选B． 10．如图，的圆心与正三角形的中心重合，已知的半径为3，正三角形的边长为，则圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正三角形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，如图，由三角形三边关系分析可得当、、三点共线时，圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解． 【解析】如图，点为上一点，点为正三角形上一点，连接， ，， 由三角形三边关系可得，， 是圆的半径，为定值， 当、、三点共线时，圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离有最小值，最小值为， 由题意可得，， 过点作 点为正三角形的中心， ， 为直角三角形， ， 圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为． 故选A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 ________ （填“大”或“小”）． 【答案】小 【分析】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据杠杆原理及的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【解析】∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时的值越来越大，β的度数越来越大，此时的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为小． 12．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【解析】如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为． 13．的值等于________． 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，然后进行加法，即可作答． 【解析】 ， 故答案为2 14．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【解析】由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为或或． 15．某厂家新开发的一种电动汽车如图所示，它的大灯射出的光线，与水平地面的夹角分别为和（，，在同一平面内），大灯到地面的距离为，则该车大灯照亮地面的宽度约是________．（不考虑其他因素，结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，通过在直角三角形中，利用正切函数求出相关线段的长度，即可求解． 【解析】如图：作于点，则有和； 由题可知，，，， ， ， ， ， ， ， ．故答案为$2.6$． 16．在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为________． 【答案】或 【分析】当点E在线段上时，利用平行四边形的判定和性质，结合特殊角三角函数计算即可；当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，利用三角函数解答即可． 【解析】当点E在线段上时， ∵平行四边形中，F是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时， 过点F作于点M， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数的计算，分类思想，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， （1）根据测量数据，求步道的长度； （2）为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】（1）210米 （2）865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【解析】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 18．（8分）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 【答案】隧道的长度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点P作于F，设长为x．在和以及，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可． 【解析】过点P作于F，设长为x． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， 在中，由， ∴， ∴， ∴ 即隧道的长度． 19．（8分）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    （1）求的长； （2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】（1）km （2）km 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键． （1）用正弦三角函数求解即可． （2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，， ， ． （2）， ． 20．（8分）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【解析】（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为． 21．（8分）如图是一种淋浴喷头，图是其截面图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角，手柄与墙的夹角．已知长为．淋浴时，人站在处，．当人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，已知小明的身高是．某次洗澡时，他将淋浴喷头调整至，此时水流正好喷在小明的“舒适喷淋点”处，即，求淋浴喷头手柄到地面的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】淋浴喷头手柄到地面的距离约为 【分析】过点作于点，延长交的延长线于点，利用解直角三角形的方法在和中求，则可求. 【解析】如图，过点作于点，延长交的延长线于点，则， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 小明身高是，此时水流正好喷在小明的“舒适喷淋点”处，， ， ， ， 答：淋浴喷头手柄到地面的距离约为． 22．（8分）如图1是某超市从一楼到二楼的一自动扶梯，图2是其侧面示意图．已知自动扶梯的坡度为，的长是米，是二楼楼顶，，点是上处在自动扶梯顶端正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，求二楼的层高．（精确到米） （参考数据：，，） 【答案】米 【分析】先由，可得米，米，求得，进而可求得答案． 【解析】如图，延长交于点． ∵， ∴． ∴， 设米，则米． ∵，米， ∴． ∴， ∴米，米． ∵， ∴米， ∴米． 答：二楼的层高约为米． 23．（8分）如图是一块四边形的劳动实践基地ABCD，已知点位于点东北方向上，点位于点南偏西方向上，点位于点正东方向且在点正南方向上，经测量，求该劳动实践基地的边AD的长．（A，B，C，D在同一个平面中，结果精确到1m．参考数据：，） 【答案】该劳动实践基地的边的长约为68m 【分析】过点作于点,作交的延长线于点,先在中求出、的长，再利用矩形性质得到、,最后在Rt中求出的长，由求解即可． 【解析】如图，过点作于点于点， 在Rt中，， ， ， ， 在Rt中，米， ． 24．（8分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，米，． （1） °， °； （2）求支架的长（精确到0.01）； （3）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． （参考数据：，，） 【答案】（1）58，148 （2）支架的长为0.65米 （3） 该运动员能挂上篮网．理由： ∵在中，， ∴， ∴． ∴该运动员能挂上篮网． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，锐角三角函数的定义，是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据三角形外角性质可得； （2）求出，根据即得； （3）求出， 根据，求出，与最高离地3米比较即得． 【解析】（1）如图，延长，交于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为58，148； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 25．（8分）【项目式学习】 项目主题：设计落地窗的遮阳篷 项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬 的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上 （1）若，，则支撑杆 m． （2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 （3）如图3，为了美观及实用性，小明在（2）的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴． ①求该二次函数的表达式． ②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离) 【答案】（1） (2), （3） 【分析】（1）利用勾股定理求即可； （2）由题意得到 由题意得：，，，，，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，得到方程，则有则的长度可求． （3）①由题意，为等腰直角三角形，从而有，设二次函数为：，代入，求出函数关系式即可； ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，设，则点 ，代入求出x即可． 【解析】（1）在中，， ， 故答案为； （2）由题意得：，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴设 在中，， ∴， ∴， 解得． ∴，． （3）①由F为抛物线顶点，可知， ∵， ∴为等腰直角三角形 由二次函数对称性可知， 设二次函数为：，代入得 （1），解得， ∴y关于x的关系式为：， ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E， 过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=， 设，则点 ， 代入得， 化简得, 解得，，(答案不合理，舍去） ∴D′E=， ∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $