专题16 一次函数中规律、最值、平移与新定义型问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题16 一次函数中规律、最值、平移与新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数中的规律探究问题 题型二、一次函数中求线段和最值问题 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 题型四、一次函数中分段函数探究问题 题型五、一次函数中的新定义型综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及点列规律、区间最值、图象平移及现场定义新运算或新概念。 - 解题方法：规律题列前几项找等差/周期，用n表示；最值看k正负与区间端点；平移遵循“左加右减、上加下减”；新定义严格转化为一次函数条件求解。 - 易错提醒：规律题未验证即下结论；最值忽略自变量范围；平移时x与b混淆；新定义中约束条件遗漏。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数中的规律探究问题 典例1 （25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一次函数图象上点按规律排列（如等距、周期），求第n个点坐标或函数值。 2.方法：列举前几个点坐标，找横纵坐标的递推或等差规律，用含n的式子表示通项，验证后代入n求解。 变式1-1（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． 变式1-2（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，过点，作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点按照此规律进行下去，点的坐标为____________． 变式1-3（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 题型二、一次函数中求线段和最值问题 典例2 （25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一次函数图象上动点与两定点连线，求线段和的最小值，常用对称转化。 2.方法：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为所求，用两点距离公式求最小值。 变式2-1（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 变式2-2（25-26九年级上·天津·开学考试）如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 变式2-3（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． (1)当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； (2)当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 典例3 （25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 题型模版 1.特征：一次函数图象平移后与坐标轴或另一条直线围成图形，求新解析式或面积、交点。 2.方法：按“上加下减、左加右减”得平移后解析式，再求交点坐标，用面积公式或距离公式计算。 变式3-1（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 变式3-2（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 题型四、一次函数中分段函数探究问题 典例4 （26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）某校初二年级某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 4 3 2 0 1 3 4 ．．． 填空：___________，___________． (2)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (3)由函数图象可得： ①当___________时，随的增大而___________； 当___________时，随的增大而___________； ②当___________时，函数有最___________值为___________． 题型模版 1.特征：实际问题中费用、路程等随自变量分段变化，各段均为一次函数，需分段讨论。 2.方法：按分界点写出各区间的一次函数表达式，根据自变量所在区间代入对应式，求值或逆向解方程并检验区间。 变式4-1（25-26八年级下·河北沧州·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小亮同学运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究． 【初步感知】 (1)①列表填空： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 0 1 2 … ②在下图所示的平面直角坐标系内描点，并画出函数的图象； 【深入探究】 (2)根据（1）②中作出的函数图象，写出函数的两条性质； 【类比应用】 (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ 变式4-2（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题. ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 … (1)表格中：________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察函数的图象，写出该图象的任意一条性质． 变式4-3（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级（上）数学教材1.2.4绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级（下）数学教材第二十二章中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决： (1)任务1：对于函数，当时，化简函数的表达式：当时，______；当时，_____； (2)任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，回答下列问题： (3) (4)根 ①函数图象最低点坐标为：________； ②当自变量时，函数y的取值范围为：________； ③当时，y随x的增大而_______（填增大或减小）． (5)任务3：当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求m的值． 题型五、一次函数中的新定义型综合问题 典例5 （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 题型模版 1.特征：给出与一次函数相关的新定义（如“关联点”），按规则求值或判断，重理解迁移。 2.方法：将新定义转化为坐标关系或函数条件，代入一次函数解析式，列方程或不等式求解并验证。 变式5-1（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 变式5-2（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称A的雅值点为B，例如：点的雅值点为． (1)点的雅值点坐标是________；若点A的雅值点为，则点A的坐标是________； (2)如图1，直线l是一次函数的图象．已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若为以为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； (3)点M坐标为，点N是点M的雅值点，在x轴上是否存在点P，使得，若存在请直接写出P点坐标，若不存在请说明理由． 变式5-3（25-26八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．新定义题  规定：是一次函数（，为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 6．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，则 ． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 10．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________； 当时，随的增大而________； 当时，随的增大而________； (4)进一步探究，不等式的解集是________． 11．如图，直线与两坐标轴分别相交于点，点是线段上任意一点（两点除外），过分别作于点于点． (1)当点在上运动时，则四边形的周长________． (2)当四边形为正方形时，将正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，在平移过程中，当平移距离为多少时，正方形的面积被直线分成两个部分？ 12．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标． (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值； (3)如图，点是直线上一点，且在点的下方． 求的面积； 以为边在第四象限作等腰直角三角形，求出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 一次函数中规律、最值、平移与新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数中的规律探究问题 题型二、一次函数中求线段和最值问题 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 题型四、一次函数中分段函数探究问题 题型五、一次函数中的新定义型综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及点列规律、区间最值、图象平移及现场定义新运算或新概念。 - 解题方法：规律题列前几项找等差/周期，用n表示；最值看k正负与区间端点；平移遵循“左加右减、上加下减”；新定义严格转化为一次函数条件求解。 - 易错提醒：规律题未验证即下结论；最值忽略自变量范围；平移时x与b混淆；新定义中约束条件遗漏。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数中的规律探究问题 典例1 （25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、坐标的规律变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据点由轴对称可得点，再逐次由轴对称得，，……，由此即可归纳类推出一般规律，由此即可得，代入，即可求得点的纵坐标． 【详解】解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴， 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； ……， ∴， 当时，， 代入， 得， ∴． 故选：B． 题型模版 1.特征：一次函数图象上点按规律排列（如等距、周期），求第n个点坐标或函数值。 2.方法：列举前几个点坐标，找横纵坐标的递推或等差规律，用含n的式子表示通项，验证后代入n求解。 变式1-1（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． 变式1-2（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，过点，作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点按照此规律进行下去，点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据求得点的坐标，同理可求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点，设点的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为； 点的坐标为，点的坐标为； 点的坐标，点的坐标， ∴点的坐标为． 变式1-3（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 【答案】(1)；；； (2)①A；；②B； 【分析】（1）根据一次函数表达式求出点的坐标及点的坐标，进而求出结论； （2）根据题意可得，，（其中为自然数），据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一次函数，当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； 当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； （2）解：①由（1）知：，，，，， 在中，当时，， ∴点的坐标是； 以此类推可得：，，（其中为自然数）， ∵， ∴点在直线上，其坐标为； ②∵， ∴点在轴上，其坐标为． 题型二、一次函数中求线段和最值问题 典例2 （25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 题型模版 1.特征：一次函数图象上动点与两定点连线，求线段和的最小值，常用对称转化。 2.方法：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为所求，用两点距离公式求最小值。 变式2-1（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短．设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得， ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为，的最小值为． 故答案为：． 变式2-2（25-26九年级上·天津·开学考试）如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，，分别代入求解即可； （2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，即可得到点坐标，再由，即可求出点的坐标； （3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即为所求． 【详解】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； （2）解：由（1）可知：， 如图，    设长为，则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，    由（2）知：， 点，关于对称， ， ， ∴当三点共线，且轴时，的值最小， 即到轴距离为最小值， 由（2）知：， 的最小值为． 变式2-3（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． (1)当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； (2)当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】（1）①根据，，推出，所以；设直线的解析式为，将点的坐标代入即可求出解析式； ②过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、．则，所以，，即； （2）由可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，的最小值为的长度，此时，即可求出坐标． 【详解】（1）解：①，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解析式：； ②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、． 则， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ； （2）解：由可知，在轴负半轴同理可说明） 点在直线上运动，设直线交轴于点M， 作点关于直线的对称点， ，， ． 当、C、在同一直线上时，的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， 此时， ． 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 典例3 （25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 题型模版 1.特征：一次函数图象平移后与坐标轴或另一条直线围成图形，求新解析式或面积、交点。 2.方法：按“上加下减、左加右减”得平移后解析式，再求交点坐标，用面积公式或距离公式计算。 变式3-1（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了一次函数平移，对称的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由平移的性质即可求解； （2）①先求出函数图像平移后的解析式，再根据图象的平移就是点的平移即可求解； ②一次函数的图象关于轴对称，将x替换为即可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：， 图象的平移就是点的平移， 直线对应的函数表达式为； ②一次函数的图象关于轴对称， 函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等， 将x替换为，， 故答案为：． 变式3-2（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 变式3-3（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①； ②如图所示： ③左，2 (2)左，9 (3)右， (4) 如图所示： 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象． ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）略 题型四、一次函数中分段函数探究问题 典例4 （26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）某校初二年级某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 4 3 2 0 1 3 4 ．．． 填空：___________，___________． (2)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (3)由函数图象可得： ①当___________时，随的增大而___________； 当___________时，随的增大而___________； ②当___________时，函数有最___________值为___________． 【答案】(1)1，2 (2) (3)①，增大；，减小；②，小，0 【分析】（1）把的值代入解析式求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，； （2）略 （3）解：由图象可知， ①当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； ②当时，函数有最小值为0． 题型模版 1.特征：实际问题中费用、路程等随自变量分段变化，各段均为一次函数，需分段讨论。 2.方法：按分界点写出各区间的一次函数表达式，根据自变量所在区间代入对应式，求值或逆向解方程并检验区间。 变式4-1（25-26八年级下·河北沧州·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小亮同学运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究． 【初步感知】 (1)①列表填空： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 0 1 2 … ②在下图所示的平面直角坐标系内描点，并画出函数的图象； 【深入探究】 (2)根据（1）②中作出的函数图象，写出函数的两条性质； 【类比应用】 (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ 【答案】(1)①列表如下： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 0 0 1 2 … ②如下图所示 (2)增减性：当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小； 对称性：函数图象关于直线对称； (3)函数有最大值；当时，函数有最大值，最大值为3． 【分析】（1）①分别将、、代入计算即可； ②根据表格描点连线即可； （2）根据函数图象作答即可； （3）将转化为，进而结合的性质作答即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 列表略； ②作图略； （2）略； （3）解：由图象可知：函数有最小值，且当时，函数有最小值，最小值为， ， ∴函数有最大值，当时，函数有最大值，最大值为3． 变式4-2（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题. ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 … (1)表格中：________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察函数的图象，写出该图象的任意一条性质． 【答案】(1)3；5 (2)如图函数图像即为所求作： (3)观察函数的图像，该图像的性质有： 关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴，； （2）略 （3）略 变式4-3（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级（上）数学教材1.2.4绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级（下）数学教材第二十二章中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决： (1)任务1：对于函数，当时，化简函数的表达式：当时，______；当时，_____； (2)任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，回答下列问题： (3) (4)根 ①函数图象最低点坐标为：________； ②当自变量时，函数y的取值范围为：________； ③当时，y随x的增大而_______（填增大或减小）． (5)任务3：当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求m的值． 【答案】(1)； (2)；①；②；③减小 (3)或6 【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可； （2）利用描点法画出函数图象；再结合函数图象解答①②③即可； （3）分三种情况：①，②，③，利用函数的增减性、结合函数图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，则； 当时，，则． （2）解：对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在平面直角坐标系中，描点画出函数图象：略． ①由函数图象可知，函数图象最低点坐标为； ②由函数图象可知，当自变量时，； ③由函数图象可知，当时，随的增大而减小． （3）解：①如图，当时，画出函数大致图象如下： 由函数图象可知，当时，随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为， 解得，符合题设； ②如图，当时，画出函数大致图象如下： 由函数图象可知，在内，当时，的值最小，最小值为0，不符合题意，舍去； ③如图，当时，画出函数大致图象如下： 由函数图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 解得，符合题设； 综上，的值为或6． 题型五、一次函数中的新定义型综合问题 典例5 （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 【答案】(1)2 (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质： （1）把点 代入的“异号函数”，即可求解； （2）根据题意可得一次函数的“异号函数”为，再根据一次函数的增减性解答即可； （3）根据题意画出新函数的图象，再结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：的“异号函数”为， ∵点在的“异号函数”的图象上， ∴，解得：； （2）解：一次函数的“异号函数”为， ∵， ∴函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时该“异号函数”的最大函数值为； （3）解：一次函数的“异号函数”为， 新函数的图象，如图： 对于一次函数，当时，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 对于一次函数，当时，y随x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∵当时，， ∴． 故答案为：；2 题型模版 1.特征：给出与一次函数相关的新定义（如“关联点”），按规则求值或判断，重理解迁移。 2.方法：将新定义转化为坐标关系或函数条件，代入一次函数解析式，列方程或不等式求解并验证。 变式5-1（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可； （3）先求出或，根据 “完美等距点”的定义得到，构造“三垂直全等”求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是“等距点”； ∵， ∴， ∴C不是“等距点”； ∵， ∴， ∴是“等距点”， ∵， ，， ∴是“完美等距点”， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一动点， ∴， ∴， 而，，原点O为线段的“等距点” ∴， ∴， ∴， 解得：, ∴或； （3）解：设，由， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∵H是线段的“完美等距点”， ∴， 线段上方的点H记为，过点作轴的垂线，再过点分别作垂线的垂线，垂足为，如图： 则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 设， 则， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 点线段下方的点H记为，构造同样辅助线， 同理可求：； 当时，线段上方的点H记为，线段下方的点H记为，构造同样的辅助线，如图： 同上可求：， 综上所述，“完美等距点”的坐标为：或或或． 变式5-2（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称A的雅值点为B，例如：点的雅值点为． (1)点的雅值点坐标是________；若点A的雅值点为，则点A的坐标是________； (2)如图1，直线l是一次函数的图象．已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若为以为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； (3)点M坐标为，点N是点M的雅值点，在x轴上是否存在点P，使得，若存在请直接写出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)点C的坐标为：或或 (3)存在， 【分析】（1）根据雅值点定义进行计算填空即可； （2）设点D的坐标为，则点D的雅值点，利用点E在一次函数图象上求出m值，得到点D坐标，设点C的坐标为，分两种情况：当时，，当时，，分别列出方程，利用平方根定义，解方程即可； （3）先求出点N的坐标，过点N作，交于点F，过点N作轴，过点F作于点G，过点M作于点H，利用一线三垂直模型证得，从而求得点F的坐标，通过待定系数法求出直线的解析式，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据雅值点的定义，点的雅值点坐标是，即， 设，由点A的雅值点为，可知， 解得：， ∴点A的坐标为． （2）解：设点D的坐标为，则点D的雅值点， ∵点在直线图象上， ∴， 解得：， ∴，， 设点C的坐标为， ∴，，， 当时，， 即， 解得：， ∴此时点C的坐标为或； 当时，， 即， 解得：或（舍）， ∴此时点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为：或或． （3）解：∵点M坐标为，点N是点M的雅值点， ∴，即， ∵， 如图，过点N作，交于点F，过点N作轴，过点F作于点G，过点M作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 变式5-3（25-26八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，由等腰直角三角形的性质并结合图形可得，由一次函数图象的平移法则可得直线的解析式为，再将代入直线的解析式，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，点， ∴结合图象可得， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 2．新定义题  规定：是一次函数（，为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征，先根据“特征数”确定一次函数表达式，利用正比例函数定义求出的值，再计算点的坐标然后即可得出所在象限. 【详解】解：根据题意可得为正比例函数； 解得 可化为，它在第一象限， 故选：A. 3．如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律．本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 【详解】解：由直线可知， 当时，则， ∴， ∵平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，且， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得出轴， 得出 把代入 得出 ∴， 则， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 同理得，，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， 由此可得， 所以，当动点到达处时，运动的总路径的长为， ∴则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为 故选：D． 二、填空题 4．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由，则，又由勾股定理得，故，又设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，故，可得，则，进而计算可以得解． 【详解】解：， ， 设平移距离为， 平移后点的坐标为，点的坐标为， 又点在直线上， ． ∴， ， 线段的长为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，    ∵点关于轴的对称点， ∴，， ∵A点关于直线的对称点，， ∴，， ∴， 此时，值最小，最小值， ∵，， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 6．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，则 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法．利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：设直线图象上“5阶和点”为， 则， ∵直线经过一、二、三象限， 当在第一象限，则， 解得， ∴“5阶和点”为， 代入得， 解得， 当在第二象限，则， 方程无解， 在第三象限，则， 解得， ∴“5阶和点”为， 代入得， 解得， 故答案为：6或． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、轴对称求最短路径以及三角形面积的相关计算，熟练掌握待定系数法、轴对称的性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，将已知点、的坐标代入求解． （2）根据轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，再用勾股定理计算． （3）由，得出，设，分两种情况讨论：当点在左侧时，当点在左侧时，结合图形讨论即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 9．定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 10．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________； 当时，随的增大而________； 当时，随的增大而________； (4)进一步探究，不等式的解集是________． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3)，减小，增大 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围； 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：3； （2）解：先描点，再画出该函数图象的另一部分，下图为所求： （3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； （4）解：依题意， 则或， 解得或， 故答案为：或． 11．如图，直线与两坐标轴分别相交于点，点是线段上任意一点（两点除外），过分别作于点于点． (1)当点在上运动时，则四边形的周长________． (2)当四边形为正方形时，将正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，在平移过程中，当平移距离为多少时，正方形的面积被直线分成两个部分？ 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为，根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）当四边形为为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离． 【详解】（1）解：设，设，则． ∵，，， ∴，， ∴四边形的周长 ． 故答案为：8； （2）解：∵当四边形为正方形时，， 即，解得：， ∴． ∵正方形的面积被直线分成两个部分， ∴两部分的面积分别为1和3． 当时，如图1所示： ∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，由得， ∴，， ∴，又， ∴，则， ∴为等腰直角三角形． ∴． 由． ∴（负值已舍去），即； 当时，如图2所示： ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，解得：． ∴，即． 综上所述，当平移的距离为或时，正方形的面积被直线分成两个部分． 12．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标． (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值； (3)如图，点是直线上一点，且在点的下方． 求的面积； 以为边在第四象限作等腰直角三角形，求出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式，点的坐标为； (2) (3)；，， 【分析】本题考查一次函数综合应用，掌握求函数解析式方法，求坐标点的方法是解题的关键． （）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将代入关系式，求出，即可得出点的坐标； （）确定点关于x轴的对称点，再根据轴对称说明的值最小，然后根据勾股定理求出答案； （）①先求出，，再根据得出答案； ②先以为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可； 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，分别把，代入得 ， 解得： ， ∴直线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，如图， 当点，，三点共线，即连接交轴于点，此时存在点使的值最小，的值最小为； （3）解：根据题意可知 ，，， ， 以为直角边作等腰直角，，则为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴轴， ∴， 则点，， ∵， ∴ 轴，， 则点， 综上所述：，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $