考点01 圆的基本性质7题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册

考点01 圆的基本性质 考点一：圆的定义与有关概念 1．圆的定义 描述定义：在平面内，线段 OA 绕它固定的端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所描出的封闭曲线叫做圆；定点 O 叫做圆心，线段 OA 的长 r 叫做半径。以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆 O”。 集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 要点：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，两者缺一不可；②“圆”指圆周这条封闭曲线，不包括圆面；③圆的内部可看作到圆心距离小于半径的点的集合，圆的外部可看作到圆心距离大于半径的点的集合。 2．与圆有关的概念 概念 定义 关键说明 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是圆中最长的弦，是特殊的弦 直径 经过圆心的弦 直径等于半径的 2 倍 弧 圆上任意两点间的部分 记作“”，读作“弧 AB” 半圆 直径的两个端点把圆分成的两条弧 半圆是弧，但弧不一定是半圆 优弧、劣弧 大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧 优弧一般用三个字母表示 等弧 同圆或等圆中能够重合的弧 长度相等的弧不一定是等弧 等圆、同心圆 半径相等的圆叫等圆；圆心相同、半径不同的圆叫同心圆 等圆能够重合 圆心角 顶点在圆心的角 如∠AOB，两边都与圆相交 弦心距 圆心到弦的距离 是垂线段的长，不是圆心到弦端点的距离 考点二：点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则点与圆有三种位置关系（见表 2）。符号“⇔”读作“等价于”，表示从左可以推出右、从右也可以推出左，即位置关系与数量关系可以互相判定。 位置关系 数量关系 说明 图示 点在圆内 d < r 到圆心距离小于半径 点在圆上 d = r 到圆心距离等于半径 点在圆外 d > r 到圆心距离大于半径 考点三：圆的对称性 1．轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线（即经过圆心的直线）都是它的对称轴，对称轴有无数条。注意：对称轴是直线，不能说“直径是圆的对称轴”，应说“直径所在的直线是圆的对称轴”。 2．中心对称性与旋转不变性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合。 3．对称性带来的结论：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等、弦心距相等，这是圆心角定理的根源；沿直径对折两边重合，是垂径定理的直观基础。 考点四：确定圆的条件与三角形的外接圆 1．确定圆的条件：经过一个点可以作无数个圆；经过两个点也可以作无数个圆，这些圆的圆心都在两点所连线段的垂直平分线上；不在同一条直线上的三个点确定一个圆（有且只有一个）。这里的“确定”指“有且只有”，三个点必须不在同一条直线上。 2.过已知点作圆 作法 作圆的个数 图示 过一点A 作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 过两点A，B作圆 连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同一条 直线上的三点 A，B，C 作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 一个 3.三角形外接圆的作法 步骤 作法 图示 ①定圆心 如图， 作 AC， BC 的垂直平分线交于点 O， 则点 O 即为圆心 ②定半径 ， 画圆 如图，以点 O 为圆心，以 OA（或OB或 OC）长为半径作圆，则⊙ O 即为△ ABC的外接圆 . 4．三角形的外接圆与外心：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做外心。外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径）。外心位置见下表。 三角形 外心位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边的中点（在边上） 钝角三角形 三角形外部 5．证明多点共圆：说明这些点到同一定点的距离相等，依据圆的集合定义。 考点五：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．1°的弧：把整个圆等分成 360 份，每一份这样的弧叫做 1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等（注意：角与弧只能比较“度数”，不能说“角与弧相等”）。 2．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 示例 如图，若∠ AOB= ∠ A′OB′，OC ⊥ AB，OC ′⊥ A ′B ′， 则 = ， AB=A′B′，OC=OC′. 3．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即“知一推三”。 上述推论可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔ 弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等. 示例 如图，OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ CD 于点F. 四个式子：①∠ AOB= ∠ COD；② =；③ AB=CD；④ OE=OF.其中有一个式子成立，则其他三个式子也成立，即∠ AOB= ∠ COD ⇔ =⇔AB=CD ⇔OE=OF. 4．使用注意：前提“同圆或等圆”不能省略；论及“弧”时要指明同为优弧或同为劣弧，因为一条弦对应两条弧。 考点六：垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E，则 AE = BE，，。 2．推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 3．“知二推二”归纳：对于“经过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的弧”这四组关系，已知其中两组成立，可推出其余两组也成立；特别地，当条件为“经过圆心且平分弦”时，被平分的弦不能是直径。 4．基本计算图形：连半径 OA，作弦心距 OE，得直角三角形 OAE，其中斜边为半径 r，两直角边为半弦长与弦心距 d，满足勾股定理 r² = d² +。求半径、弦长、弦心距三者知二求一，常设未知数列方程求解，体现方程思想。 5．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形；拱高（弓形高）在劣弧情形等于 r − d，在优弧情形等于 r + d，列方程时注意区分。 考点七：圆周角定理 1．圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。顶点在圆内或圆外的角都不是圆周角。 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 示例：如图，∠ ACB=∠ AOB. 3．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 4．常用辅助线：遇到直径，连接直径所对的圆周角构造直角三角形；进行角度转化时，连接半径构造等腰三角形，或通过圆心角作为“桥梁”。 题型一：概念辨析型（判断正误） 误把弧当弦、把直径当对称轴、把长度相等的弧当等弧。避错：辨析题逐词回到定义核对关键字。 1．（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误； B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误； C、半圆是弧，选项正确； D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误； 故选：C． 2．有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①直径相等的两个圆是等圆，正确，是真命题； ②长度相等的弧是等弧，错误，是假命题； ③圆中最长的弦是通过圆心的弦，正确，是真命题； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不一定是等弧，错误，是假命题， 真命题有两个． 故选：B． 3．下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】C 【详解】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，正确； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确； C、当圆绕它的圆心旋转时，会与原来的圆重合，错误； D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确． 故选：C． 4．下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【答案】A 【详解】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意； B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 题型二：点与圆的位置关系 先求点到圆心的距离（用勾股定理或坐标距离公式），再与半径比较大小；不能凭图形目测判断。 5．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 6．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵、分别是斜边上的高和中线， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵是以点为圆心，半径长为2的圆， ∴，， ∴点在圆内、点在圆外， 故选：D． 7．（24-25九年级上·上海·阶段检测）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径______． 【答案】4或7 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 8．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知矩形中，，，P是边AB的中点，以点P为圆心画圆，如果点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵矩形中，，，P是边的中点， ∴， ∴， 点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是， 故答案为：． 题型三：确定圆的条件与外心 外心位置误判：直角三角形外心在斜边中点（边上），钝角三角形外心在形外。避错：画图验证后再作答。 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 【答案】C 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误； 等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确； 不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误； 故选：C． 11．（25-26九年级下·上海金山·开学考试）已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，在中，， 过点A作于点D，设点E为的中点，过点E作交的延长线于点O， ∵， ∴，即垂直平分， ∴； ∵点E为的中点，， ∴，且垂直平分， ∴点O即为的外接圆的圆心， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的外接圆的半径为． 12．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 13．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 【答案】 【详解】解：如图，中，，作于点， ∴， ∴， 设三角形的外心为，外接圆半径为， ∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上， ∴在所在直线上， 设， 在中，，即， 解得， ∴， 重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍， ∴重心G在在上，且， ∴“变形值”等于， 故答案为： 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为__________． 【答案】或 【详解】解：设圆心为，且在该等腰三角形内部时，取底边中点为，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，底边中点为， ∴， ∴圆心在线段上， ∴， ∴， ∴； 当圆心在该等腰三角形外部时，如图， 同理可得：，， 故答案为：或． 题型四：圆心角定理的应用 圆心角、弧、弦、弦心距四组量“知一推三”，解题时先锁定已知相等的一组量，再沿对应关系逐项推导。 15．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为______． 【答案】 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 16．（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为_____． 【答案】2 【详解】解：设的对应点是，连接,，， 由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是2． 故答案为：2． 17．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【详解】连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 18．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【详解】(1)证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26九年级下·上海金山·开学考试）如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【详解】(1)证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五：垂径定理的计算 设半径 R，用“半径 = 弦心距 + 拱高”表示弦心距，列方程求解，体现方程思想。 无图时平行弦问题必须分“同侧、异侧”两类讨论，答案可能有两个，切勿只算一种。 垂径定理推论条件遗漏：由“平分弦的直径”推垂直时，忘记注明“该弦不是直径”。避错：见到直径平分弦，先判断被平分的是否为直径。 平行弦问题漏分类：两弦与圆心的位置有同侧、异侧两种，距离分别等于两弦心距之差与之和。避错：无图或图形不唯一时主动分两类。 20．（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 21．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的序号是____________． ①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】③④/④③ 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧必须是在同圆或等圆中能够完全重合的弧，故①错误； ②平分弦的直径不一定垂直于弦，当弦是直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦，垂径定理的推论指出：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理的内容，故③正确； ④三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离都相等，等于外接圆的半径，故④正确． 综上，说法正确的序号是③④． 故答案为：③④． 22．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 【答案】5 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴ 故答案为：5． 23．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知在中，经过点A、B，与的另一个交点为，． (1)求的半径长； (2)求的面积． 【详解】（1）解：如下图，连接延长交于，连接， ， ， ， ， ， ， 设圆半径为，则， ，即 解得：； （2）连接，如下图， ， ， ， ，即， ∴，解得， ， ． 24．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【详解】(1)证明：作， ， ， ∴平分， ， (2)证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 25．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． (1)求水面宽度的大小； (2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理可得：， ∵，是半径， ∴， 即水面宽度的长为16米． （2）解：设与相交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设水面上升的高度为米，即，则， ∴， 在中，， ∴， 化简得， 解得（舍去），， 答：水面上升的高度为2米． 26．（2026·上海静安·二模）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 【详解】（1）解：取圆心，连接，， ∵是弓形的高， ∴是的中点，且，圆心在直线上． ∴（米）， 设， 则， 在中， ， ∴， ∴， ∴该弓形所在圆的半径为25m． （2）解：连接， 由（1）得，， 设， 则， ∵是弓形的高， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， （舍去），， ∴ ． 题型六：圆周角定理的应用 “见直径，想直角”；圆周角与圆心角互转时，先确认两者所对的是同一条弧。 27．（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列命题一定正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．各角相等的圆内接多边形是正多边形 C．相等的圆周角所对的弧也相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 【答案】D 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题； B．各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，原命题是假命题； C．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等，原命题是假命题； D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，原命题是真命题； 故选：D． 28．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如果点M是等腰的底边的中点，那么点M与以腰为直径的圆的位置关系是___________． 【答案】在圆上 【详解】解：如图，是的直径，点M是等腰的底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴点M在上， 即点M与以腰为直径的圆的位置关系是在圆上． 故答案为：在圆上． 29．（2024·上海·模拟预测）已知定线段长为2，若，则点C的运动轨迹为________． 【答案】以为直径的圆（C不与A，B重合） 【详解】解：如图，已知定线段长为2，若，则点C的运动轨迹为以为直径的圆，且不与A，B重合， 故答案为：以为直径的圆（C不与A，B重合）． 30．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，线段的覆盖圆有无数个，其中以为直径的是其最小覆盖圆．已知在矩形中，，，那么矩形的最小覆盖圆的半径为______． 【答案】 【详解】解：∵直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆，且矩形中距离最远的两个点是对角线的两个端点， ∴能够覆盖矩形且直径最小的圆，其直径等于矩形对角线的长度， ∵矩形对角线的长度为， ∴矩形的最小覆盖圆的半径为． 31．（2026·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是______． 【答案】5 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， 如图：连接， ∵， ∴是的直径，即， ∴， ∴． 32．（2026·上海·三模）已知：如图，在中的弦与弦交于点，，点、分别是、的中点，连接、． (1)求证：是等腰三角形． (2)连接、，若，，求的值． 【详解】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，连接、， ∵点是的中点，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结． (1)求证：； (2)连结，如果，求证：． 【详解】(1)证明：如图，连结、， ∵以为圆心、为半径画弧交半圆于点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图，连结， 设，由（1）可知， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵以为圆心、为半径画弧，交线段于点， ∴， ∴， ∴四边形内接于， ∴， 即， 解得，即， ∴， ∴， ∴． 题型七：综合应用与分类讨论 同圆半径相等，推出对角线互相平分，进而得到平行四边形，这是圆与四边形综合的常见思路。 一条弦对应优、劣两条弧，涉及“弧的度数”或“圆心角”时，先分清是优弧还是劣弧。 34．（2026·上海奉贤·二模）如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，求的值； (3)连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接交于点， 是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，平分，，， ，， 在中，， ，， ， ； （3）解：若的半径，设， 由（1）知，，，连接， 当是等腰三角形，分类讨论： ①当时， 则,， 由三角形内角和定理可得，，解得， ， 根据勾股定理得， 故； ②当时， 则， ， ， ， 即，解得，不符合题意，舍去； ③如图，当时， ， ， ， ，， ， ， 即， 设，则， ， 即， 解得，（舍）， ， 四边形是菱形， ． 综上，边的长为或． 35．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，为一条直径，，垂足为． (1)若，求的值； (2)联结，取中点，联结并延长，交于，联结、． ①求证：平分； ②延长交直线于点，若，求的值． 【详解】（1）解：∵是的直径，于点， ∴由垂径定理，点是的中点，即． 连接，．设的半径为，则，． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． (2)①证明：∵是的直径，于点， ∴点是的中点，且点、关于直线对称， ∴． 连接，，取的中点．设，． ∵与是同弧所对的圆周角， ∴， ∴． ∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴，则 ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴ 又， ∴． ∴． ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵ ∴ ∴、、三点共线，即过的中点， ∴平分． （2）②解：∵ ∴． 又∵， 在和中 ∵， ∴． ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，则 ∵ ∴ ∴． 36．（2026·上海·中考真题）在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． (1)如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； (2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 【详解】(1)①证明：如图，作于，于，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点， 由（1）①中可得（图1）， 又∵（①已证）， ∴， ∴， 又∵（①已证）， ∴， ∴， ∵为边的中点，为边的中点， ∴为的重心， ∴， 设，则， ∵在和中，， ∴， 化简得（负值舍）， ∴， ∴． 37．（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． (1)求证：； (2)联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积； (3)直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 【详解】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，且与都有交点， ∴与都有交点， 又∵与有交点， ∴当四边形为梯形时，只能是， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， 又∵， ∴是等边三角形； 如图所示，过点C作于点K， ∵，且是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （3）解：如图所示，当点F在点E右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时只存在这种情况， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点F在点E左侧时，∵， ∴， ∴， ∴此时只存在这种情况， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点M，连接使得，过点D作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上所述，的长为或． 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列命题中，假命题是（    ） A．斜边相等的直角三角形全等 B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧 C．两平行线间的距离处处相等 D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，垂直这条弦并平分其所对的弧 【答案】A 【详解】解：A.斜边相等的直角三角形不一定全等，故A为假命题． B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧，故B为真命题． C．两平行线间的距离处处相等，故C为真命题． D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，必垂直于弦，并平分弦所对的弧，故D为真命题， 故选：A． 2．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、和．将绕点B逆时针旋转后得到，其中点的对应点是，点的对应点是．下列说法中错误的是（    ） A．是直角三角形 B．点的坐标是 C．点C与点关于y轴对称 D．点在以点为圆心，为半径的圆上 【答案】B 【详解】解：∵点、和， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形，且，故A选项正确，不符合题意； 如图，过点作轴于点D， 由旋转的性质得：，，，故D选项正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点，故B选项错误，符合题意； 同理点， ∴点C与点关于y轴对称，故C选项正确，不符合题意． 3．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 4．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 故选：D． 5．（2026·上海普陀·模拟预测）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，该命题为真； ②等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，该命题为假； ③只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，该命题为假； ④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形内角平分线的交点是内心，该命题为假； 综上，真命题共1个． 二、填空题 6．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 【答案】或者 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 7．（2023·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵点A在直线上， ∴， ∴，， ∴点的“关联点”为， 当时，，此时点在上， 整理得， 解得：， ∵点在的内部，， ∴， 故答案为：． 8．（2026·上海宝山·二模）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 【答案】或 【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等， 当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，是等腰的外接圆， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 当为钝角时，如图，连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 综上：的面积与的面积比为或． 三、解答题 9．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．    (1)求的半径长； (2)P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：联结，设，    ∵， ∴，        ∵， ∴ 解得：，          ∴的半径长是5． （2）解：过点P作，垂足为H．    ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，    ∴，                ∴，                   ∴ ． 10．（2026·上海金山·二模）如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，作于， 则， ， ， 的半径为； （2）解：如图： ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）已知下图都是的正方形格点图，的三个顶点都在格点上．以下三题请你只能使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： (1)在边上找一点F，使得； (2)作出的重心G； (3)找出所有格点H，使得． 【详解】(1)解：如图：即为所求． (2)解：如图：为的重心． (3)解：如图：即为所求． 12．（25-26九年级下·上海静安·阶段检测）如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E． (1)如果，，求边的长； (2)联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； (3)联结并延长，交于点P，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵B为弧的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ， 当时，， 此时， 解得：； ∴， ∵， ∴； 当时，， 此时，不存在； 综上所述，； （3）解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图1，菱形中，过点，，三点的圆与边交于点． (1)请用尺规作图，确定点的位置，并证明：点在对角线上；（保留作图痕迹，不必叙述作图过程） (2)如图2，连接，如果，求的值； (3)如图3，连接并延长，交于点，如果，求的值（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，作、的垂直平分线，两线交点即为圆心，点即为所求． 证明：连接， ∵点O是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵菱形中垂直平分， ∴点在对角线上； （2）解：如图，连接，，设菱形边长，半径为，． ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ ． （3）解：过点O作于点G，交于点H，连接，设菱形的边长为1，的半径为r， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧作，使得，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)已知点F与点C关于直线对称，连接、、 ①如图2，如果，四边形的面积为20，求线段的长； ②如图3，如果，求的正切值． 【详解】(1)证明：∵， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴，，， ∴，都为等腰直角三角形， ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， ∵四边形的面积为20， ∴， 如图，过作于， 则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 则； ②如图， 则，，，， ∴点C、D、F和点E共圆，且圆的直径为， 由（1）得，则， ∴点B也在圆上， ∴，， ∴， 过点F作于点H， ∵， ∴， 设，则， 在中，，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 则． 15．（23-24九年级下·上海·开学考试）已知的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、． (1)如图，当时，求：的值； (2)当点为劣弧的中点，且与相似时，求：的正弦值； (3)当，且为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)2； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：如图，过点作交于， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，与相似， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况：如图，当时， ∵， ∴， 过作于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，连接， ∵， ∴，， ∵， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长是或． 16．（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，，垂足为，为直径，，为圆上一动点． (1)当F在弧上时，求证：． (2)当F在弧上时，将四边形沿翻折，得到， ①延长，若过点O，且，求的值； ②连接，交于P，若，且，求的值． 【详解】(1)证明：如图， 连接，， ∵是圆的直径，且， ∴，，， ∴，， 在直角中，，∵，∴， ∴，∴，， ∵，∴，∴； （2）解：①如图，连接，，作，垂足为，设，，圆的半径为， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可知，， ∴， 由轴对称的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∵， ∴； ②如图，连接，延长交于点，作，垂足为，设， 由轴对称的性质可知，垂直平分， ∴，， ∵直径， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由圆内接四边形的性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 在直角中，， ∴． 17．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知是圆O的直径，，是弦，分别过M，N两点作直线的垂线，垂足分别为C，D（点C，D不与线段的端点重合）． (1)如图1，当M，N两点在直线的两侧时，连接并延长交于点E，求证：． (2)将的长记为． ①如图2，当M，N两点在直线的两侧时，用含x的代数式表示的长． ②连接，当，且是等腰三角形时，求x的值． 【详解】(1)证明：∵，， ∴， ∴，， ∵是直径，是的圆心， ∴， ∴， ∴， 过作于，连接， ∴，， ∴， 即， ∴， 即． (2)①；②或 （2）解：①由（1）知， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴； ②∵， ∴， ∴， 分三种情况讨论： 情况1：在直线同侧， 同（1）可得， ∴，， ∴， 同（2）①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形，为定值，故分三种子情况： 1、当时，，不与端点重合，符合题意； 2、当，则，得与或重合，不符合题意，舍去； 3、当时，过点作， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 即，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴，，符合题意； 情况2：在直线两侧 此时，但验证得：要么与端点重合，要么，均不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 圆的基本性质 考点一：圆的定义与有关概念 1．圆的定义 描述定义：在平面内，线段 OA 绕它固定的端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所描出的封闭曲线叫做圆；定点 O 叫做圆心，线段 OA 的长 r 叫做半径。以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆 O”。 集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 要点：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，两者缺一不可；②“圆”指圆周这条封闭曲线，不包括圆面；③圆的内部可看作到圆心距离小于半径的点的集合，圆的外部可看作到圆心距离大于半径的点的集合。 2．与圆有关的概念 概念 定义 关键说明 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是圆中最长的弦，是特殊的弦 直径 经过圆心的弦 直径等于半径的 2 倍 弧 圆上任意两点间的部分 记作“”，读作“弧 AB” 半圆 直径的两个端点把圆分成的两条弧 半圆是弧，但弧不一定是半圆 优弧、劣弧 大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧 优弧一般用三个字母表示 等弧 同圆或等圆中能够重合的弧 长度相等的弧不一定是等弧 等圆、同心圆 半径相等的圆叫等圆；圆心相同、半径不同的圆叫同心圆 等圆能够重合 圆心角 顶点在圆心的角 如∠AOB，两边都与圆相交 弦心距 圆心到弦的距离 是垂线段的长，不是圆心到弦端点的距离 考点二：点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则点与圆有三种位置关系（见表 2）。符号“⇔”读作“等价于”，表示从左可以推出右、从右也可以推出左，即位置关系与数量关系可以互相判定。 位置关系 数量关系 说明 图示 点在圆内 d < r 到圆心距离小于半径 点在圆上 d = r 到圆心距离等于半径 点在圆外 d > r 到圆心距离大于半径 考点三：圆的对称性 1．轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线（即经过圆心的直线）都是它的对称轴，对称轴有无数条。注意：对称轴是直线，不能说“直径是圆的对称轴”，应说“直径所在的直线是圆的对称轴”。 2．中心对称性与旋转不变性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合。 3．对称性带来的结论：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等、弦心距相等，这是圆心角定理的根源；沿直径对折两边重合，是垂径定理的直观基础。 考点四：确定圆的条件与三角形的外接圆 1．确定圆的条件：经过一个点可以作无数个圆；经过两个点也可以作无数个圆，这些圆的圆心都在两点所连线段的垂直平分线上；不在同一条直线上的三个点确定一个圆（有且只有一个）。这里的“确定”指“有且只有”，三个点必须不在同一条直线上。 2.过已知点作圆 作法 作圆的个数 图示 过一点A 作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 过两点A，B作圆 连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同一条 直线上的三点 A，B，C 作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 一个 3.三角形外接圆的作法 步骤 作法 图示 ①定圆心 如图， 作 AC， BC 的垂直平分线交于点 O， 则点 O 即为圆心 ②定半径 ， 画圆 如图，以点 O 为圆心，以 OA（或OB或 OC）长为半径作圆，则⊙ O 即为△ ABC的外接圆 . 4．三角形的外接圆与外心：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做外心。外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径）。外心位置见下表。 三角形 外心位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边的中点（在边上） 钝角三角形 三角形外部 5．证明多点共圆：说明这些点到同一定点的距离相等，依据圆的集合定义。 考点五：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．1°的弧：把整个圆等分成 360 份，每一份这样的弧叫做 1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等（注意：角与弧只能比较“度数”，不能说“角与弧相等”）。 2．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 示例 如图，若∠ AOB= ∠ A′OB′，OC ⊥ AB，OC ′⊥ A ′B ′， 则 = ， AB=A′B′，OC=OC′. 3．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即“知一推三”。 上述推论可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔ 弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等. 示例 如图，OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ CD 于点F. 四个式子：①∠ AOB= ∠ COD；② =；③ AB=CD；④ OE=OF.其中有一个式子成立，则其他三个式子也成立，即∠ AOB= ∠ COD ⇔ =⇔AB=CD ⇔OE=OF. 4．使用注意：前提“同圆或等圆”不能省略；论及“弧”时要指明同为优弧或同为劣弧，因为一条弦对应两条弧。 考点六：垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E，则 AE = BE，，。 2．推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 3．“知二推二”归纳：对于“经过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的弧”这四组关系，已知其中两组成立，可推出其余两组也成立；特别地，当条件为“经过圆心且平分弦”时，被平分的弦不能是直径。 4．基本计算图形：连半径 OA，作弦心距 OE，得直角三角形 OAE，其中斜边为半径 r，两直角边为半弦长与弦心距 d，满足勾股定理 r² = d² +。求半径、弦长、弦心距三者知二求一，常设未知数列方程求解，体现方程思想。 5．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形；拱高（弓形高）在劣弧情形等于 r − d，在优弧情形等于 r + d，列方程时注意区分。 考点七：圆周角定理 1．圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。顶点在圆内或圆外的角都不是圆周角。 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 示例：如图，∠ ACB=∠ AOB. 3．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 4．常用辅助线：遇到直径，连接直径所对的圆周角构造直角三角形；进行角度转化时，连接半径构造等腰三角形，或通过圆心角作为“桥梁”。 题型一：概念辨析型（判断正误） 误把弧当弦、把直径当对称轴、把长度相等的弧当等弧。避错：辨析题逐词回到定义核对关键字。 1．（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 2．有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 4．下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 题型二：点与圆的位置关系 先求点到圆心的距离（用勾股定理或坐标距离公式），再与半径比较大小；不能凭图形目测判断。 5．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 7．（24-25九年级上·上海·阶段检测）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径______． 8．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 9．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知矩形中，，，P是边AB的中点，以点P为圆心画圆，如果点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是______． 题型三：确定圆的条件与外心 外心位置误判：直角三角形外心在斜边中点（边上），钝角三角形外心在形外。避错：画图验证后再作答。 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 11．（25-26九年级下·上海金山·开学考试）已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 13．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为__________． 题型四：圆心角定理的应用 圆心角、弧、弦、弦心距四组量“知一推三”，解题时先锁定已知相等的一组量，再沿对应关系逐项推导。 15．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为______． 16．（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为_____． 17．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 18．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 19．（25-26九年级下·上海金山·开学考试）如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型五：垂径定理的计算 设半径 R，用“半径 = 弦心距 + 拱高”表示弦心距，列方程求解，体现方程思想。 无图时平行弦问题必须分“同侧、异侧”两类讨论，答案可能有两个，切勿只算一种。 垂径定理推论条件遗漏：由“平分弦的直径”推垂直时，忘记注明“该弦不是直径”。避错：见到直径平分弦，先判断被平分的是否为直径。 平行弦问题漏分类：两弦与圆心的位置有同侧、异侧两种，距离分别等于两弦心距之差与之和。避错：无图或图形不唯一时主动分两类。 20．（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 21．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的序号是____________． ①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 22．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 23．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知在中，经过点A、B，与的另一个交点为，． (1)求的半径长； (2)求的面积． 24．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 25．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． (1)求水面宽度的大小； (2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 26．（2026·上海静安·二模）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 题型六：圆周角定理的应用 “见直径，想直角”；圆周角与圆心角互转时，先确认两者所对的是同一条弧。 27．（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列命题一定正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．各角相等的圆内接多边形是正多边形 C．相等的圆周角所对的弧也相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 28．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如果点M是等腰的底边的中点，那么点M与以腰为直径的圆的位置关系是___________． 29．（2024·上海·模拟预测）已知定线段长为2，若，则点C的运动轨迹为________． 30．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，线段的覆盖圆有无数个，其中以为直径的是其最小覆盖圆．已知在矩形中，，，那么矩形的最小覆盖圆的半径为______． 31．（2026·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是______． 32．（2026·上海·三模）已知：如图，在中的弦与弦交于点，，点、分别是、的中点，连接、． (1)求证：是等腰三角形． (2)连接、，若，，求的值． 33．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结． (1)求证：； (2)连结，如果，求证：． 题型七：综合应用与分类讨论 同圆半径相等，推出对角线互相平分，进而得到平行四边形，这是圆与四边形综合的常见思路。 一条弦对应优、劣两条弧，涉及“弧的度数”或“圆心角”时，先分清是优弧还是劣弧。 34．（2026·上海奉贤·二模）如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，求的值； (3)连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 35．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，为一条直径，，垂足为． (1)若，求的值； (2)联结，取中点，联结并延长，交于，联结、． ①求证：平分； ②延长交直线于点，若，求的值． 36．（2026·上海·中考真题）在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． (1)如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； (2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 37．（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． (1)求证：； (2)联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积； (3)直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列命题中，假命题是（    ） A．斜边相等的直角三角形全等 B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧 C．两平行线间的距离处处相等 D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，垂直这条弦并平分其所对的弧 2．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、和．将绕点B逆时针旋转后得到，其中点的对应点是，点的对应点是．下列说法中错误的是（    ） A．是直角三角形 B．点的坐标是 C．点C与点关于y轴对称 D．点在以点为圆心，为半径的圆上 3．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 5．（2026·上海普陀·模拟预测）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 7．（2023·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是______． 8．（2026·上海宝山·二模）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 三、解答题 9．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．    (1)求的半径长； (2)P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值． 10．（2026·上海金山·二模）如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 11．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）已知下图都是的正方形格点图，的三个顶点都在格点上．以下三题请你只能使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： (1)在边上找一点F，使得； (2)作出的重心G； (3)找出所有格点H，使得． 12．（25-26九年级下·上海静安·阶段检测）如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E． (1)如果，，求边的长； (2)联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； (3)联结并延长，交于点P，如果，求的值． 13．（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图1，菱形中，过点，，三点的圆与边交于点． (1)请用尺规作图，确定点的位置，并证明：点在对角线上；（保留作图痕迹，不必叙述作图过程） (2)如图2，连接，如果，求的值； (3)如图3，连接并延长，交于点，如果，求的值（用含有的式子表示）． 14．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧作，使得，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)已知点F与点C关于直线对称，连接、、 ①如图2，如果，四边形的面积为20，求线段的长； ②如图3，如果，求的正切值． 15．（23-24九年级下·上海·开学考试）已知的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、． (1)如图，当时，求：的值； (2)当点为劣弧的中点，且与相似时，求：的正弦值； (3)当，且为直角三角形时，求的长． 16．（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，，垂足为，为直径，，为圆上一动点． (1)当F在弧上时，求证：． (2)当F在弧上时，将四边形沿翻折，得到， ①延长，若过点O，且，求的值； ②连接，交于P，若，且，求的值． 17．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知是圆O的直径，，是弦，分别过M，N两点作直线的垂线，垂足分别为C，D（点C，D不与线段的端点重合）． (1)如图1，当M，N两点在直线的两侧时，连接并延长交于点E，求证：． (2)将的长记为． ①如图2，当M，N两点在直线的两侧时，用含x的代数式表示的长． ②连接，当，且是等腰三角形时，求x的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $