考点05 数据的集中趋势4题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册

考点05 数据的集中趋势 考点一：平均数 1. 算术平均数 一般地，对于 n 个数 x₁, x₂, …, xₙ，我们把 叫做这 n 个数的算术平均数。 2. 加权平均数 若 n 个数中，x₁ 出现 f₁ 次，x₂ 出现 f₂ 次，…，xₖ 出现 fₖ 次（其中 f₁ + f₂ + … + fₖ = n），则这 n 个数的平均数为： 其中 f₁, f₂, …, fₖ分别表示各数据的个数（权），这个平均数叫做加权平均数。 权的意义：权越大，该数据对平均数的影响越大。 考点二：中位数 将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数； 如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 【求中位数的步骤】 1. 第一步：将数据按从小到大的顺序排列。 2. 第二步：判断数据个数 n 是奇数还是偶数。 3. 第三步：若 n 为奇数，中位数是第 个数；若 n 为偶数，中位数是第 个数和第 +1 个数的平均数。 考点三：众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 众数一定是数据中的某个值，不是出现的次数。 一组数据可能有多个众数（如果有多个数据出现次数相同且都是最多）。 一组数据也可能没有众数（如果所有数据出现次数都相同）。 考点四：平均数、中位数、众数的比较 统计量 计算方法 优点 缺点 适用场景 平均数 所有数据之和÷数据个数 利用了所有数据信息，反映最充分 易受极端值影响 数据分布较均匀， 无极端值时 中位数 数据排序后中间位置 计算简单，不受极端值影响 不能充分利用 所有数据信息 数据中有极端值时 众数 出现次数最多的数据 关注出现最频繁的值，不受极端值影响 可能不唯一， 可靠性较差 关心最普遍、 最常见的情况 【选择原则】 当数据中没有极端值时，一般用平均数作为代表。 当数据中有极端值时，用中位数或众数更合适。 当关心"最普遍""最受欢迎"等问题时，用众数。 题型一：算术平均数的计算 【题型特点】给出一组数据，直接求其平均数。 【突破技巧】 牢记公式：平均数 = 所有数据之和 ÷ 数据个数。 数据较多时，可以先找基准数（如接近10、100的数），用"基准数+浮动"法简化计算。 注意：平均数的单位与原数据单位一致。 1．一组数据的平均数是4，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵的平均数是4， ∴， 解得：． 故选：A 2．某班七个学习小组的人数分别是4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：由平均数的计算公式可得， 解得， 故选：D． 3．已知一组正数的平均数为5，则的平均数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵一组正数的平均数为5， ∴， ∴， 故选：B． 4．已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解：∵，，，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴，，，，的平均数是， 故选：C． 题型二：加权平均数的计算 【题型特点】给出不同数据及其权数（次数、比例、百分比等），求加权平均数。 【突破技巧】 找准"权"：权可以是次数、人数、比例、百分比等。 公式：加权平均数 = (各数据×对应权)之和 ÷ 权数之和。 当权以百分比给出时，权数之和为1（或100%），直接用各数据×百分比相加即可。 常见场景：成绩按比例计算（平时30%+期末70%）、分组数据求平均。 5．（2025·上海普陀·二模）某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【详解】解：由题意得：这个班的全体同学的平均分． 故选：D． 6．某校竞选学生会干部，分学生一日常规知识笔试和演讲比赛两个环节，总分均为100分，并按比例计算平均成绩，小明笔试成绩95分，演讲成绩90分，最终平均成绩为______． 【答案】92分 【详解】解：由题意可知小明的最终平均成绩为（分）； 故答案为92分． 7．如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则_____． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【答案】 【详解】解：根据题意和图表可得， 解得： 故答案为：． 8．单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． (1)已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 【答案】(1)， (2)89.6 【详解】（1）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，根据题意得 ， 解得． 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，． （2）解：（分）． 答：2号选手的综合成绩是89.6． 题型三：中位数与众数的求解 【题型特点】给出一组数据（或表格），求中位数和众数。 【突破技巧】 求中位数前，必须先将数据按顺序排列（从小到大或从大到小），这是最容易漏掉的步骤！ 数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不一定是原数据中的某个数。 众数是出现次数最多的数据值，不是出现的次数，注意区分。 注意：一组数据可能有1个众数、多个众数，也可能没有众数。 9．（2025·上海·模拟预测）数据33，34，36，39，38，37，33的中位数和众数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：将33，34，36，39，38，37，33按从小到大的顺序排列如下：33，33，34，36，37，38，39， 最中间的数是36，出现次数最多的数是33， ∴数据33，34，36，39，38，37，33的中位数是36，众数是33． 故选：B． 10．（2026·上海崇明·二模）某校为了解学生体育运动时间的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 体育运动时间（小时） 1.5 1.7 1.8 2 2.2 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（    ） A．众数和平均数相等 B．中位数和平均数相等 C．中位数和众数相等 D．中位数、众数和平均数都相等 【答案】C 【详解】解：∵运动时间为1.8小时的人数最多，为20人， ∴众数为； ∵总共有个数据，中位数是从小到大排列后第、个数据的平均数， 累计人数得前两组共个数据，第到个数据均为， ∴第、个数据都是，中位数为； ， 综上，众数，中位数，平均数，中位数和众数相等 ． 11．一组数据：、、、、、的众数是，在这组数据的中位数是___________； 【答案】 【详解】解：∵、、、、、的众数是， ∴， 即、、、、、的中位数为， 故答案为：． 12．（2026·上海虹口·二模）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 【答案】8 【详解】解：一共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数． 分享4本的累计人数为， 分享6本的累计人数为， 分享8本的累计人数为， 因此第10个和第11个数据都为， 则中位数为． 13．（2026·上海静安·二模）为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为______次． 【答案】8 【详解】解：由条形统计图可知：本次调查抽取的总人数为（人）， ∴完成“引体向上”的次数为7的有（人）， 根据中位数的定义可知：本次调查样本中中位数为第20和第21个数据之和的平均数，由可知中位数落在8次． 14．（2025·上海静安·二模）数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 【答案】80 【详解】解：由于该班有35人参加考试，35是奇数． 将35个学生的成绩按从小到大排序后，中位数是第个数． 把75分写成55分，两个数都比中位数小，那么第18个数不会改变． 因为原来的中位数是80分，即原来排序后第18个数是80分，所以修改成绩后，第18个数依然是80分，即实际这次考试成绩的中位数还是80分． 答案为：80． 题型四：统计量的选择与综合应用 【题型特点】给出实际问题情境，问用哪个统计量来描述集中趋势更合适，并说明理由。 【突破技巧】 看有没有极端值：有极端值→选中位数；无极端值→选平均数。 看问题关注点：关心"最普遍""最受欢迎"→选众数。 看数据特点：所有数据出现次数差不多→用平均数。 答题模板：因为数据中有极端值（如……），平均数受极端值影响较大，所以用中位数来描述更合适。 15．某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如图1： (1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？ (2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、丙三人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生． 【详解】（1）解：“品行规范”的平均数为：（分）， ∴甲、乙两位同学的品行规范得分不低于平均分； “学习规范”的平均分为：（分）， ∴乙、丙两位同学的学习规范得分不低于平均分； ∴两项均满足的为乙同学， ∴应推选乙． （2）解：甲投票分数为：（分）， 乙投票分数为：（分）， 丙投票分数为：（分）． ∵“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩， ∴（分）， （分）， （分）， ∴甲将会被推选为三好学生． 16．中国共产党建党100周年之际，某校开展了全校学生学习党史活动，并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级学生的竞赛成绩（单位：分） 6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10，10，10，10． 七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 8 a 众数 8 9 优秀率 b 55% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ； (2)估计该校七年级200名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数； (3)根据以上数据分析，评价两个年级学生学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【答案】(1)9， (2)该校七年级200名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数约为160人 (3)八年级的学生学习党史的竞赛成绩更优异 【详解】（1）解：∵八年级学生竞赛成绩中9分以下的占：， 故从小到大排列第10、11个数均为9， ∴， ； 故答案为：9；； （2）解：先数出七年级抽取的20名学生中竞赛成绩达到8分及以上的有16人， 那么这部分学生在样本中的占比为， 用这个比例去估计七年级200名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数，即（人）； （3）解：根据表中可得，七八年级的平均数一样，但八年级的中位数、众数，优秀均高于七年级，因此八年级的学生学习党史的竞赛成绩更优异． 17．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图． 平均数/分 中位数/分 众数/分 一班 ___________ ___________ 90 二班 ___________ 80 ___________ (1)把一班竞赛成绩统计图补充完整； (2)补全上面表格； (3)请从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩，并对这次竞赛成绩的结果进行分析． 【答案】(1) 补全条形图如图： (2)补全表格如图： 平均数/分 中位数/分 众数/分 一班 87.6 90 90 二班 87.6 80 100 (3)从平均数方面看，两班的成绩相同，从中位数方面看，一班的中位数为90分，二班的中位数为80分，所以一班比二班成绩好． 【详解】（1）解：等级的人数为：， （2）解：一班的平均数为：， 第13个数据为，故中位数为：90； 二班的平均数为：， 等级所占比例最大，人数最多，故众数为：100， （3）解：从平均数方面看，两班的成绩相同，从中位数方面看，一班的中位数为90分，二班的中位数为80分，所以一班比二班成绩好． 18．（2025·山西·一模）健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 【详解】（1）解：套餐3分占比， 套餐4分人数（人）． 补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分如下： (2)不唯一，如： ①套餐价格满意度中位数为3分，小于套餐价格满意度中位数4分，所以从中位数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ②套餐价格满意度众数为3分，小于套餐价格满意度众数4分，所以从众数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ③套餐价格满意度平均数为分，等于套餐价格满意度平均数分，所以从平均数角度看，，套餐价格满意度一样，所以小颖的观点是片面的； ④给套餐打5分，4分，3分的人共有人，给套餐打5分，4分，3分的人共有人，，即套餐价格满意度达到“基本满意”及以上的人数多于套餐，所以套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的． （3）解：套餐得分分， 套餐得分（分）， 因为， 所以，套餐综评得分较低． 建议：答案不唯一，例如：套餐要更加关注营养搭配． 19.2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【详解】（1）解：七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级出现次数最多的数据为：， ∴； 故答案为：； （2）八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）解：（人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 20．为了解医保创新工作人员的业务掌握情况，某单位举办了医保创新知识竞赛．现从甲、乙两个部门的工作人员中各随机抽取20名员工的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有员工的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；    B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 甲部门20名员工的竞赛成绩为： 61，63，68，78，81，82，83，85，85，85， 85，88，89，91，91，91，92，93，94，95． 乙部门20名员工的竞赛成绩在组的成绩是：82，82，84，84，84． 甲、乙两部门所抽员工的竞赛成绩统计表 部门 甲部门 乙部门 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 84 乙部门所抽员工的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该单位甲、乙两个部门中哪个部门员工的医保创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)甲部门有400名员工、乙部门有500名员工参加了此次医保创新知识竞赛，估计该单位甲、乙两部门参加此次医保创新知识竞赛成绩优秀的总人数是多少？ 【详解】（1）解：根据甲部门的竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 乙部门的竞赛成绩中A组：（人）， B组：（人）， C组：5人，所占百分比为， D组：（人）， 所占百分比为，则， ∴乙部门的中位数为第个员工竞赛成绩的平均数， 即C组第个员工竞赛成绩的平均数， 故答案为：85，83，35； （2）解：甲部门的竞赛成绩较好，理由： 甲、乙部门的平均分均为84分，甲部门的中位数高于乙部门的中位数，整体上看甲部门的竞赛成绩较好； （3）解：（人）， 答：甲、乙部门参加此次医保创新知识竞赛成绩优秀的总人数是295人． 一、单选题 1．（2025·上海闵行·模拟预测）数据3、6、2、0、5、2的平均数和众数分别是（   ） A．3和1 B．3和2 C．3.6和1 D．3.6和2 【答案】B 【详解】解：平均数：， 这些数字中出现次数最多的是2，故众数为2， 故选：B． 2．（2025·上海·模拟预测）如图是某校体育组人的某科成绩，下列说法中正确的是（    ） A．中位数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是 【答案】D 【详解】解：由统计图可知，分出现次数最多，故众数是． 中位数应是第个数据和第个数据的平均数，即． 故选：D． 3．（2026·上海徐汇·二模）某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是15 B．众数是15 C．中位数是75 D．众数是85 【答案】C 【详解】解：由图可知： 将50人的成绩从小到大排序，第25、26位均为75分，因此中位数是， 故A选项说法错误，不合题意，C选项说法正确，符合题意； 75，85均出现了15次，因此众数是75，85， 故B，D选项说法错误，不合题意． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）有7个按从小到大排列的数，平均数是38，前4个平均数是33，后4个是42，那么这组数的中位数是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【详解】解：设7个数之和为，则， 前4个数之和为， 后4个数之和为， ∵， ∴， 即， ∴ ， 故中位数为34． 故答案为：B． 5．（2026·上海·中考真题）已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 【答案】C 【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟， ∴7天总运动时间为分钟， ∵周一到周五的总运动时间为分钟， ∴周六和周日的总运动时间为分钟， 对比各选项，只有C选项中，符合题意． 6．（2026·上海·三模）有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 数据均出现2次，中位数为，不存在中位数与众数相等的情况，不符合要求； 因此的值可以是2． 二、填空题 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【答案】， 【详解】解：根据题意，得 解得， 故答案为：， ． 8．（2026·上海松江·模拟预测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 【答案】 【详解】解：设原个数据分别为，原数据的平均数为，根据平均数的定义得 新数据为每个原数据减去原平均数，即，，，，设新数据的平均数为， 则 ． 三、解答题 9．（2025·上海普陀·三模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)求出C组数据的中位数和众数； (2)补全条形统计图； (3)若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是多少？ 【答案】(1)9.3分，9.3分 (2) 补图如下： ； (3)估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是560人． 【详解】（1）解：∵C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 最中间的数是9.3，9.3； 出现次数最多的数是9.3， ∴C组中位数：分； 众数：9.3分； （2）解∶总人数为人， A组的人数为人， D组人数为人， 补图略； （3）解：， 即估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是560人． 10．（2026·上海金山·二模）班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题： (1)班共有多少名学生参加知识竞赛？ (2)分布在分这一组的频率是多少？ (3)成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？ (4)求成绩不低于分的学生占全部学生人数的百分率． 【答案】(1)名 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴班共有名学生参加知识竞赛； （2）解：由频数分布直方图可得，分布在分这一组的频数为， ∴分布在分这一组的频率是； （3）将个学生的成绩由低到高排列，第个的成绩是中位数，由各小组的人数可知，第个成绩落在小组里， ∴成绩的中位数落在范围内； （4）解： ， 答：成绩不低于分的学生人数占全班参赛学生人数的． 11．（2026·上海·三模）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ (3)研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（     ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 【答案】(1) (2) (3)①C；② 【详解】（1）解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为． （2）解：∵音阶为的频率是，， ∴， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是， ∵杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加， ∴水位高度是时，玻璃杯中的水量为． （3）解：①由五线谱可知，对应的经典儿歌是（C）小星星． ②把个音阶从低到高排列为：、、、、、、、、、、、、、， ∴第个和第个数据分别为和， ∵音阶为的频率是，， ∴发出的音阶为时，， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， 由（2）可知，发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， ∴这个玻璃杯装水量的中位数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 数据的集中趋势 考点一：平均数 1. 算术平均数 一般地，对于 n 个数 x₁, x₂, …, xₙ，我们把 叫做这 n 个数的算术平均数。 2. 加权平均数 若 n 个数中，x₁ 出现 f₁ 次，x₂ 出现 f₂ 次，…，xₖ 出现 fₖ 次（其中 f₁ + f₂ + … + fₖ = n），则这 n 个数的平均数为： 其中 f₁, f₂, …, fₖ分别表示各数据的个数（权），这个平均数叫做加权平均数。 权的意义：权越大，该数据对平均数的影响越大。 考点二：中位数 将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数； 如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 【求中位数的步骤】 1. 第一步：将数据按从小到大的顺序排列。 2. 第二步：判断数据个数 n 是奇数还是偶数。 3. 第三步：若 n 为奇数，中位数是第 个数；若 n 为偶数，中位数是第 个数和第 +1 个数的平均数。 考点三：众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 众数一定是数据中的某个值，不是出现的次数。 一组数据可能有多个众数（如果有多个数据出现次数相同且都是最多）。 一组数据也可能没有众数（如果所有数据出现次数都相同）。 考点四：平均数、中位数、众数的比较 统计量 计算方法 优点 缺点 适用场景 平均数 所有数据之和÷数据个数 利用了所有数据信息，反映最充分 易受极端值影响 数据分布较均匀， 无极端值时 中位数 数据排序后中间位置 计算简单，不受极端值影响 不能充分利用 所有数据信息 数据中有极端值时 众数 出现次数最多的数据 关注出现最频繁的值，不受极端值影响 可能不唯一， 可靠性较差 关心最普遍、 最常见的情况 【选择原则】 当数据中没有极端值时，一般用平均数作为代表。 当数据中有极端值时，用中位数或众数更合适。 当关心"最普遍""最受欢迎"等问题时，用众数。 题型一：算术平均数的计算 【题型特点】给出一组数据，直接求其平均数。 【突破技巧】 牢记公式：平均数 = 所有数据之和 ÷ 数据个数。 数据较多时，可以先找基准数（如接近10、100的数），用"基准数+浮动"法简化计算。 注意：平均数的单位与原数据单位一致。 1．一组数据的平均数是4，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某班七个学习小组的人数分别是4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知一组正数的平均数为5，则的平均数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 题型二：加权平均数的计算 【题型特点】给出不同数据及其权数（次数、比例、百分比等），求加权平均数。 【突破技巧】 找准"权"：权可以是次数、人数、比例、百分比等。 公式：加权平均数 = (各数据×对应权)之和 ÷ 权数之和。 当权以百分比给出时，权数之和为1（或100%），直接用各数据×百分比相加即可。 常见场景：成绩按比例计算（平时30%+期末70%）、分组数据求平均。 5．（2025·上海普陀·二模）某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 6．某校竞选学生会干部，分学生一日常规知识笔试和演讲比赛两个环节，总分均为100分，并按比例计算平均成绩，小明笔试成绩95分，演讲成绩90分，最终平均成绩为______． 7．如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则_____． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 8．单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． (1)已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 题型三：中位数与众数的求解 【题型特点】给出一组数据（或表格），求中位数和众数。 【突破技巧】 求中位数前，必须先将数据按顺序排列（从小到大或从大到小），这是最容易漏掉的步骤！ 数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不一定是原数据中的某个数。 众数是出现次数最多的数据值，不是出现的次数，注意区分。 注意：一组数据可能有1个众数、多个众数，也可能没有众数。 9．（2025·上海·模拟预测）数据33，34，36，39，38，37，33的中位数和众数是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2026·上海崇明·二模）某校为了解学生体育运动时间的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 体育运动时间（小时） 1.5 1.7 1.8 2 2.2 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（    ） A．众数和平均数相等 B．中位数和平均数相等 C．中位数和众数相等 D．中位数、众数和平均数都相等 11．一组数据：、、、、、的众数是，在这组数据的中位数是___________； 12．（2026·上海虹口·二模）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 13．（2026·上海静安·二模）为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为______次． 14．（2025·上海静安·二模）数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 题型四：统计量的选择与综合应用 【题型特点】给出实际问题情境，问用哪个统计量来描述集中趋势更合适，并说明理由。 【突破技巧】 看有没有极端值：有极端值→选中位数；无极端值→选平均数。 看问题关注点：关心"最普遍""最受欢迎"→选众数。 看数据特点：所有数据出现次数差不多→用平均数。 答题模板：因为数据中有极端值（如……），平均数受极端值影响较大，所以用中位数来描述更合适。 15．某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如图1： (1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？ (2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、丙三人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生． 16．中国共产党建党100周年之际，某校开展了全校学生学习党史活动，并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级学生的竞赛成绩（单位：分） 6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10，10，10，10． 七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 8 a 众数 8 9 优秀率 b 55% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ； (2)估计该校七年级200名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数； (3)根据以上数据分析，评价两个年级学生学习党史的竞赛成绩谁更优异． 17．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图． 平均数/分 中位数/分 众数/分 一班 ___________ ___________ 90 二班 ___________ 80 ___________ (1)把一班竞赛成绩统计图补充完整； (2)补全上面表格； (3)请从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩，并对这次竞赛成绩的结果进行分析． 18．（2025·山西·一模）健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 19.2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 20．为了解医保创新工作人员的业务掌握情况，某单位举办了医保创新知识竞赛．现从甲、乙两个部门的工作人员中各随机抽取20名员工的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有员工的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；    B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 甲部门20名员工的竞赛成绩为： 61，63，68，78，81，82，83，85，85，85， 85，88，89，91，91，91，92，93，94，95． 乙部门20名员工的竞赛成绩在组的成绩是：82，82，84，84，84． 甲、乙两部门所抽员工的竞赛成绩统计表 部门 甲部门 乙部门 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 84 乙部门所抽员工的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该单位甲、乙两个部门中哪个部门员工的医保创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)甲部门有400名员工、乙部门有500名员工参加了此次医保创新知识竞赛，估计该单位甲、乙两部门参加此次安全知识竞赛成绩优秀的总人数是多少？ 一、单选题 1．（2025·上海闵行·模拟预测）数据3、6、2、0、5、2的平均数和众数分别是（   ） A．3和1 B．3和2 C．3.6和1 D．3.6和2 2．（2025·上海·模拟预测）如图是某校体育组人的某科成绩，下列说法中正确的是（    ） A．中位数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是 3．（2026·上海徐汇·二模）某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是15 B．众数是15 C．中位数是75 D．众数是85 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）有7个按从小到大排列的数，平均数是38，前4个平均数是33，后4个是42，那么这组数的中位数是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 5．（2026·上海·中考真题）已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 6．（2026·上海·三模）有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 8．（2026·上海松江·模拟预测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 三、解答题 9．（2025·上海普陀·三模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)求出C组数据的中位数和众数； (2)补全条形统计图； (3)若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是多少？ 10．（2026·上海金山·二模）班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题： (1)班共有多少名学生参加知识竞赛？ (2)分布在分这一组的频率是多少？ (3)成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？ (4)求成绩不低于分的学生占全部学生人数的百分率． 11．（2026·上海·三模）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ (3)研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（     ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $