专题09二元一次方程的概念与解法复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题09二元一次方程的概念与解法复习讲义 1.能准确识别二元一次方程、二元一次方程组，会检验一组数是不是方程（组）的解。 2.掌握代入消元、加减消元两种核心解法，会把二元转化为一元求解。 3.已知方程组的解，能够代入求式子中的参数，处理含参题型。 4.会根据条件列出二元一次方程或方程组，理解二元一次方程有无数组解。 5.看清易错点：注意是整式方程、未知数项次数为 1，计算时留意符号。 题型 考察方向 难度 题型一 二元一次方程的定义 ★ 题型二 二元一次方程的解 ★ 题型三 判断是否是二元一次方程组 ★ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 ★★ 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 ★★ 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 ★★ 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 ★★ 题型八 代入消元法 ★★ 题型九 加减消元法 ★★ 题型十 二元一次方程组的特殊解法 ★★★ 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 ★★★ 题型十二 构造二元一次方程组求解 ★★★ 题型十三 已知二元一次方程组解的情况求参数 ★★★ 题型十四 方程组相同解问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1.二元一次方程组定义 由两个共含两个未知数的二元一次方程联立组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：方程组内方程可以一个二元、一个一元，只要整体只有 2 个未知数，仍为二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程的x、y），叫做二元一次方程组的解。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点 03 实际问题列二元一次方程组步骤 1.审题：找出题目中两组独立等量关系； 2.设两个未知数x、y； 3.根据两条等量关系，分别列出二元一次方程； 4.联立两个方程，写出方程组大括号。 例：苹果、梨共 20 斤，苹果比梨多 4 斤 知识点04：代入消元法 定义： 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点05：加减消元法（考试主流解法） 定义： 通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点06：两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点 07 高频易错点汇总 1.二元一次方程判定：未知数次数误把xy看作 1 次； 2.列方程组只找到一组等量关系，缺少第二个方程； 3.代入消元时，代入后忘记加括号，符号出错； 4.加减消元去乘时，只乘未知数，漏乘常数项； 5.两式相减时，常数项、未知数符号全部变号容易漏； 6.方程组解书写不加大括号，格式错误； 7.求出值只代入一个方程检验，不检验第二个； 8.实际应用题忘记检验解是否符合现实意义（人数、物品不为负）。 题型一 二元一次方程的定义 1．若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若方程是二元一次方程，则的值为（     ）. A．2 B． C．0 D． 3．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二 二元一次方程的解 4．若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．下列四组数：①，②，③，④是方程的解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在平面直角坐标系中可以画出任意一个二元一次方程的图象．如图，因为直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解（如点即，这是的一个解），所以直线是二元一次方程的图象．那么直线（经过若干格点）是哪个二元一次方程的图象（     ） A． B． C． D． 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 8．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 9．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 10．下列选项中，不是方程的解的是（     ） A． B． C． D． 11．下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 12．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 14．若方程组，则的值是_____． 15．已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 16．每年的农历五月初五是端午节，某校开展了丰富多彩的传统文化活动．初一年级举行“端午文化知识竞赛”，一共有道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分．小舟回答了全部道题，最终得分为72分．设小舟答对了道题，答错或不答道题，则根据题意可列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 17．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，经计算，发现两人的得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗?设爸爸投中x个，小明投中y个，可列方程组为________． 18．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 19．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 21．如图，块形状相同，大小相等的长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的长为，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则可列出方程组（     ） A． B． C． D． 题型八 代入消元法 22．方程组的解是（     ） A． B． C． D． 23．如果方程组的解也是方程的一个解，则a的值为______． 24．解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 题型九 加减消元法 25．二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 26．已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 27．对实数x、y定义一种新运算：，a、b均为常数，例如：．若，，则的值为（     ） A．22 B．23 C．24 D．25 题型十 二元一次方程组的特殊解法 28．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 29．若方程组的解是，则方程组的解是___________． 30．方程组的解的组数为___________． 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 31．甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 32．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了b，解得；乙因抄错了a，解得．则的值等于______． 33．解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十二 构造二元一次方程组求解 34．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 35．定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 36．在等式中，当时，；当时，．则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十三 已知二元一次方程组解的情况求参数 37．若方程组的解满足，则k的值为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 38．已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________． 39．下表分别是关于，的二元一次方程，的部分解，则的值为（     ） 的解 的解 … … … … A．1 B．2 C．3 D．4 题型十四 方程组相同解问题 40．如关于x，y的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 41．已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______． 42．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 解答题 43．解下列方程组 (1)； (2) 44．关于的二元一次方程均可以变形为的形式（其中均为常数且，），规定：（）为方程的“互促互进系数”． (1)将二元一次方程化为的形式，并写出它的“互促互进系数”____________； (2)若关于的二元一次方程的“互促互进系数”为，且为该方程的一组解，均为正整数，试求的值． 45．阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 46．小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 47．某物理小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)放入一个小球水面升高________； A．2    B．3    C．6    D． (2)若放入大球、小球共10个，要使水面上升到，设放入大球x个，放入小球y个，则下列方程（组）不正确的是________； A．    B． C．        D． (3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，可以放入大球和小球的数量是多少，写出所有的情况． 48．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 纸盒类型 正方形（个数） 长方形（个数） m个横式无盖纸盒 ① 3m n个竖式无盖纸盒 n ② 任务2 再探关系 2．完善下表： 需裁成正方形 的纸板数（张） 需裁成长方形 的纸板数（张） 合计 ③ ④ 300 3．写出m，n之间满足的关系式： ⑤ 任务3 拟定方案 若计划制作86个横式无盖纸盒，则得要将 ⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09二元一次方程的概念与解法复习讲义 1.能准确识别二元一次方程、二元一次方程组，会检验一组数是不是方程（组）的解。 2.掌握代入消元、加减消元两种核心解法，会把二元转化为一元求解。 3.已知方程组的解，能够代入求式子中的参数，处理含参题型。 4.会根据条件列出二元一次方程或方程组，理解二元一次方程有无数组解。 5.看清易错点：注意是整式方程、未知数项次数为 1，计算时留意符号。 题型 考察方向 难度 题型一 二元一次方程的定义 ★ 题型二 二元一次方程的解 ★ 题型三 判断是否是二元一次方程组 ★ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 ★★ 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 ★★ 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 ★★ 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 ★★ 题型八 代入消元法 ★★ 题型九 加减消元法 ★★ 题型十 二元一次方程组的特殊解法 ★★★ 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 ★★★ 题型十二 构造二元一次方程组求解 ★★★ 题型十三 已知二元一次方程组解的情况求参数 ★★★ 题型十四 方程组相同解问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1.二元一次方程组定义 由两个共含两个未知数的二元一次方程联立组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：方程组内方程可以一个二元、一个一元，只要整体只有 2 个未知数，仍为二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程的x、y），叫做二元一次方程组的解。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点 03 实际问题列二元一次方程组步骤 1.审题：找出题目中两组独立等量关系； 2.设两个未知数x、y； 3.根据两条等量关系，分别列出二元一次方程； 4.联立两个方程，写出方程组大括号。 例：苹果、梨共 20 斤，苹果比梨多 4 斤 知识点04：代入消元法 定义： 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点05：加减消元法（考试主流解法） 定义： 通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点06：两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点 07 高频易错点汇总 1.二元一次方程判定：未知数次数误把xy看作 1 次； 2.列方程组只找到一组等量关系，缺少第二个方程； 3.代入消元时，代入后忘记加括号，符号出错； 4.加减消元去乘时，只乘未知数，漏乘常数项； 5.两式相减时，常数项、未知数符号全部变号容易漏； 6.方程组解书写不加大括号，格式错误； 7.求出值只代入一个方程检验，不检验第二个； 8.实际应用题忘记检验解是否符合现实意义（人数、物品不为负）。 题型一 二元一次方程的定义 1．若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 方程是二元一次方程， ∴ ， 即且， ∴ . 2．若方程是二元一次方程，则的值为（     ）. A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程和不等式，解出后得m、n的值，代入计算即可得答案 【详解】解：∵ 方程为二元一次方程， ∴ ，，，解得：， 把代入得：，解得：或， 把代入得，解得：， ∴ ， ∴ 3．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有2个未知数，含未知数项的最高次数为1，逐个分析即可． 【详解】解：逐个判断各式子：① 不是等式，不属于方程，不符合要求； ② 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； ③ 中项的次数为2，不符合一次的要求，不符合； ④ 含有三个未知数，不符合二元的要求，不符合； ⑤ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程； ⑥ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程；因此符合要求的二元一次方程共2个． 题型二 二元一次方程的解 4．若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∴． 5．下列四组数：①，②，③，④是方程的解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义，将各组未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：分别将四组的值代入验证： ①，是方程的解； ②，不是方程的解； ③，是方程的解； ④，是方程的解； 综上，共有3组是方程的解． 6．在平面直角坐标系中可以画出任意一个二元一次方程的图象．如图，因为直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解（如点即，这是的一个解），所以直线是二元一次方程的图象．那么直线（经过若干格点）是哪个二元一次方程的图象（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从图中可得直线经过两个明确的格点：和，将坐标代入选项验证． 【详解】解：选项A ：代入，得，不符合题意； 选项B ：代入，得，不符合题意； 选项C ：代入，得，不符合题意； 选项D ：代入得，成立；代入得，成立，符合题意． 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意． B． 将第一个方程整理为，方程组含有两个未知数，含未知数的项的次数均为1，且都是整式方程，是二元一次方程组，符合题意． C． 方程中，项的次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意． D． 方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 8．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 9．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 10．下列选项中，不是方程的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项的代入方程，计算左边的值，若左边不等于右边，则该组值不是方程的解． 【详解】解：将各选项的代入方程，计算左边的值并验证： ∵ 选项A代入得：左边，，等式不成立， ∴ 选项A不是方程的解； 选项B：左边右边，是方程的解； 选项C：左边右边，是方程的解； 选项D：左边右边，是方程的解． 11．下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 12．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 【答案】D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 14．若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【详解】解：由可得， ∴ ． 15．已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的计算，通过观察方程组两个方程的特点，将两式相加可整理出含的式子，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 得： 提取公因式得 整理得， 解得． 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 16．每年的农历五月初五是端午节，某校开展了丰富多彩的传统文化活动．初一年级举行“端午文化知识竞赛”，一共有道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分．小舟回答了全部道题，最终得分为72分．设小舟答对了道题，答错或不答道题，则根据题意可列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共20道题， ∴． ∵答对每题得5分，答错或不答每题扣2分，最终得72分， ∴． 联立得方程组． 17．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，经计算，发现两人的得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗?设爸爸投中x个，小明投中y个，可列方程组为________． 【答案】 【分析】先提取两人投中总数量的条件，因为爸爸投中数加小明投中数等于20个，所以可列出对应的二元一次方程，再提取两人得分相等的条件，因为爸爸总得分是投中数乘1，小明总得分是投中数乘3，二者相等，所以可列出对应的二元一次方程，将两个方程联立，即可得到所求的方程组． 【详解】解：根据题意找两个等量关系列方程： 两人一共投中20个，因此爸爸投中个数+小明投中个数，得方程：， 两人得分相等，爸爸总得分是分，小明总得分是分，因此得方程： ， 组合后得到方程组． 18．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 19．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每块墙砖的长为，宽为，根据图形找到两个等量关系，求解即可 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：， 解得： ∴每块墙砖的截面面积：， 故选：C 20．如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】设每个小长方形的长为 x，宽为y，根据题意列方程可求得，即每个小长方形的面积为；再运用阴影部分的面积等于长方形的面积减去5个小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为 x，宽为y， 则，解得：， 所以每个小长方形的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 21．如图，块形状相同，大小相等的长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的长为，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则可列出方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据图示可得． 题型八 代入消元法 22．方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由得， 将代入， 得， ， ， ， 把代入， 得， 即方程组的解为． 23．如果方程组的解也是方程的一个解，则a的值为______． 【答案】 【分析】先求出二元一次方程组的解，再代入，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：方程组整理得 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得． 24．解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 【答案】D 【分析】根据消元法的规则和等式性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：用加减消元法消去，得，整理得，步骤正确，不符合题意； 选项B：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项C：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项D：用加减消元法消去，先给两边乘得，再用减去这个式子，即，整理得，不是，步骤错误，符合题意． 题型九 加减消元法 25．二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 26．已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】将方程组两个方程作差，得到关于的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解： 得 整理得 ∵ ∴ 解得． 27．对实数x、y定义一种新运算：，a、b均为常数，例如：．若，，则的值为（     ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【分析】根据新运算定义列出关于，的方程组，观察所求式子与方程组的关系，整体计算求解． 【详解】解：∵新运算规则为，且， ∴，整理得， ∵， ∴，整理得， ∴得． 题型十 二元一次方程组的特殊解法 28．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，理解题意，掌握二元一次方程组的解是关键． 通过比较系数法，将新方程组与原方程组的解结合，利用已知解代入变形后的方程，解出未知数． 【详解】解：已知原方程组的解为，，代入得： ， 将新方程组中的和替换为和，得： ， 比较左右两边、和、的系数，得： ，， 解得，． 29．若方程组的解是，则方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，使其与已知解的原方程组形式一致，对比对应项即可求出结果． 【详解】解：将待求方程组两边同时乘，变形得， ∵原方程组的解是， ∴对比两个方程组的结构可得， 解得． 30．方程组的解的组数为___________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值符号，分情况讨论求解，即可得到解的组数． 【详解】解：∵ ∴ 或 ， （1）当，即时， ∵， ∴， ①当时，原方程化为：，解得：， ∴， ∴方程组的解为． ②当时，原方程化为：，即，不成立，故方程组无解． ③当时，原方程化为：，解得：， ∴， ∴方程组的解为． （2）当，即时， ∵， ∴， ①当时，原方程化为：，解得：， ∴， ∴方程组的解为． ②当时，原方程化为：，即，不成立，故方程组无解． ③当时，原方程化为：，解得：， ∴， ∴方程组的解为． 综上所述，方程组共有组解． 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 31．甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组解的运用，根据甲的解得到，根据乙的解得到，运用特殊解法得到，由此即可求解． 【详解】解：甲解得正确结果为，代入方程组， ∴， ∴由②解得，， 乙因为抄错了，解得错误结果为， ∴，即， ∴得，，即， ∴， 故答案为：7 ． 32．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了b，解得；乙因抄错了a，解得．则的值等于______． 【答案】 【分析】甲抄错，正确，因此甲的解满足原方程组第一个方程，可求出；乙抄错，正确，因此乙的解满足原方程组第二个方程，可求出，最后计算即可． 【详解】解：原方程组为， 甲抄错，正确，因此甲的解满足方程①， 将代入①，得，解得； 乙抄错，正确，因此乙的解满足方程②， 将代入②，得，解得； ∴． 33．解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 题型十二 构造二元一次方程组求解 34．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 35．定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的二元一次方程组，求解得到、的值后，再根据新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， 整理得， 第二个方程减第一个方程得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴． 36．在等式中，当时，；当时，．则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将两组的值代入可得一个关于的方程组，解方程组即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键． 题型十三 已知二元一次方程组解的情况求参数 37．若方程组的解满足，则k的值为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】把两个方程相加得到与的关系式，再结合已知条件求解的值． 【详解】解： 得， 两边同除以得， ， ， ． 38．已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________． 【答案】或 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，根据解为整数得到是的约数，求出的所有可能值后验证是否为整数，即可得到符合条件的． 【详解】解：令，， 得， 得， 整理得，即 ， ∵方程组的解都是整数，是整数， ∴是的约数，的可能取值为，， 分别计算验证： 当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件； 综上，整数的值为或． 39．下表分别是关于，的二元一次方程，的部分解，则的值为（     ） 的解 的解 … … … … A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将表格中已知的解代入对应方程，联立求出未知参数，，，的值，再计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：将和代入得， 解得， 将和代入得， 解得， ∴． 题型十四 方程组相同解问题 40．如关于x，y的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了方程组相同解问题，理解方程组有相同解的意义并熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，联立含有、的两个方程，把、的值代入，求得、的值，即可求得答案． 【详解】解：方程组和有相同的解， 则有， ，得， 解得， 把代入①，解得， 把，，代入， 得， ，得， 解得， 把代入④，解得， 当，时，． 故选：B． 41．已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______． 【答案】 【分析】因为两个方程组解相同，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求解、的值，最后计算的值． 【详解】解：两个关于，的二元一次方程组的解相同， 解方程组， 可得：， 把代入方程和， 可得：， 解得：， ． 42．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】两个方程组解相同，说明公共解满足所有方程，先利用第一个方程组消元求出x，再代入第二个方程组的第二个方程求出y，最后计算得到n的值． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴把代入得， 解得， ∴． 解答题 43．解下列方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入消元法解方程组； （2）对①和②进行整理，利用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解：由①得：， 将代入②得，， ， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以，原方程组的解为：． （2）解：对①进行整理：， 即：③， 得：， ， ④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 所以，原方程组的解为：． 44．关于的二元一次方程均可以变形为的形式（其中均为常数且，），规定：（）为方程的“互促互进系数”． (1)将二元一次方程化为的形式，并写出它的“互促互进系数”____________； (2)若关于的二元一次方程的“互促互进系数”为，且为该方程的一组解，均为正整数，试求的值． 【答案】(1)， (2)，或， 【分析】（）先把方程变形为的形式，再写出它的“互促互进系数”即可； （）根据“互促互进系数”的定义写出方程，将解代入得到关于、的二元一次方程，结合正整数的条件解答即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴方程化为的形式为， ∴该方程的“互促互进系数”为； （2）解：∵关于的二元一次方程的“互促互进系数”为， ∴该方程为， ∵为该方程的一组解， ∴， 整理，得 ， 又∵，均为正整数， ∴符合条件的解为或， 综上，，或，． 45．阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，求解即可； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得； （2）解：设，， ∴原方程组可化为， 解得， ， 解得； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ， 解得． 46．小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 【答案】， 【分析】分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵小虎看错了方程①中的， ∴满足方程②， ， 解得，   ∵小红看错了方程②中的， 满足方程①， ， 解得， 综上所述，，． 47．某物理小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)放入一个小球水面升高________； A．2    B．3    C．6    D． (2)若放入大球、小球共10个，要使水面上升到，设放入大球x个，放入小球y个，则下列方程（组）不正确的是________； A．    B． C．        D． (3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，可以放入大球和小球的数量是多少，写出所有的情况． 【答案】(1)A (2)C (3)①放入12个小球；②放入9个小球，2个大球；③放入6个小球，4个大球；④放入3个小球，6个大球；⑤放入8个大球． 【分析】本题考查了有理数的除法运算，一元一次方程及二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，根据题意，正确求出放入一个小球和大球水面上升的高度是解题的关键． （）根据放入个体积相同的小球水面升高了即可求解； （）根据放入个体积相同的大球水面升高了，求出放入一个大球水面升高的高度，再分三种情况列方程（组）即可判断求解； （）设放入大球a个，放入小球b个，依题意，得，即， 由a，b为非负整数，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，放入个体积相同的小球水面升高了， ∴放入一个小球水面升高， 故选：； （2）由题意可得，放入个体积相同的大球水面升高了， ∴放入一个大球水面升高， 设放入大球个，则由题意得，； 设放入小球个，则由题意得，； 设放入大球个，放入小球个，则由题意得，； ∴选项方程组不正确， 故选：； （3）设放入大球a个，放入小球b个，依题意，得 ， 即， ∵a，b为非负整数， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； 答：①放入12个小球；②放入9个小球，2个大球；③放入6个小球，4个大球；④放入3个小球，6个大球；⑤放入8个大球． 48．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 纸盒类型 正方形（个数） 长方形（个数） m个横式无盖纸盒 ① 3m n个竖式无盖纸盒 n ② 任务2 再探关系 2．完善下表： 需裁成正方形 的纸板数（张） 需裁成长方形 的纸板数（张） 合计 ③ ④ 300 3．写出m，n之间满足的关系式： ⑤ 任务3 拟定方案 若计划制作86个横式无盖纸盒，则得要将 ⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 【答案】任务1：①；②；任务2：③；④；⑤；任务3：⑥70 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程，求代数式的值，正确利用题干中的数量关系列出代数式是解题的关键．利用题意分别求得所需的正方形与长方形的个数，再列出方程，整理即可得出m，n的关系式，再将代入运算即可得出结论． 【详解】解：①∵横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形， ∴m个横式无盖纸盒需要个正方形和个长方形， 故答案为：； ②∵竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形， ∴n个竖式无盖纸盒需要n个正方形和个长方形， 故答案为：； ③∵1张纸板可以裁成4个正方形， ∴个正方形需要张纸板． 故答案为：； ④∵1张纸板可以裁成3个长方形， ∴个长方形需要张纸板． 故答案为：； ⑤∵现将300张纸板裁剪成材料， ∴． 整理得：． ∴m，n之间满足的关系式为：． 故答案为：； ⑥若计划制作86个横式无盖纸盒， ∴时，， ∴（张）． ∴需要将70张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 故答案为：70． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $