专题19 二元一次方程组的应用问题的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题19 二元一次方程组的应用问题的九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二元一次方程组的应用之方案问题 题型二、二元一次方程组的应用之行程问题 题型三、二元一次方程组的应用之工程问题 题型四、二元一次方程组的应用之数字问题 题型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 题型六、二元一次方程组的应用之分配问题 题型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型八、二元一次方程组的应用之几何问题 题型九、二元一次方程组的应用之古代问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情境（行程、销售、配套、工程），含两个未知量及两个等量关系。 - 解题方法：审题设两个未知数，抓两组等量关系列方程组；用代入或加减消元求解；检验解是否符合实际意义。 - 易错提醒：等量关系找错或漏列；单位不统一；解出后未检验实际意义（如人数须为正整数）；设未知数时未注明单位。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二元一次方程组的应用之方案问题 典例1 （26-27八年级上·山东济南·开学考试）随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 题型模版 1.特征：实际问题含多种方案选择，需按两种等量关系列方程组，求最优或符合条件的方案。 2.方法：设两个未知数，根据数量与费用关系列二元一次方程组，解出后结合整数、非负等实际约束筛选方案。 变式1-1（25-26七年级下·四川广元·期末）为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 变式1-2（25-26七年级下·吉林长春·期末）暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务． 调研一 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 调研二 型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位； 调研三 七年级师生共人前往外地研学； (1)任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元； (2)任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适． 变式1-3（25-26八年级下·云南红河·期末）请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 题型二、二元一次方程组的应用之行程问题 典例2 （26-27八年级上·全国·课后作业）某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？ 题型模版 1.特征：涉及路程、速度、时间，常含相遇、追及或往返，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设速度或时间为未知数，根据路程和、路程差或时间关系列二元一次方程组，消元求解。 变式2-1（26-27八年级上·全国·课后作业）由甲地到乙地的公路全程为，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路．已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是和，从甲地到乙地用时，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 变式2-2（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 变式2-3（25-26七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 题型三、二元一次方程组的应用之工程问题 典例3 （25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 题型模版 1.特征：涉及工作效率、工作时间、工作量，常含合作或轮流，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设工作效率或时间为未知数，根据工作总量（效率和×时间）及各自工作量关系列二元一次方程组求解。 变式3-1（25-26七年级下·云南玉溪·期中）为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 变式3-2（2026·安徽阜阳·二模）某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 变式3-3（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 题型四、二元一次方程组的应用之数字问题 典例4 （25-26八年级上·四川成都·阶段检测）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 题型模版 1.特征：涉及两位数或多位数的数字关系（如数字和、对调），需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设十位、个位数字为未知数，用位值表示原数和对调数，根据数字和与数值关系列方程组求解。 变式4-1（26-27八年级上·全国·课后作业）小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． 变式4-2（2026·浙江湖州·二模）【阅读理解】 对于一个两位数，设十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，），记，我们称的值是原两位数的“关联值”． 【尝试探究】 (1)判断等式是否成立，并说明理由． (2)若一个两位数的“关联值”为，求这个两位数． 变式4-3（25-26六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 题型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 典例5 （25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 题型模版 1.特征：涉及两人年龄差不变，或年龄和、倍数随年份变化，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设两人年龄为未知数，抓住年龄差不变，按现在与将来（或过去）的倍数关系列二元一次方程组求解。 变式5-1（25-26七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 变式5-2（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 变式5-3（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型六、二元一次方程组的应用之分配问题 典例6 （25-26七年级下·浙江宁波·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图1所示的长方形和正方形纸板做成如图所示的竖式和横式两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求这一天加工两种纸盒时，的所有可能的值． 题型模版 1.特征：涉及物品或人员按不同方式分配，总量不变，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设两种分配对象数量为未知数，根据总量相等和分配差额列二元一次方程组，求解并检验整数性。 变式6-1（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 变式6-2（2026·江西·模拟预测）为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 变式6-3（25-26八年级上·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 题型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 典例7 （26-27八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销．某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售束玫瑰和束百合共获利元，销售束玫瑰和束百合共获利元． (1)该花店销售束玫瑰、束百合分别获利多少元？ (2)国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合．国庆假期后天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价元，结果玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长．为了使国庆天假期的总利润达到元，求的值． 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、销量、利润，常有两种商品，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设进价或销量为未知数，根据总成本、总销售额或利润关系列二元一次方程组，消元求解。 变式7-1（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 变式7-2（25-26七年级下·浙江杭州·期末）杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流领域持续发力．某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务．现需采购两种型号的冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务． 素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续航里程80公里． 素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机总价为136万元． 素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里． (1)任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？ (2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少． 变式7-3（25-26七年级下·福建泉州·期末）综合与实践 项目 探索购买旅游纪念品的方案 素材1 石狮市一家旅游超市销售甲、乙两种纪念品，已知按标价件甲种纪念品和件乙种纪念品共元；件甲种纪念品和件乙种纪念品共元． 素材2 该超市推出优惠方案：凡一次性购买这两种纪念品件或件以上（不含赠送纪念品）的游客，可享受以下两种优惠方案中的任意一种：优惠方案（一）：免费赠送件甲种纪念品；优惠方案（二）：乙种纪念品按标价打九折，甲种纪念品按标价不打折． 素材3 某游客在该超市购买上述两种纪念品，共需带回件（，含赠送纪念品）返程后送给亲友，且两种纪念品都要有． 解决问题 (1)求甲、乙两种纪念品的标价； (2)若该游客计划购买甲种纪念品件，其余的购买乙种纪念品，经测算发现：选择优惠方案（二）比选择优惠方案（一）可优惠元，求的值； (3)为了便于将这两种纪念品全部送给亲友，该游客决定带回这两种纪念品的数量差要最小．经测算，他按优惠方案（一）购买了这两种纪念品，一共花了元，你知道他购买这两种纪念品的方案吗？请说明理由． 题型八、二元一次方程组的应用之几何问题 典例8 （26-27八年级上·山东济南·期中）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知点坐标为，求点的坐标． 题型模版 1.特征：涉及几何图形边长、周长或面积关系，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设图形边长或角度为未知数，根据周长、面积或角度关系列二元一次方程组，求解并检验几何合理性。 变式8-1（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 变式8-2（25-26七年级下·浙江金华·期末）小明把如甲图所示的长方形纸板裁成相同的四块小长方形，拼成中间是一个小正方形的如乙图所示的图形（接缝忽略不计）． (1)请用含a，b的代数式表示乙图中间小正方形的面积； (2)若，，求乙图中间小正方形的面积． 变式8-3（25-26七年级下·河南周口·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 题型九、二元一次方程组的应用之古代问题 典例9 （25-26七年级下·江苏泰州·期末）列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？ 题型模版 1.特征：以古文表述的实际问题，含两个等量关系，需翻译为现代数学语言列方程组。 2.方法：读懂古文，设两个未知数，将条件转化为两个方程，联立消元求解，结果结合情境解释。 变式9-1（2026·吉林通化·模拟预测）列方程解应用题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？题目大意是几个人合伙买东西，若每人出钱；则会多出3钱；若每人出钱，则还少钱．求合伙人数，物品的价格分别是多少？ 变式9-2（2026·吉林白山·模拟预测）列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？ 变式9-3（25-26七年级下·湖北恩施·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 6．（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 三、解答题 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 10．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 13．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）春节临近，某干果店老板购进甲，乙两种坚果，若每次进价不变，第一次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元；第二次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元． (1)求甲，乙两种坚果的进价分别是多少元/袋？ (2)若该干果店老板计划再用元购进甲，乙两种坚果（两种坚果都购买），只能购进整数袋，请问这次进货有哪几种方案？说明理由． 14．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某学校计划采购60副乒乓球拍与盒乒乓球．调查了解的情况如下： 信息1：甲、乙两家商店中，同一品牌的每幅乒乓球拍的销售价格相同，同一品牌的每盒乒乓球的销售价格也相同． 信息2：已知每副乒乓球拍的单价比每盒乒乓球的单价多30元，且购买2副乒乓球拍的费用，恰好与购买5盒乒乓球的费用相等． 【信息运用】 （1）根据调查信息，求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是多少？ 【方案优化】 经过与甲、乙两家商店洽谈后，两商店分别给出了优惠方案： 甲商店：每购买3副乒乓球拍，就赠送2盒乒乓球； 乙商店：购买乒乓球拍和乒乓球均享受八折优惠． （2）请用含的式子分别表示在甲、乙两商店采购所需的费用． （3）当为何值时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同？ 15．（25-26八年级上·山西晋中·期末）根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 16．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． (1)求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； (3)若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 二元一次方程组的应用问题的九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二元一次方程组的应用之方案问题 题型二、二元一次方程组的应用之行程问题 题型三、二元一次方程组的应用之工程问题 题型四、二元一次方程组的应用之数字问题 题型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 题型六、二元一次方程组的应用之分配问题 题型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型八、二元一次方程组的应用之几何问题 题型九、二元一次方程组的应用之古代问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情境（行程、销售、配套、工程），含两个未知量及两个等量关系。 - 解题方法：审题设两个未知数，抓两组等量关系列方程组；用代入或加减消元求解；检验解是否符合实际意义。 - 易错提醒：等量关系找错或漏列；单位不统一；解出后未检验实际意义（如人数须为正整数）；设未知数时未注明单位。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二元一次方程组的应用之方案问题 典例1 （26-27八年级上·山东济南·开学考试）随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 题型模版 1.特征：实际问题含多种方案选择，需按两种等量关系列方程组，求最优或符合条件的方案。 2.方法：设两个未知数，根据数量与费用关系列二元一次方程组，解出后结合整数、非负等实际约束筛选方案。 变式1-1（25-26七年级下·四川广元·期末）为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元 (2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套 【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解． （2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元． 根据题意，得         解得 答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元． （2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数． 根据题意，得，         解得．             ，均为正整数， 为正偶数，且， 为正偶数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套． 变式1-2（25-26七年级下·吉林长春·期末）暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务． 调研一 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 调研二 型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位； 调研三 七年级师生共人前往外地研学； (1)任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元； (2)任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适． 【答案】(1)元，元 (2)两种方案：方案：型辆，型辆；方案：型辆，型辆；选用方案更合适 【分析】（1）设两种型号客车每辆的租金分别是元，元，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，型客车辆，根据题意得出，求出的非负整数解，即可解答； 【详解】（1）解：任务一：设两种型号客车每辆的租金分别是元，元， 由题意得，， 解得， 答：两种型号客车每辆的租金分别是元，元； （2）解：任务二：设租用型客车辆，型客车辆， 由题意得，， 整理得，， ∵为非负整数， ，或，， ∴有两种方案：方案：型辆，型辆； 方案：型辆，型辆； 方案的费用：元； 方案的费用：元， ∵两种方案费用相同， ∴从环保的角度考虑，车辆总数越少越环保， ∴选用方案更合适． 变式1-3（25-26八年级下·云南红河·期末）请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 【答案】(1)每辆A 型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； (2)单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车4辆，B型客车4辆． 【详解】（1）解：设每辆 A 型客车单日租赁费用为 x 元，每辆B型客车单日租赁费用为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； （2）解：设租赁A型客车a辆，则B型客车辆；单日租赁总费用为W元， ， ∵A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍， ∴， ∴， ∵A型客车不少于4辆， ∴， ∴， 由知，W随a增大而增大， 时，W最小值为3840元， 答：单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车 4 辆，B型客车4辆． 题型二、二元一次方程组的应用之行程问题 典例2 （26-27八年级上·全国·课后作业）某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度为，乙的速度为． 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， ∵反向而行时，两人相遇，总路程等于环形道路周长， ∴， ∵同向而行时，乙追上甲，路程差等于环形道路周长， ∴， 联立得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 题型模版 1.特征：涉及路程、速度、时间，常含相遇、追及或往返，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设速度或时间为未知数，根据路程和、路程差或时间关系列二元一次方程组，消元求解。 变式2-1（26-27八年级上·全国·课后作业）由甲地到乙地的公路全程为，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路．已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是和，从甲地到乙地用时，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 【答案】汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米 【分析】设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米， 根据题意得， 解得， 答：汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米． 变式2-2（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件 (2)快递车的总配送路程是330千米 【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得： ， 解得：， 每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件； （2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得： 解得：， 快递车的总配送路程是330千米． 变式2-3（25-26七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； (3)①，；②应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里 【分析】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由题意得，，则，再求出符合题意的整数解即可； （3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为”即可求解每行驶的磨损量； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意得，，则， ∵m，n均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”， ∴， ∴或 ∴共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为 ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为，后轮每行驶的磨损量为； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里． 题型三、二元一次方程组的应用之工程问题 典例3 （25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 题型模版 1.特征：涉及工作效率、工作时间、工作量，常含合作或轮流，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设工作效率或时间为未知数，根据工作总量（效率和×时间）及各自工作量关系列二元一次方程组求解。 变式3-1（25-26七年级下·云南玉溪·期中）为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 变式3-2（2026·安徽阜阳·二模）某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 【答案】该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个 【分析】设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个 根据题意得， 解得. 答：该公司使用的甲、乙两种AI文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个． 变式3-3（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹 (2)，甲、乙工作时间分别为5小时，4小时 【分析】（1）设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，根据表格中的等量关系列出方程组并解方程组即可； （2）设甲、乙工作时间为a、小时，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； （2）解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 题型四、二元一次方程组的应用之数字问题 典例4 （25-26八年级上·四川成都·阶段检测）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 题型模版 1.特征：涉及两位数或多位数的数字关系（如数字和、对调），需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设十位、个位数字为未知数，用位值表示原数和对调数，根据数字和与数值关系列方程组求解。 变式4-1（26-27八年级上·全国·课后作业）小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． 【答案】小明在时看到的里程碑上的数是16． 【分析】设看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据两数字之和为7，匀速行驶1小时的路程相等列方程组求解． 【详解】解：设时看到的数的十位数字为，个位数字为． 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：小明在时看到的里程碑上的数是16． 变式4-2（2026·浙江湖州·二模）【阅读理解】 对于一个两位数，设十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，），记，我们称的值是原两位数的“关联值”． 【尝试探究】 (1)判断等式是否成立，并说明理由． (2)若一个两位数的“关联值”为，求这个两位数． 【答案】(1)等式不成立．理由为： 因为，， 所以等式不成立． (2) 【分析】（1）根据的计算方式分别计算然后比较数值即可； （2）设这个两位数的十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，），然后得到，再根据，均为整数，得到方程组，进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为（，均为整数，且，）， ∵这个两位数的“关联值”为， ， ， ， ∵，均为整数，且，， ，都为正整数且， 或或， 解得（舍）或（符合）或（舍）， ∴这个两位数为． 变式4-3（25-26六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3) 当时，如图： 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36，如图 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 题型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 典例5 （25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 题型模版 1.特征：涉及两人年龄差不变，或年龄和、倍数随年份变化，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设两人年龄为未知数，抓住年龄差不变，按现在与将来（或过去）的倍数关系列二元一次方程组求解。 变式5-1（25-26七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 变式5-2（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 变式5-3（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型六、二元一次方程组的应用之分配问题 典例6 （25-26七年级下·浙江宁波·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图1所示的长方形和正方形纸板做成如图所示的竖式和横式两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求这一天加工两种纸盒时，的所有可能的值． 【答案】(1)做成个竖式纸箱和个横式纸箱； (2)在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 【分析】（1）设加工了个竖式纸箱和个横式纸箱，根据有正方形纸板张，长方形纸板张，列方程组求解； （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，可得：，根据，，为正整数，可知为的倍数，再根据的取值范围求出的所有可能值． 【详解】（1）解：设加工了个竖式纸箱和个横式纸箱， 根据题意可得：， 解得：， 答：做成个竖式纸箱和个横式纸箱； （2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 由题意得：， 整理可得：， ，，为正整数， 为的倍数，   又， 满足条件的的值为，，，， 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 题型模版 1.特征：涉及物品或人员按不同方式分配，总量不变，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设两种分配对象数量为未知数，根据总量相等和分配差额列二元一次方程组，求解并检验整数性。 变式6-1（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 变式6-2（2026·江西·模拟预测）为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 【答案】(1)万元 (2)三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元；理由见解析 【分析】（1）设三楼每户分摊费用为万元，每升高一层每户增加万元，再根据“七楼每户费用是三楼的倍”和“户总自筹资金万元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）先明确保持原分配核心原则，即七楼每户费用是三楼的倍、每升高一层每户增加万元，再根据剩余户的楼层分布和总自筹资金万元不变的条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组求出新的三楼每户分摊费用和每层增加额的近似值，最后得出分摊方案并说明理由即可． 【详解】（1）解：设三楼每户的费用为万元，则七楼每户的费用是万元，可列方程组为 ， 解得； 答：老张这户应自筹资金万元． （2）解：保持原分配核心原则，按总自筹资金万元重新计算，可列方程组： ， 解得， 即分摊方案为：三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元； 理由：该方案延续了原有的“楼层越高，受益越多，付费越高”的公平分摊原则，且总自筹资金仍为万元，完全符合题目要求． 变式6-3（25-26八年级上·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案， ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； 最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 题型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 典例7 （26-27八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销．某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售束玫瑰和束百合共获利元，销售束玫瑰和束百合共获利元． (1)该花店销售束玫瑰、束百合分别获利多少元？ (2)国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合．国庆假期后天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价元，结果玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长．为了使国庆天假期的总利润达到元，求的值． 【答案】(1)销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元 (2) 【分析】（1）根据问题设出未知数，由题中等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）中的结论，分别计算国庆假期前天和后天的获利，由等量关系列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元，则 ， 解得， 答：销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元； （2）解：由（1）知销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元，则国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合，获利共计（元）； 国庆假期后天，每束玫瑰降价元，每束百合降价元，则销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元；玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长，则此时该花店平均每天售出束玫瑰和束百合，获利共计元， 国庆天假期的总利润达到元， ， 解得． 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、销量、利润，常有两种商品，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设进价或销量为未知数，根据总成本、总销售额或利润关系列二元一次方程组，消元求解。 变式7-1（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 变式7-2（25-26七年级下·浙江杭州·期末）杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流领域持续发力．某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务．现需采购两种型号的冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务． 素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续航里程80公里． 素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机总价为136万元． 素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里． (1)任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？ (2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少． 【答案】(1) 甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元. (2) 方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架； 方案一：甲型20架，乙型1架，总费用为（万元）； 方案二：甲型12架，乙型4架，总费用为（万元）； 方案三：甲型4架，乙型7架，总费用为（万元）； ， 采购甲型4架，乙型7架时总费用最少. 【分析】 （1）设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元，根据给定的两种采购总价信息列二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设采购甲型a架，乙型b架，根据总续航里程要求列等式，结合a,b为非负整数，找出所有可行方案，再分别计算各方案的总费用，比较后得到费用最少的方案. 【详解】（1） 解 ：设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元， 根据题意得，解得； 答：甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元. （2）解：设采购甲型无人机架，乙型无人机架，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得， ∴， 又∵均为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 故有三种方案：方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架； 略. 变式7-3（25-26七年级下·福建泉州·期末）综合与实践 项目 探索购买旅游纪念品的方案 素材1 石狮市一家旅游超市销售甲、乙两种纪念品，已知按标价件甲种纪念品和件乙种纪念品共元；件甲种纪念品和件乙种纪念品共元． 素材2 该超市推出优惠方案：凡一次性购买这两种纪念品件或件以上（不含赠送纪念品）的游客，可享受以下两种优惠方案中的任意一种：优惠方案（一）：免费赠送件甲种纪念品；优惠方案（二）：乙种纪念品按标价打九折，甲种纪念品按标价不打折． 素材3 某游客在该超市购买上述两种纪念品，共需带回件（，含赠送纪念品）返程后送给亲友，且两种纪念品都要有． 解决问题 (1)求甲、乙两种纪念品的标价； (2)若该游客计划购买甲种纪念品件，其余的购买乙种纪念品，经测算发现：选择优惠方案（二）比选择优惠方案（一）可优惠元，求的值； (3)为了便于将这两种纪念品全部送给亲友，该游客决定带回这两种纪念品的数量差要最小．经测算，他按优惠方案（一）购买了这两种纪念品，一共花了元，你知道他购买这两种纪念品的方案吗？请说明理由． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的标价分别为元和元． (2) (3)该游客购买甲种纪念品件、乙纪念品件，他带回的甲、乙两种纪念品都为件．理由如下： 设该游客带回的甲、乙两种纪念品的数量分别为件和件，根据题意，得 ， 整理，得， 因为均为正整数， 所以，，，． 因为当时，他带回甲、乙两种纪念品的数量差为， 所以，符合题意， 当时，， 即该游客购买甲种纪念品件、乙纪念品件，他带回的甲、乙两种纪念品都为件． 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的标价分别为元和元，根据“件甲种纪念品和件乙种纪念品共元；件甲种纪念品和件乙种纪念品共元”列出二元一次方程组求解； （2）按优惠方案（一）购买乙种纪念品的数量为件，按优惠方案（二）购买乙种纪念品的数量为件，根据“选择优惠方案（二）比选择优惠方案（一）可优惠元”列出一元一次方程求解； （3）设该游客带回的甲、乙两种纪念品的数量分别为件和件，根据“一共花了元”列出二元一次方程，结合均为正整数，列出方程的解，结合“这两种纪念品的数量差要最小”即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的标价分别为元和元， 根据题意，得， 解得， 故甲、乙两种纪念品的标价分别为元和元． （2）解：当该游客购买甲种纪念品件时， 按优惠方案（一）购买乙种纪念品的数量为件， 按优惠方案（二）购买乙种纪念品的数量为件， 根据题意，得， 解得． 故的值为． （3）略 题型八、二元一次方程组的应用之几何问题 典例8 （26-27八年级上·山东济南·期中）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知点坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，可得关于x和y的二元一次方程组，求得x和y的数值，结合点B在平面直角坐标系中的位置，即可求得点B的坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，依题意得 解得 ，． 点B在第二象限， ∴点的坐标为． 题型模版 1.特征：涉及几何图形边长、周长或面积关系，需用两个等量关系列方程组。 2.方法：设图形边长或角度为未知数，根据周长、面积或角度关系列二元一次方程组，求解并检验几何合理性。 变式8-1（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，，根据图中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积是． 变式8-2（25-26七年级下·浙江金华·期末）小明把如甲图所示的长方形纸板裁成相同的四块小长方形，拼成中间是一个小正方形的如乙图所示的图形（接缝忽略不计）． (1)请用含a，b的代数式表示乙图中间小正方形的面积； (2)若，，求乙图中间小正方形的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）先列二元一次方程组并解方程组求出解，把解代入代数式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，乙图中间小正方形的面积 （2）已知方程组， 解得． 代入得 即乙图中小正方形的面积为9． 变式8-3（25-26七年级下·河南周口·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 题型九、二元一次方程组的应用之古代问题 典例9 （25-26七年级下·江苏泰州·期末）列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？ 【答案】 牧童7人，竹竿56根. 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组，进而即可求解 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为 解得：， 答：牧童7人，竹竿56根 题型模版 1.特征：以古文表述的实际问题，含两个等量关系，需翻译为现代数学语言列方程组。 2.方法：读懂古文，设两个未知数，将条件转化为两个方程，联立消元求解，结果结合情境解释。 变式9-1（2026·吉林通化·模拟预测）列方程解应用题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？题目大意是几个人合伙买东西，若每人出钱；则会多出3钱；若每人出钱，则还少钱．求合伙人数，物品的价格分别是多少？ 【答案】合伙人数是人，物品的价格是钱 【详解】解：设合伙人数是人，物品的价格是钱， 由题意得， 解得． 答：合伙人数是人，物品的价格是钱． 变式9-2（2026·吉林白山·模拟预测）列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？ 【答案】上等禾谷每捆重斗，下等禾谷每捆重斗 【详解】解：设：上等禾谷每捆重x斗，下等禾谷每捆重y斗． 根据题意得：， 解得： 答：上等禾谷每捆重斗，下等禾谷每捆重斗． 变式9-3（25-26七年级下·湖北恩施·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【答案】(1)1头牛需要3两银子，1只羊需要2两银子 (2)购买了7只羊 (3)商人有3种购买方案，最多买5头牛 【分析】（1）设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了m头牛，n只羊，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设购买a头牛，b只羊，可得二元一次方程，则，再列举a的值，确定b的值即可解答． 【详解】（1）解：设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子， 由题意可得，解得：， 答：买1头牛需要3两银子，买1只羊需要2两银子． （2）解：设购买了m头牛，n只羊， 由题意可得，解得； 答：购买了7只羊． （3）解：设购买a头牛，b只羊， 依题意有，则， ∵a、b都是正整数， ∴共有三种购买方案： ①当时，，即购买1头牛，9只羊； ②当时，，购买3头牛，6只羊； ③当时，，购买5头牛，3只羊． 当均不符合题意． 答：共有三种购买方案，最多买5头牛． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳尺，竿尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设绳尺，竿尺， 由题意得，， 故选：． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 4．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设人数为人，货物总价为钱．每人出7钱时，总出资金额为，多出2钱，因此货物总价比少2钱，即．每人出6钱时，总出资金额为，差3钱，因此货物总价比多3钱，即．据此即可得到方程组． 【详解】解：设人数为人，货物总价为钱， 由题意可列方程组． 故答案为： 6．（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯（除去增高部分）的高度为， 由题意得：， 解得：， ∴设个纸杯叠放在一起的高度为， 则， 解得：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 【答案】20 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程的应用，通过幻方的性质，利用行、列和对角线的和相等建立方程，求解出和的值，再计算，正确求出和的值是解此题的关键． 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴由第一行和主对角线之和相等得：， 化简得：， 解得：． 由第三列和第一行之和相等得：， 代入得：， 解得：． ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 10．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，读懂题意，由等量关系列出方程是解决问题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图形中长宽建立方程组求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意可得， 解得， 答：小长方形的长为，宽为． 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 【答案】演员的实际身高为，高跷的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设演员的实际身高为，高跷的高度为，等量关系：高跷高度为表演者实际身高的一半；演员的实际身高加上高跷的高度再减去等于；据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设演员的实际身高为，高跷的高度为， 则， 解得， 答：演员的实际身高为，高跷的高度为． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 13．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）春节临近，某干果店老板购进甲，乙两种坚果，若每次进价不变，第一次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元；第二次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元． (1)求甲，乙两种坚果的进价分别是多少元/袋？ (2)若该干果店老板计划再用元购进甲，乙两种坚果（两种坚果都购买），只能购进整数袋，请问这次进货有哪几种方案？说明理由． 【答案】(1)甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋 (2)这次进货有种方案，分别是：①购进甲坚果袋，乙坚果袋；②购进甲坚果袋，乙坚果袋；③购进甲坚果袋，乙坚果袋 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、二元一次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据两次购买所花费用列方程组即可解出结果； （2）根据计划费用列二元一次方程，并求其正整数解确定购买方案． 【详解】（1）解：设甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋， 根据题意，得         解得 答：甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋． （2）解：这次进货有种方案，理由如下： 设购进甲坚果袋，乙坚果袋， 根据题意，得，            整理，得， 、均为正整数， 或或 答：这次进货有种方案，分别是： ①购进甲坚果袋，乙坚果袋； ②购进甲坚果袋，乙坚果袋； ③购进甲坚果袋，乙坚果袋． 14．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某学校计划采购60副乒乓球拍与盒乒乓球．调查了解的情况如下： 信息1：甲、乙两家商店中，同一品牌的每幅乒乓球拍的销售价格相同，同一品牌的每盒乒乓球的销售价格也相同． 信息2：已知每副乒乓球拍的单价比每盒乒乓球的单价多30元，且购买2副乒乓球拍的费用，恰好与购买5盒乒乓球的费用相等． 【信息运用】 （1）根据调查信息，求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是多少？ 【方案优化】 经过与甲、乙两家商店洽谈后，两商店分别给出了优惠方案： 甲商店：每购买3副乒乓球拍，就赠送2盒乒乓球； 乙商店：购买乒乓球拍和乒乓球均享受八折优惠． （2）请用含的式子分别表示在甲、乙两商店采购所需的费用． （3）当为何值时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同？ 【答案】（1）每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是50元和20元； （2），； （3） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次方程的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． （1）设每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别为x元、y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据两商店的优惠方案列代数式即可； （3）根据（2）的得到甲、乙两商店采购所需的费用，再根据甲、乙两家商店采购所需费用相同列关于a的方程求解即可． 【详解】解：（1）设每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别为x元、y元， 由题意可得：，解得：， 答：每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是50元和20元． （2）甲商店采购所需的费用：； 乙商店采购所需的费用：； （3）当，解得：． 所以当时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同． 15．（25-26八年级上·山西晋中·期末）根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低 【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得，， 解得， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得，， 整理得，， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种方案： ①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ∵， ∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低． 16．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． (1)求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； (3)若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 【答案】(1)辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货4吨 (2)共有种租车方案，方案：租用辆甲型车，辆乙型车；方案：租用辆甲型车，辆乙型车 (3)最省钱的租车方案为：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，列方程组求解即可； （2）根据共需要运送吨施工材料，可列二元一次方程，整理可得：，根据，均为正整数且，得到共有种方案； （3）分别计算两种方案所需费用，通过比较选择费用较少的方案． 【详解】（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨； （2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 整理得：， ，均为正整数， 解得：或或或， 又， 共有种租车方案， 方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车， 方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车； （3）解：方案所需租金为（元）， 方案所需租金为（元）， ， 最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆， 答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $