专题05 二元一次方程与一次函数（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题05 二元一次方程与一次函数 常考题型·精准突破 题型1 利用待定系数法求一次函数的解析式（重） 题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型3 图象法解二元一次方程组（高频） 题型4 已知两直线求围成的图形面积 题型5 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题（难） 题型6 二元一次方程组与一次函数综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用待定系数法求一次函数的解析式 1． 【答案】(1)函数表达式为． (2)． (3)与 轴交点，与 x 轴交点． 【分析】（1）先设一次函数标准形式，把两组数值代入得到方程组，计算求出，写出函数表达式． （2）把 代入已经求出的函数式子，计算得到对应的 y值为 7． （3）求与轴交点时令等于 0 算出；求与 x 轴交点时令等于 0 算出，得到两组交点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为：， 把和代入式子： 两式相减：， ，解得 ． 把代入：，解得 ． 所以一次函数表达式：． （2）解：把代入： ． 所以当时，． （3）解：与轴交点：令，，交点． 与轴交点：令，，，，交点． 答：与 y轴交点，与 x轴交点． 2． 【答案】(1) (2) (3)解：不在，理由： 当时，， 所以点不在该函数的图象上． 【分析】（1）根据题意，设，把，代入求出，即可得到y与x之间的函数表达式； （2）把代入计算即可； （3）把代入，求出的值，进而判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 把，代入，得， 所以． 所以与之间的函数表达式为； （2）解：把代入，得； （3）略． 3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，将，两点代入求解即可； （2）分别求出当时和当时的y值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过，两点． ∴ 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：由（1）可知 ∵ ∴当时，； 当时，， ∵ ∴随的增大而减小 ∴当时，函数值的取值范围为． ◆题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解 4． 5． 6． ◆题型3 图象法解二元一次方程组 7． 8． 9． ◆题型4 已知两直线求围成的图形面积 10． 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）直接根据三角形面积公式计算即可； （2）把代入求出，再用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，边上的高为8， ∴； （2）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得，， 解得， ∴一次函数的解析式为． 11． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，得到，再联立函数解析式求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 由，解得， ∴， ∴． 12． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由分别令和求出、坐标，再由为中点得坐标，用待定系数法求直线解析式． （2）由题意，求出，，设点的横坐标为，用表示的面积，求即可． 【详解】（1）解：令，，解得， ， 令，， ， 为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：，，，， ， ， ， 点、均在轴上，， 设点的横坐标为， ， ，解得， 点在射线上，射线从出发经过向第二象限延伸， ， 当时，代入得， ， 当时，代入得， ， 点的坐标为或． ◆题型5 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 13． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】（1）根据函数图象，分别可求出和与之间的函数表达式； （2）结合（1），求出时，和的值，相减即可； （3）结合（1）列出方程可得答案． 【详解】（1）解：政府工程队：图像过、， 设．代入得， 解得， ． 村民工程队： ① 当时，图像过、， 设． 代入得， 解得， ． ② 当时，图像过、， 设． ， 解得：． ． 综上：． （2）解：当时， ，． ， 即工作时，村民工程队比政府工程队多拓宽马路． （3）解：时，，长度不可能相等． 故只考虑， 令，得， 解得． 答：工作时间为小时时，两队拓宽马路长度相等． 14． 【答案】(1) (2)购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设购买甲道具件，先求出a的取值范围，再设该公司付款总金额为元，列出w关于a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为，         则，解得， 即；                 当时，设函数解析式为，则， 解得 即，                             综上可知，； （2）解：设购买甲道具件，则 ， 解得，     设该公司付款总金额为元，则      ， 随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元． 15． 【答案】(1)（） (2)商场能获得的最大利润为2400元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为元，根据题意列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为元，根据题意，列出函数关系式，分、和三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴函数关系式为（）； （2）解：设商场能获得的利润为元， 根据题意得， ， 随的增大而增大， ， ∴当时，取最大值， ， 即商场能获得的最大利润为2400元； （3）解：设调整后的总利润为元， 根据题意得， 当，即时，随增大而增大，最小值在处取得，代入得，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，随增大而减小，最小值在处取得，代入得，解得，符合题意； 当，即时， ，不符合题意，舍去； 综上，． ◆题型6 二元一次方程组与一次函数综合问题 16． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，连接，分割法求出四边形的面积即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把点，点代入函数解析式，得： ，解得， ∴； （2）解：∵分别与轴、轴交于点、， ∴当时，，当时，， ∴， 联立，解得， ∴， 设平移后直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，， ∴， 连接， ； （3）解：由（2）知：， ∴， 设， ∵， ∴，， 当为等腰三角形时，分3种情况： ①，则，即， 当时，两点重合，不符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，，解得； ③当时，，解得； 综上：点的横坐标为或或. 17． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出点和点的坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）设，其中，则，求出，根据即可求出答案； （3）分当在线段上和当在线段上，两种情况画出图形，用勾股定理列方程可解得答案． 【详解】（1）解：对于， 令得， 令得， ，， 直线与直线关于轴对称， ， 设直线的函数解析式为， 将、代入得： ，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：设，其中，则， ， ， 解得， ； （3）解：设，则， 当在线段上，如图： 轴， ，即， ， ， ， ， ，，， ， 解得； ； 当在线段上，如图： 直线与关于轴对称， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ，，， ， 解得； ； 综上可知，存在，点的坐标为或． 18． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为或 【分析】（1）先求出和得到，最后根据计算即可； （2）根据对称得到，则，设，，根据，得到，代入计算即可； （3）先求出，，再根据，得到，设，，根据列方程计算即可； （4）先求出直线解析式为，设，，则，，得到，最后根据列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴令，则，即；令，解得，即； ∴， ∴； （2）解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限， ∴设，， ∵， ∴，即， ∴， 解得，此时， ∴； （3）解：由题意得点的纵坐标为1，且在上， ∴当时，解得， ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等，即， ∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限， ∴设，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为； （4）解：∵， 同理可得直线解析式为， ∵在（3）的条件下，点为线段上一点， ∴设，， ∵过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上所述，点的坐标为或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．D 3．A 4．C 二、填空题 5． 6． 7． 8．或 三、解答题 9． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一次函数上的点的坐标特征，熟练掌握运用待定系数法求函数解析式是解决本题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式． （2）先确定点的位置，再求的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由题意得 直线的表达式为：． （2）解：过点， ． ． ． 当时，． ． ，，， ，． ． 10． 【答案】(1)； (2)购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）结合函数图象，利用待定系数法即可得； （2）根据题意可得，购进乙种水果千克，表示出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 所以当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意可得，购进乙种水果千克， 因为当时，， 所以当时，． 因为， 所以随的增大而增大， 所以当时，最小，此时． 答：购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 11． 【答案】(1) (2)直线能经过点． 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系： （1）把代入可求出的值；由直线与直线相交于点可得结论； （2）把分别代入和，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得． ∴直线l和直线m的交点坐标为， 即方程组的解为； （2）解：直线也经过点P． 理由如下：将点代入直线，得 ， 将点代入直线，得 ， 联立解得 ∴当时，直线也经过点P． 12． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求函数表达式以及根据三角形面积关系确定点的坐标． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求所在直线的函数表达式； （2）先求出的面积，再根据直线将分成面积相等的两部分，确定点的纵坐标，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， 所以， 设所在直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：因为， 所以． 当时，如答图，直线交于点，且， 过点作于点，所以， 即，解得． 在中，令，得， 所以； 当时，直线经过第二、四象限，与线段交于一点， 因为， 所以不存在的值，使直线将分成面积相等的两部分． 综上所述，点的坐标为． 13． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点代入，得，求出点，根据点，，利用待定系数法即可求出直线解析式； （）根据两条直线交点坐标为，即可确定方程组的解； （）两个直线解析式分别令，即可求出点和点，即可求出，结合点的坐标利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴点， 把点，代入，得 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵直线与的交点的坐标为， ∴的解为； （3）解：在中，令，得， 解得， ∴点， 在中，令，得， 解得， ∴点， ∴， ∴． 14． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意可知，，然后解方程即可得出答案； （3）分2种情况进行讨论，或分别解方程即可． 【详解】（1）解：（1）设，代入 得到：， 解得：， ∴， 设，代入，， 那么有，，解得 ∴； （2）解：两车相遇时，，那么有 解得： 故客车行驶的时间为； （3）解：两车相距时，那么有 或 解得或 故客车行驶的时间为或． 15． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键； （1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解； （2）将C的坐标代入，即可求解； （3）由和求出、的坐标，由三角形的面积公式即可求解； （4）由三角形面积公式得，由面积相等，即可求解； 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴把代入，解得：， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 把代入， 即， 把代入， 即； （3）解：对于直线，把代入得：， ∴， 对于直线，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴通过观察图像可得以为底边的高， ∴； （4）解：由题意得：， ∵与的面积相等， ∴， 解得：， ∵点是异于点， ∴， ∴， 把代入，解得：， ∴； 16． 【答案】(1) (2) (3) (4)上，3 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式和一次函数解析式图象的性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案； （3）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案； （4）根据图象平移的规律得到答案即可； 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可知：一次函数的表达式为， ∵， ∴随的增大而增大； 当， ∴； （3）解：由（2）可知：随的增大而增大， ∴当时，其中时，有最小值为； 故答案为：． （4）解：由（1）可知：，由的图象向上移动3个单位长度变成的图象； 故答案为：上，3． 17． 【答案】(1)每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元； (2)①(，且为5的正整数倍)；②W与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键； （1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元，根据题中等量关系可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再结合，均为正整数，即可得出的取值范围； 根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元． （2）（2）根据题意，得， ， ， ， ， 又，为正整数， ， 与之间的关系式为(，且为5的正整数倍) ． 根据题意，得 ， ， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值为， 答：与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为1900元． 18． 【答案】(1)： (2)①证明见解析；② 【分析】（1）求出A、B的坐标，从而求出的长度，根据求出的长度，从而可求C、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）①证明即可；②，其最小值即为取得最小值时取得，而时，取得最小值，根据等面积法即可求得答案． 本题考查了一次函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理、熟练掌握相关定理或性质是解题关键． 【详解】（1）解：对于直线， ∴当时，；当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为 ， ∵， ∴ ∴ 设为，则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）①证明： ， ∴在和中，， ∴， ∴； ②由①知． ∵ 的面积是， ∴当取得最小值时，面积取得最小值． ∵ ． 当时，取得最小值， 利用等面积法：， ∴， ∴面积的最小值是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程与一次函数 常考题型·精准突破 题型1 利用待定系数法求一次函数的解析式（重） 题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型3 图象法解二元一次方程组（高频） 题型4 已知两直线求围成的图形面积 题型5 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题（难） 题型6 二元一次方程组与一次函数综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用待定系数法求一次函数的解析式 1．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求当时y的值； (3)求函数图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)函数表达式为． (2)． (3)与 轴交点，与 x 轴交点． 【分析】（1）先设一次函数标准形式，把两组数值代入得到方程组，计算求出，写出函数表达式． （2）把 代入已经求出的函数式子，计算得到对应的 y值为 7． （3）求与轴交点时令等于 0 算出；求与 x 轴交点时令等于 0 算出，得到两组交点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为：， 把和代入式子： 两式相减：， ，解得 ． 把代入：，解得 ． 所以一次函数表达式：． （2）解：把代入： ． 所以当时，． （3）解：与轴交点：令，，交点． 与轴交点：令，，，，交点． 答：与 y轴交点，与 x轴交点． 2．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值； (3)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不在，理由： 当时，， 所以点不在该函数的图象上． 【分析】（1）根据题意，设，把，代入求出，即可得到y与x之间的函数表达式； （2）把代入计算即可； （3）把代入，求出的值，进而判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 把，代入，得， 所以． 所以与之间的函数表达式为； （2）解：把代入，得； （3）略． 3．（25-26八年级下·云南德宏·期末）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，将，两点代入求解即可； （2）分别求出当时和当时的y值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过，两点． ∴ 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：由（1）可知 ∵ ∴当时，； 当时，， ∵ ∴随的增大而减小 ∴当时，函数值的取值范围为． ◆题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解 4．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）已知一次函数（，为常数，且）与正比例函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，先求出交点的横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：把代入，得， 解得， 点坐标为． 将原方程组变形可得， 该方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标，即原二元一次方程组的解为． 5．（25-26八年级下·河南焦作·期末）若函数与的图象交于点，则方程组的解为______________． 【答案】 【分析】先将交点代入解析式求出的值，再根据一次函数图象的交点是方程组的解． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴点代入函数得 ， 解得， ∴点坐标为， ∴方程组的解为． 6．（25-26八年级下·北京大兴·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与直线的交点坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为． ◆题型3 图象法解二元一次方程组 7．（25-26八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 8．（25-26八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】先求出，再结合直线与直线相交于点，即可得出结果． 【详解】解：将代入直线得，即， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴关于，的方程组的解是． 9．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，然后根据图象法解方程组即可． 【详解】解：把代入得：， ∴点， ∴二元一次方程组的解是． ◆题型4 已知两直线求围成的图形面积 10．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的面积； (2)求这个一次函数的表达式． 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）直接根据三角形面积公式计算即可； （2）把代入求出，再用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，边上的高为8， ∴； （2）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得，， 解得， ∴一次函数的解析式为． 11．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，直线经过点． (1)求直线的表达式； (2)直线与轴交于点，直线与直线交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，得到，再联立函数解析式求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 由，解得， ∴， ∴． 12．（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是射线上的动点，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由分别令和求出、坐标，再由为中点得坐标，用待定系数法求直线解析式． （2）由题意，求出，，设点的横坐标为，用表示的面积，求即可． 【详解】（1）解：令，，解得， ， 令，， ， 为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：，，，， ， ， ， 点、均在轴上，， 设点的横坐标为， ， ，解得， 点在射线上，射线从出发经过向第二象限延伸， ， 当时，代入得， ， 当时，代入得， ， 点的坐标为或． ◆题型5 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 13．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）某镇政府组织工程队（简称政府工程队）和某行政村村民组织的工程队（简称村民工程队）同时拓宽两条村村通马路，拓宽马路长度与工作时间之间函数关系图象如图，根据图象中提供的信息，完成下列任务． (1)分别求出和与x之间的函数表达式； (2)工作时，村民工程队比政府工程队多拓宽马路_________； (3)当政府工程队和村民工程队拓宽马路长度相等时，求工作时间x． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】（1）根据函数图象，分别可求出和与之间的函数表达式； （2）结合（1），求出时，和的值，相减即可； （3）结合（1）列出方程可得答案． 【详解】（1）解：政府工程队：图像过、， 设．代入得， 解得， ． 村民工程队： ① 当时，图像过、， 设． 代入得， 解得， ． ② 当时，图像过、， 设． ， 解得：． ． 综上：． （2）解：当时， ，． ， 即工作时，村民工程队比政府工程队多拓宽马路． （3）解：时，，长度不可能相等． 故只考虑， 令，得， 解得． 答：工作时间为小时时，两队拓宽马路长度相等． 14．（25-26八年级下·河北唐山·期末）某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示， (1)求与之间的函数解析式； (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值． 【答案】(1) (2)购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设购买甲道具件，先求出a的取值范围，再设该公司付款总金额为元，列出w关于a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为，         则，解得， 即；                 当时，设函数解析式为，则， 解得 即，                             综上可知，； （2）解：设购买甲道具件，则 ， 解得，     设该公司付款总金额为元，则      ， 随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元． 15．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 100 128 足球 80 105 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润是1860元，求的值． 【答案】(1)（） (2)商场能获得的最大利润为2400元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为元，根据题意列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为元，根据题意，列出函数关系式，分、和三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴函数关系式为（）； （2）解：设商场能获得的利润为元， 根据题意得， ， 随的增大而增大， ， ∴当时，取最大值， ， 即商场能获得的最大利润为2400元； （3）解：设调整后的总利润为元， 根据题意得， 当，即时，随增大而增大，最小值在处取得，代入得，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，随增大而减小，最小值在处取得，代入得，解得，符合题意； 当，即时， ，不符合题意，舍去； 综上，． ◆题型6 二元一次方程组与一次函数综合问题 16．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：分别与轴、轴交于点、，并与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图2，将直线向下平移，使得平移后的直线经过点，并与轴交于点，求四边形的面积； (3)若点为直线上一动点，且使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，连接，分割法求出四边形的面积即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把点，点代入函数解析式，得： ，解得， ∴； （2）解：∵分别与轴、轴交于点、， ∴当时，，当时，， ∴， 联立，解得， ∴， 设平移后直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，， ∴， 连接， ； （3）解：由（2）知：， ∴， 设， ∵， ∴，， 当为等腰三角形时，分3种情况： ①，则，即， 当时，两点重合，不符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，，解得； ③当时，，解得； 综上：点的横坐标为或或. 17．（26-27八年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图（1）， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 直线与直线关于轴对称，直线与轴交于点 ． (1)求直线的函数解析式； (2)如图（1），若点是线段上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标； (3)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出点和点的坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）设，其中，则，求出，根据即可求出答案； （3）分当在线段上和当在线段上，两种情况画出图形，用勾股定理列方程可解得答案． 【详解】（1）解：对于， 令得， 令得， ，， 直线与直线关于轴对称， ， 设直线的函数解析式为， 将、代入得： ，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：设，其中，则， ， ， 解得， ； （3）解：设，则， 当在线段上，如图： 轴， ，即， ， ， ， ， ，，， ， 解得； ； 当在线段上，如图： 直线与关于轴对称， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ，，， ， 解得； ； 综上可知，存在，点的坐标为或． 18．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)点与点关于轴对称，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点在一次函数的图象上，且在第一象限，，求点的坐标． (3)变式：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为1． 点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (4)在（3）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为或 【分析】（1）先求出和得到，最后根据计算即可； （2）根据对称得到，则，设，，根据，得到，代入计算即可； （3）先求出，，再根据，得到，设，，根据列方程计算即可； （4）先求出直线解析式为，设，，则，，得到，最后根据列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴令，则，即；令，解得，即； ∴， ∴； （2）解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限， ∴设，， ∵， ∴，即， ∴， 解得，此时， ∴； （3）解：由题意得点的纵坐标为1，且在上， ∴当时，解得， ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等，即， ∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限， ∴设，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为； （4）解：∵， 同理可得直线解析式为， ∵在（3）的条件下，点为线段上一点， ∴设，， ∵过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上所述，点的坐标为或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握两直线的交点是方程组的解是解题的关键． 根据两个函数图象交点的坐标就是二元一次方程组的解，再将两个函数变形即可得出答案． 【详解】解：可变形为，可变形为， 方程组的解为的是， 故选：B． 2．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键． 先将代入，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为．再求出分别求出点A，B的坐标，再分两种情况，根据求出坐标即可． 【详解】解：根据题意，将代入，得， 解得， ∴点C的坐标是； 将点代入，得， 解得， ∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，， ∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则， 解得， ∴； 如图，当点D在直线下方时，设点， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标是或． 故选：D． 3．如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】依据题意，根据直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，，进而可以判断①②；依据题意，由一次函数与的图象的交点为，进而可以判断③． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题的关键是根据图象确定一次函数中k和b的值． 【详解】解：由题意得，直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，， 又结合图象可得，， ，，故①正确，②错误； 又一次函数与的图象的交点为， 方程组的解为，故③正确． 故选：C． 二、填空题 5．已知一次函数的图象经过点和，则此函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式．把A、B两点的坐标代入函数解析式，就可得到一个关于k、b的方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得到解析式． 【详解】解：把和代入， 得， 解得， 则此函数的解析式为：． 故答案为：． 6．如图，一次函数的图象经过两点，与x轴交于点C，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点，的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． 根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，代入求出与之对应的值，进而可得出点的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时， 解得：， ∴点的坐标为，， ∴． 故答案为：． 7．如图，函数与为常数，且的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，根据函数图象的交点坐标，即可求出方程组的解． 【详解】解：∵函数与为常数，且的图象交于点， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 8．如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类讨论是解题关键． 根据一次函数的性质求出交点，，结合题意，设点，分三种情况分析：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，当点D在的延长线上时，结合图形，列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，解得：， ∴； ，当时，， ，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， 当点D在线段上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，不符合题意； 综上可得：点的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点、． (1)求直线l所对应的函数表达式． (2)若过点B，交y轴于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一次函数上的点的坐标特征，熟练掌握运用待定系数法求函数解析式是解决本题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式． （2）先确定点的位置，再求的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由题意得 直线的表达式为：． （2）解：过点， ． ． ． 当时，． ． ，，， ，． ． 10．某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期合作的关系，水果种植户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．经销商购进甲种水果所需支付金额（元）与质量（千克）之间的函数关系如图所示． (1)请写出当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额（元）最少？ 【答案】(1)； (2)购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）结合函数图象，利用待定系数法即可得； （2）根据题意可得，购进乙种水果千克，表示出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 所以当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意可得，购进乙种水果千克， 因为当时，， 所以当时，． 因为， 所以随的增大而增大， 所以当时，最小，此时． 答：购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 11．如图，直线与直线相交于点．    (1)求出关于的方程组的解； (2)直线能否也经过点？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线能经过点． 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系： （1）把代入可求出的值；由直线与直线相交于点可得结论； （2）把分别代入和，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得． ∴直线l和直线m的交点坐标为， 即方程组的解为； （2）解：直线也经过点P． 理由如下：将点代入直线，得 ， 将点代入直线，得 ， 联立解得 ∴当时，直线也经过点P． 12．如图，直线与轴、轴分别交于点．点的坐标为，连接． (1)求所在直线的函数表达式； (2)若直线与所在直线交于一点，并将分成面积相等的两部分，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求函数表达式以及根据三角形面积关系确定点的坐标． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求所在直线的函数表达式； （2）先求出的面积，再根据直线将分成面积相等的两部分，确定点的纵坐标，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， 所以， 设所在直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：因为， 所以． 当时，如答图，直线交于点，且， 过点作于点，所以， 即，解得． 在中，令，得， 所以； 当时，直线经过第二、四象限，与线段交于一点， 因为， 所以不存在的值，使直线将分成面积相等的两部分． 综上所述，点的坐标为． 13．如图，直线的表达式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点． (1)求直线的表达式； (2)写出关于，的二元一次方程组的解； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点代入，得，求出点，根据点，，利用待定系数法即可求出直线解析式； （）根据两条直线交点坐标为，即可确定方程组的解； （）两个直线解析式分别令，即可求出点和点，即可求出，结合点的坐标利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴点， 把点，代入，得 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵直线与的交点的坐标为， ∴的解为； （3）解：在中，令，得， 解得， ∴点， 在中，令，得， 解得， ∴点， ∴， ∴． 14．一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求出与x之间的函数表达式； (2)当两车相遇时，求客车行驶的时间； (3)两车相距时，求客车行驶的时间． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意可知，，然后解方程即可得出答案； （3）分2种情况进行讨论，或分别解方程即可． 【详解】（1）解：（1）设，代入 得到：， 解得：， ∴， 设，代入，， 那么有，，解得 ∴； （2）解：两车相遇时，，那么有 解得： 故客车行驶的时间为； （3）解：两车相距时，那么有 或 解得或 故客车行驶的时间为或． 15．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键； （1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解； （2）将C的坐标代入，即可求解； （3）由和求出、的坐标，由三角形的面积公式即可求解； （4）由三角形面积公式得，由面积相等，即可求解； 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴把代入，解得：， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 把代入， 即， 把代入， 即； （3）解：对于直线，把代入得：， ∴， 对于直线，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴通过观察图像可得以为底边的高， ∴； （4）解：由题意得：， ∵与的面积相等， ∴， 解得：， ∵点是异于点， ∴， ∴， 把代入，解得：， ∴； 16．已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)若是该一次函数图象上的两点，且，求m的取值范围； (3)当时，y的最小值是________； (4)将一次函数的图象向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度就可得到正比例函数的图象． 【答案】(1) (2) (3) (4)上，3 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式和一次函数解析式图象的性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案； （3）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案； （4）根据图象平移的规律得到答案即可； 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可知：一次函数的表达式为， ∵， ∴随的增大而增大； 当， ∴； （3）解：由（2）可知：随的增大而增大， ∴当时，其中时，有最小值为； 故答案为：． （4）解：由（1）可知：，由的图象向上移动3个单位长度变成的图象； 故答案为：上，3． 17．清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． (1)请你算出A，B两种商品每件的进价； (2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】(1)每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元； (2)①(，且为5的正整数倍)；②W与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键； （1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元，根据题中等量关系可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再结合，均为正整数，即可得出的取值范围； 根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元． （2）（2）根据题意，得， ， ， ， ， 又，为正整数， ， 与之间的关系式为(，且为5的正整数倍) ． 根据题意，得 ， ， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值为， 答：与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为1900元． 18．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，直线交直线于点，交负半轴于点，交轴正半轴于点．且． (1)求出点坐标并求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接． ①点移动过程中，求证：； ②求面积的最小值． 【答案】(1)： (2)①证明见解析；② 【分析】（1）求出A、B的坐标，从而求出的长度，根据求出的长度，从而可求C、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）①证明即可；②，其最小值即为取得最小值时取得，而时，取得最小值，根据等面积法即可求得答案． 本题考查了一次函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理、熟练掌握相关定理或性质是解题关键． 【详解】（1）解：对于直线， ∴当时，；当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为 ， ∵， ∴ ∴ 设为，则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）①证明： ， ∴在和中，， ∴， ∴； ②由①知． ∵ 的面积是， ∴当取得最小值时，面积取得最小值． ∵ ． 当时，取得最小值， 利用等面积法：， ∴， ∴面积的最小值是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5二元一次方程与一次函数 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用待定系数法求一次函数的解析式（重） 题型2两直线的交点与二元一次方程组的解 题型3图象法解二元一次方程组（高频） 题型4已知两直线求围成的图形面积 题型5二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题（难） 题型6二元一次方程组与一次函数综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用待定系数法求一次函数的解析式 1.(26-27八年级上安徽蚌埠阶段检测)已知y是x的一次函数，当x=2时，y=5;当x=-1时， y=-1 (1)求这个一次函数的表达式： (2)求当x=3时y的值： (3)求函数图象与坐标轴的交点坐标， 2.(26-27八年级上安徽合肥阶段检测)已知y与3x-2成正比例，且当x=2时，y=8. ()求y与x之间的函数表达式： (2)求当x=-2时，y的值： 3)判断点C(山，3)是否在该函数的图象上，并说明理由. 3.(25-26八年级下·云南德宏期末)已知一次函数的图象经过A(-2,2),B(4,-1)两点. 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 4 -2 B (1)求这个一次函数的解析式： (2)当-3≤x≤6时，求函数值y的取值范围. ◆题型2两直线的交点与二元一次方程组的解 4.(26-27九年级上陕西榆林开学考试)已知一次函数y=c+b(k,b为常数，且k≠0)与正比例函 y-kx=b 数y=-2x的图象交于点P(m,2),则关于x'y的二元一次方程组2x+y=0的解是 5.(25-26八年级下河南焦作期末)若函数y=-2x+3与y=2x+m的图象交于点Pm,-),则方程组 2x+y=3 x+y=m的解为 1 6.25-26八年级下北京大兴期末)已知直线y=2x-3与直线y=c+2(a≠0)的交点坐标为(2，m),则 2x-y=3 关于x'y的二元一次方程组 ar-y=-2的解是 ◆题型3图象法解二元一次方程组 7.(25-26八年级下·北京延庆期末)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(k≠0)和y=k,x+b(k≠0) [y=kx 的图象如图所示，那么关于xy的二元一次方程组y=x+b的解是 y=kx+b y-kx 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级下·北京丰台期末)如图，在平面直角坐标系xO少中，直线y=-x+1与直线y=心+3相 y=-x+1 交于点P(-1,m)则关于x'y的方程组y=m+3的解是 y-x+1 v=ax+3 9.(25-26八年级下内蒙古鄂尔多斯期末)如图，已知一次函数y=x+b(k≠0)与y=-2x+4的图象 kx-y=-b 相交于点P(1,m),则二元一次方程组2x+y=4的解是 y=kx+b y=-2x+4 ◆题型4已知两直线求围成的图形面积 10.(26-27八年级上·安徽阜阳阶段检测)如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=c+b的图象与x轴 交于点A(-6,0),且与正比例函数y=3x的图象交于点B(m,8)· B (I)求△AOB的面积； (2)求这个一次函数的表达式. 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测)如图，直线y=c+b(k≠0)经过点A(-5,0),B(-1,4)」 B (1)求直线AB的表达式： (2)直线AB与y轴交于点D,直线CE:y=-2x-4与直线AB交于点C,与y轴交于点E,求△CDE的面 积 12.(26-27八年级上·安徽六安阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+12的图象分别 交x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点. M (I)求直线AM的函数解析式； (2)若点C是射线AM上的动点，且SAoM=2S△Cw,求点C的坐标. ◆题型5二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 13.(26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测)某镇政府组织工程队（简称政府工程队）和某行政村村民组织 的工程队（简称村民工程队）同时拓宽两条村村通马路，拓宽马路长度y(m)与工作时间x(h)之间函数关 系图象如图，根据图象中提供的信息，完成下列任务。 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y(m) 90 政府工程队 73 村民工程队 45 3 9 d而 (I)分别求出y政府和y村与x之间的函数表达式： (2)工作3h时，村民工程队比政府工程队多拓宽马路 (3)当政府工程队和村民工程队拓宽马路长度相等时，求工作时间x. 14.(25-26八年级下·河北唐山期末)某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲 种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具x件， 付款y元，y与x之间的函数关系如图所示， Ay元 3400--------------- 2640 0 6080x件 (1)求y与x之间的函数解析式： (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的3，乙种道 具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值. 15.(26-27八年级上·安徽毫州·阶段检测)随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热 情被充分激发.某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，己知两种球 厂家的批发价和商场的零售价如下表.设该商场采购x个篮球，其中40≤x≤50， 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个) 篮球 100 128 足球 80 105 (1)求该商场采购费用y(单位：元)与x(单位：个)的函数关系式： (②)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了2k(k>0)元/个，同时足球 批发价下调了k元个.该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润 是1860元，求k的值. ◆题型6二元一次方程组与一次函数综合问题 16.(26-27八年级上重庆阶段检测)如图1，直线4：y=c+b与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点 B(0,1),直线2：y=-2x+6分别与x轴、y轴交于点D、E,并与直线相交于点C A (1)求直线马的表达式： (2)如图2，将直线向下平移，使得平移后的直线经过点D,并与y轴交于点F,求四边形BCDF的面积： (3)若点P为直线2上一动点，且使得△EOP为等腰三角形，请直接写出点P的横坐标， 17.(26-27八年级上·黑龙江大庆开学考试)如图(1)，一次函数y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴 交于点B,直线AC与直线AB关于x轴对称，直线AC与y轴交于点C. 图(1) 备用图 (1)求直线AC的函数解析式： (2)如图(1)，若点D是线段AB上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线AC于点E,若△ABE的面积 为5，求点D的坐标： 6/13 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点Q,连接AP,在点P的运动 过程中是否存在∠AP№=∠ACB的情况，若存在，请求出点坐标：若不存在，请说明理由， 18.(26-27八年级上山东济南阶段检测)如图，己知一次函数y=2x+2的图象与x轴交于点A'与y 2 轴交于点B (1)点C与点A关于y轴对称，求△AOB的面积： 守半‘w"、上=u0Mc‘的酱一崽平日‘于酱园阳乙+x,=个除攻一其学幸‘义装明（I）( 的坐标 (3)变式：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2+2的图象分别交x轴，y轴于点4'B’与直线 OC相交于第二象限，交点为点C,且点C的纵坐标为1. 点D为直线y=2x+2上一点，且点D在第一象限，若OCD的面积与。AB0的面积相等，求直线OD的函 数表达式： (4)在(3)的条件下，点P为线段CD上一点，过点P作y轴的平行线，与直线OD,直线OC分别相交于 点E,F,若PE=2EF,求点P的坐标. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=a 1.直线y=2x+1与直线y=-3x+6交于点(a,b)则下列各方程组中满足解为y=b的是（） y=2x+1 2x-y=-1 2x+y=1 y=2x-1 A. 3x+y=0 B 3x+y=6 c. D 3x-y=6 y=-3x+6 2.如图，在直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B,与正比例函数 y=2x的图象相交于点C,点C的纵坐标为2.若点D在y轴上，且满足S4cm=3,则点D的坐标为 () y=2x 2 A y=x+3 A.(0,0)或(6,0)B.(0,0) c.(0,6) D.(0,0)或(0,6) x-y=-5 3.如图，观察直线 苟直线，-1x的图象，则二元一次方程组1 y=x+5 2x+y=-1的解为() y=x+5 V=- (-4,-1) x=-4 x=1 x=4 x=-1 y=1 B y=-4 c.y=- D.y=4 4.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+6与y=k,x+b(kk,≠0)的图象分别为直线4,2， kx+b=y x=1 ①b,-b>0:②kk,>0:③关于x,y的方程组k,x+h,=y的解为y=3:关于①、②和③正确的有 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 01 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 5.已知一次函数y=x+b的图象经过点A,3)和B(0,),则此函数的表达式为 6.如图，一次函数y=c+b的图象经过A(L,2),B(0,)两点，与x轴交于点C,则△BOC的面积为 B 7.如图，函数y=x+1与y=acr+3(a为常数，且a≠0)的图象交于点P(1,2),则关于x,y的方程组 y=x+1 (y=ar+3的解是 y=x+1 =ax+3 8.如图，直线AB与直线AC交于点A，,直线AB的解析式为y=x+1,直线AC的解析式为y=-2x+6, 点D为直线B上的点，且Sm,则点D的丝标为 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.如图，在平面直角坐标系中，直线1经过点A(0,2)、B(-3,0) (1)求直线1所对应的函数表达式. (2)若y=-x+n过点B,交y轴于点C,求△ABC的面积. 10.某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期合作的关系，水果种植户对甲种水 果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售.经销商购进甲种水果所需支付 金额'（元）与质量x(千克)之间的函数关系如图所示， 木y/元 1500----- 1200 30501 /千克 (1)请写出当x>30时，y与x之间的函数关系式： (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克. 如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额w(元)最少？ 11.如图，直线1：y=ax+b与直线m:y=2x+2相交于点P(c,1) Y ax-y=-b (1)求出关于的方程组 x,V 2x+y=2的解： 1 (②)直线n:y=br+a能否也经过点P?若能，求出a,b的值；若不能，请说明理由. 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A,B.点C的坐标为(0，-5)，连接AC. (1)求AC所在直线的函数表达式： (②)若直线y=ax(a≠0)与AC所在直线交于一点K,并将△ABC分成面积相等的两部分，求点K的坐标. 13.如图，直线的表达式为y=2x-2,直线马与x轴交于点D,直线：y=+b与x轴交于点A,且经 过点B(3,1),直线，1交于点C(m,2). (1)求直线2的表达式： y=2x-2 (②写出关于x'y的二元一次方程组 y=+b的解： (3)求△ADC的面积 14.一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为x()时， 客车到甲地的距离为(km),轿车到甲地的距离为(km,,与x之间的函数关系如图所示. y/km 600 轿车 客车 6 10x/h (1)分别求出，2与x之间的函数表达式： (2)当两车相遇时，求客车行驶的时间： 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)两车相距200km时，求客车行驶的时间. 15.如图，直线=2x-2与y轴交于点A,直线=r+6与y轴交于点B,两直线交于点C,且点C的 横坐标为2. B y1=2x-2 \x y2=ax+6 2x-2=y (1)关于x,y的方程组 ar-y=-6的解是 (2)求直线的2关系式 (3)求△ABC的面积. (④)在直线片=2x-2的图像上存在异于点C的另一点P,使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐 标。 16.已知一次函数y=+b,当x=0时，y-3;当x=2时，y=3. (1)求该一次函数的表达式： 3 (2若(m,)4少是该一次函数囱象上的两点，且y<乃，求m的取值范围： (3)当-2≤x≤6时，y的最小值是 (④将一次函数y=x+b的图象向 (填“上”或“下”)平移 个单位长度就可得到正比例 函数y=r的图象. 17.清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一 天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品 共需270元. (I)请你算出A,B两种商品每件的进价： (2)店里计划将5000元全部用于购进A,B这两种商品，设购进A商品x件，B商品'件. ①求y与x之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价 为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与x之间的关系式和该店所获利润的最大 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值. 18,如图（山），在平面直角华标系中，直线= x+8交坐标轴于A、B两点，直线CD交直线AB于D 点，交x负半轴于C点，交y轴正半轴于点E.且△COE≌△BOA. A 图(1) 图(2) (I)求出点C,E坐标并求直线CD解析式： (②)如图2，点M是线段CE上一动点（不与点CE重合），ON⊥OM交AB于点N,连接MN. ①点M移动过程中，求证：OM=ON: ②求△QN面积的最小值. 13/13