专题08一次函数的应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题08一次函数的应用期中复习讲义 1.确定一次函数解析式：熟练掌握待定系数法，会利用图象上两个点的坐标，求一次函数、正比例函数解析式；能根据表格信息、实际情境中的两组数据求出函数关系式。 2.利用一次函数解决简单实际问题：读懂行程、利润、计费、方案选择等实际背景，理解解析式、图象中k、b的实际含义；能根据自变量的值求函数值，或者根据函数值反求自变量。 3.结合函数图象解决问题：看懂实际问题的一次函数图像，从图像读取关键点坐标，获取对应的实际意义；会利用图像比较大小，直接获取变量信息。 4.一次函数与一元一次方程：理解一次函数图象与 x 轴交点横坐标，就是对应一元一次方程的解；能借助函数图象求解一元一次方程。 5.方案优选问题：会建立两个一次函数，通过比较函数值大小，选择最优方案；注意自变量的实际取值范围。 6.数形结合思想：建立函数模型，把实际问题转化为一次函数问题求解，最后检验结果是否符合现实意义。 7.易错点梳理 忽略实际问题自变量取值限制，出现不符合题意的解； 不能读懂图像拐点、交点的实际含义； 待定系数法计算代入坐标时符号出错； 方案比较时，忘记分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★★ 题型二 最大利润问题 ★★★ 题型三 行程问题 ★★★ 题型四 梯度计价问题 ★★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★★★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点03：利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具 (如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较。 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 知识点04:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 知识点 05利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点 06一次函数最值问题（拔高综合） 核心规律（结合自变量取值范围） k>0，y随x增大而增大： x取最大值→y最大；x取最小值→y最小； k<0，y随x增大而减小： x取最大值→y最小；x取最小值→y最大。 2. 题型场景 采购成本最低、利润最大、耗材最少、行程最短。 3. 解题步骤 （1）写出y=kx+b； （2）确定x取值范围m≤x≤n； （3）根据k正负判断增减，代入区间端点求最值 知识点 07 两种一次函数方案选择（拔高压轴） 1. 核心思路 设两种方案总费用： 方案①：y1=k1x+b1 方案②：y2=k2x+b2 分三步比较： 求交点：令y1=y2，解方程，求出临界x0； 分类讨论： x=x0：两种方案费用相同； x>x0：比较k大小，k越小越省钱； x<x0：基础费b小的方案更划算。 2. 实用判断口诀 k代表单价，单价低适合量大；b代表基础费，基础费低适合量小。 知识点08:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 题型一：分配方案问题 1．本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司． 【答案】甲 【分析】由题意可知x=3500>1500，此时观察图像，则此时甲省钱． 【详解】根据图象可知当x>1500时，，此时甲省钱． ∵x=3500>1500，此时， ∴此时甲省钱． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据两个一次函数的交点判断出与的大小是解答本题的关键． 2．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 3．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【答案】(1) (2) (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程即可求解； （2）根据题意分情况列解析式即可求解； （3）根据一次函数的增减性判断计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，当时，； （2）解：由（1）可知，，为3的倍数， 当时， ， 当时， 综上， ； （3）解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，． 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 题型二：最大利润问题 4．如图，购买一种苹果，所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，如果班级搞一次茶话会，一次购买26千克这种苹果需____元． 【答案】． 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到超过3千克后，每千克苹果的价格，然后即可计算出一次购买26千克这种苹果需要的钱数． 【详解】解：由图象可得： 当x＞3时，每千克苹果的价格是：(36﹣20)÷(6﹣3)(元)． ∵26＞3， ∴一次购买26千克这种苹果需：20(26﹣3)(元)． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（    ） A．第24天销售量为300件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第27天的日销售利润是1250元 D．第15天与第30天的日销售量相等 【答案】D 【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=-x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=t+100，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第24天的销售量为300件，故A正确； B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b， 把（0，25），（20，5）代入得： ， 解得：， ∴z=-x+25， 当x=10时，z=-10+25=15， 故B正确； C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1， 把（30，200），（24，300）代入得： ， 解得： ∴y=-+700， 当t=27时，y=250， ∴第27天的日销售利润为；250×5=1250（元），故C正确； D、当0＜t＜24时，可得y=t+100，t=15时，y≠200，故D错误， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 6．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 100 128 足球 80 105 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了k元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润是1860元，求k的值． 【答案】(1)； (2)2400元 (3) 【分析】（1）根据采购费用等于篮球和足球的费用之和，列出函数关系式即可； （2）设总利润为元，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求最值即可； （3）设总利润为元，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个足球， 由题意，； （2）解：设总利润为元， 由题意，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大； 答：商场能获得的最大利润为2400元； （3）解：设总利润为元， 由题意，得， 当时， ∵，， ∴必定大于2250，不满足题意， ∴，即时， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值，为， 解得，符合题意； 故. 题型三：行程问题 7．甲、乙、丙、丁四位同学参加“欢乐跑”活动，图中的四个点分别描述了他们跑的路程（m）与时间（h）的情况，则四人中速度最快的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的实际应用，画出函数图象，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图象可知：相同时间内，甲跑的路程最远， 故四人中速度最快的是甲； 故选A． 8．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 【答案】 60 80 【分析】观察函数图象，得到快车和慢车的路程和时间，计算即可求解． 【详解】解：由图可知，A地和B地的距离为，慢车的时间为，当快车到达B地时，两车相距，即此时慢车的路程为， 慢车的速度为：； 快车的时间为：， 快车的速度为：． 9．2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 【答案】(1) (2)相距最远为250米 【分析】（1）设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为，把和代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）由图可得当时，甲、乙两人相距最远．把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为， 把和代入得：， 解得：，， 则； （2）解：由图象可得，当时，甲、乙两人相距最远． （米）． （米）． 所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米． 题型四：梯度计价问题 10．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在千米以内（包括千米）起步价元，超过千米后，每多行驶千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：________． 【答案】 【分析】根据收费规则，当乘车距离千米时，乘车总费用由起步价和超出3千米部分的加收费用两部分组成，据此即可建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，当时，超出3千米的行驶距离为千米， 总费用， ∴乘车费用与乘车距离之间的函数关系式为：． 11．自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示，若该居民本月用水量为18吨，则应交水费为（     ） A．42 B．43.2元 C．45元 D．46.8元 【答案】D 【分析】分和，分别求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故． 12．为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 【答案】(1)42元 (2) (3) 【分析】（1）将拆分为和超过的，分别按对应水价计算后求和． （2）分三段讨论的范围（不超过、到之间、超过），分别列出对应的函数关系式． （3）先判断元所在的计费段，再代入对应函数关系式求解． 【详解】（1）解：， 答：户居民本月的水费为元； （2）解：当时，； 当时， ； 当时， ； 综上： （3）解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 题型五：其他问题 13．如图，若弹簧的长度是所挂重物的一次函数，则挂重时，弹簧的长度为__________． 【答案】24 【分析】观察函数图象，确定直线经过的两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，最后将 代入解析式求出对应的 值即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 由图象可知，该函数图象经过点和， 将这两点坐标代入解析式，得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，． 14．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（     ） A．9点40分 B．10点15分 C．9点45分或9点30分 D．9点40分或10点 【答案】D 【分析】先分别求出该时段内甲、乙两仓库的快件数量与时间之间的函数关系式，再根据两仓库快递件数相差100件建立方程，解方程即可． 【详解】解：设该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 设该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 当两仓库快递件数相差100件时，则有， 整理得：， ∴或， 解得或， ∴从开始经过10分钟或30分钟时，两仓库快递件数相差100件， ∴当两仓库快递件数相差100件时的时刻为9点40分或10点． 15．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元/双时，每天能售出双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式： (2)当降价元时，公司平均每天所获利润为________元； (3)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋降价多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2) (3)每双运动鞋降价元． 【分析】（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出与的函数关系式； （2）利用总利润每双的销售利润日销售量，求解即可； （3）利用总利润每双的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合要求优惠力度最大，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论； 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：每双利润：（元）， 销量：（双）， 总利润：（元）， 答：公司平均每天所获利润为元； （3）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要求优惠力度最大， ， 答：每双运动鞋降价元． 题型六：一次函数与几何综合 16．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质，利用三点共线判断最小值为，根据点的中点坐标公式，求出和坐标，从而求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式，根据点横坐标为0，即可求出点坐标． 【详解】解：作点关于轴对称点，连接和，如图所示， ， ， 三点共线时，为最小值． ，，线段，的中点分别为，， ，， ． 设直线解析式为，将和代入得， ， ， 在直线上，且在轴上， 令，则， ． 17．如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 【答案】 【分析】令直线解析式中求A点横坐标，令求B点纵坐标，得到的长度．用勾股定理计算的长度，因为折叠后，所以可确定C点在x轴上的坐标．设M点坐标为，则，由折叠性质可知，所以．在中，根据勾股定理列关于的方程，求解得到m的值，即可得到M点坐标． 【详解】 解：对于直线： 令，得， 解得，得； 令，得，得． ∴，， ∴． 由折叠知，． ∵， ∴， ∴C点坐标为． 设，则，． 得． ∵是直角三角形，， ∴ ， ∴ ， 解得， ∴M点坐标为． 18．已知点，，，且，为的中点． (1)如图1，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，，直线交直线于点，给出线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将点向下平移个单位长度到点，动点从点出发，同时动点从点出发，都沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，交于点，若，求的值． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ， ∵直线轴， 轴， ，且E为的中点， ， ， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵直线轴， 则四边形是平行四边形， ； (2) 【分析】（1）先确定E的坐标，再证明，进而利用平行四边形的判定与性质解答即可； （2）先判断，再用列出方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图： 向下平移个单位长度到点D， ∴， 依据题意得：，连接， ∴， ， ∴， ， ， 过D作轴于G， ， ， 解得． 题型七：已知直线与坐标轴交点求方程的解 19．如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________． 【答案】2 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为． 20．如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 21．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 题型八：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 22．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 23．已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是_______． 【答案】5 【分析】由题意得直线l一定过点（3，0），在过（3，0）的直线中，当点Q和（3，0）的连线垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，根据勾股定理求解即可． 【详解】∵直线l：y＝kx﹣3k=k（x-3） ∴当x=3时，y=0，故点（3，0）再直线l上 令点P（3，0） 连接PQ，当PQ垂直与直线l垂足为点P时，点Q到直线l的距离最大 PQ= 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了一次函数图像和点到直线的距离，过一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度是点到直线的距离；明确当PQ⊥直线l时，点Q到直线的距离最大是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在中，利用勾股定理可求出的长，由折叠的性质可得出，进而可得出的长，再利用面积法，即可求出的长． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为． 在中，， ∴ 由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ 故选B． 题型九：利用图象法解一元一次方程 25．如图，一次函数的图像经过点，则方程的解是（     ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用方程的解就是一次函数当时对应的的值求解即可． 【详解】解：一次函数的图像经过点， 方程的解是． 26．已知一次函数图像与正比例函数图像交于点（2，3）（是常数），则关于的方程的解是_____________． 【答案】 【分析】由题意可知当x＝2时，一次函数y＝3x+b与正比例函数y＝kx的函数值相同，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵一次函数y＝3x+b图像与正比例函数y＝kx图像交于点（2，3）， ∴当x＝2时，3x+b＝kx，即3x＝kx﹣b， ∴方程3x＝kx﹣b的解是x＝2， 故答案为：x＝2． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的交点坐标就是它们的解析式组成的方程组的解． 27．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 解答题 28．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：, ∴一次函数为， 当时，，解得， ∴点， （2）依题意得：的解析式为， ∵点， ∴点，点， ∴， ， 若，，解得：， （3）当时； ，， 当，即，解得， 当时； ，， 当，即，解得， 29．《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【答案】(1)， (2)当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算 【分析】（1）根据两种活动方案分别表示出，与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款； ∴购买副羽毛球拍的费用为：（元），赠送的羽毛球数量为（个）， 当时，， 当时，， ∴； ∵活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折， ∴； （2）解：当时，令，则， 解得：， 当，即（羽毛球数量通常为整数）时，，选择活动二划算，当时，，选择活动一划算； 当时，令，则， 解得：， 当时，，选择活动一划算；当时，两种活动费用相同；当时，，选择活动二划算； 综上所述，当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算． 30．汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影．近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)甲汉服购进件时，销售完获利最多，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润等于两种汉服的利润和列出函数关系式，并确定自变量取值范围； （2）根据乙汉服数量的限制条件列不等式求出x的取值范围，再利用一次函数的增减性求最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，甲汉服数量为x件，则乙汉服数量为件， 甲每件利润为（元），乙每件利润为（元）； 总利润， 结合条件得，即y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍， ∴，解得：， ∵， ∴（x取整数）， 由（1）知， ∵， ∴y随x的增大而减小 ∴当时，y取得最大值， 将代入得，最大利润（元）． 答：当甲汉服购进40件时，该店销售完这两种汉服后获利最多，最大利润为8800元． 31．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： (1)求关于的函数解析式； (2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择_____品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） (3)当_____时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【答案】(1) (2)A (3)5或40 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）先根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，， 设， 将点代入得， 解得：， ； （2）解：由图象可知，当时，， 小明从家骑行到工厂所需时间为， A品牌所需费用为元， B品牌所需费用为元， ， 选择A品牌共享电动车更省钱； （3）解：当时，， ， 解得：， 当时，为或， 或， 解得：（舍去）或， 答：当x的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 32．小明根据学习函数（如图1）的经验，自主探究函数的图象与性质． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)化简函数表达式：当时，________；当时，________； (2)请在图1同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并回答：的图象可以由的图象向______平移______个单位得到； (3)如图2，矩形的顶点，在轴上，顶点，，当“绝对值函数”（为常数）的图象有部分被矩形覆盖时，被覆盖的部分记作“图象”，点是“图象”上的一个动点． ①当的最大值为3时，求的取值范围； ②已知的最小值为，求满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)函数的图象如下： 向右，3 (3)①或；② 【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可； （2）画出函数图象，根据函数图象平移的性质求解即可； （3）①当时，，分别求出经过点，时对应的k值；当时，，分别求出经过点，时对应的k值；即可得出结论； ②分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别根据最小值列方程求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：的图象略， 的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； （3）解：①当时，， 经过点时，，解得， 经过点时，，解得，, ∴； 当时，， 经过点时，，解得， 经过点时，，解得， ∴； 综上所述：或； ②当时，时n的值最小为， ∴， 解得； 当时，n的最小值为0， ∴， 解得（舍）； 当时，时n的值最小为， ∴， 此方程无解； 综上所述：k的值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一次函数的应用期中复习讲义 1.确定一次函数解析式：熟练掌握待定系数法，会利用图象上两个点的坐标，求一次函数、正比例函数解析式；能根据表格信息、实际情境中的两组数据求出函数关系式。 2.利用一次函数解决简单实际问题：读懂行程、利润、计费、方案选择等实际背景，理解解析式、图象中k、b的实际含义；能根据自变量的值求函数值，或者根据函数值反求自变量。 3.结合函数图象解决问题：看懂实际问题的一次函数图像，从图像读取关键点坐标，获取对应的实际意义；会利用图像比较大小，直接获取变量信息。 4.一次函数与一元一次方程：理解一次函数图象与 x 轴交点横坐标，就是对应一元一次方程的解；能借助函数图象求解一元一次方程。 5.方案优选问题：会建立两个一次函数，通过比较函数值大小，选择最优方案；注意自变量的实际取值范围。 6.数形结合思想：建立函数模型，把实际问题转化为一次函数问题求解，最后检验结果是否符合现实意义。 7.易错点梳理 忽略实际问题自变量取值限制，出现不符合题意的解； 不能读懂图像拐点、交点的实际含义； 待定系数法计算代入坐标时符号出错； 方案比较时，忘记分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★★ 题型二 最大利润问题 ★★★ 题型三 行程问题 ★★★ 题型四 梯度计价问题 ★★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★★★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点03：利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具 (如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较。 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 知识点04:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 知识点 05利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点 06一次函数最值问题（拔高综合） 核心规律（结合自变量取值范围） k>0，y随x增大而增大： x取最大值→y最大；x取最小值→y最小； k<0，y随x增大而减小： x取最大值→y最小；x取最小值→y最大。 2. 题型场景 采购成本最低、利润最大、耗材最少、行程最短。 3. 解题步骤 （1）写出y=kx+b； （2）确定x取值范围m≤x≤n； （3）根据k正负判断增减，代入区间端点求最值 知识点 07 两种一次函数方案选择（拔高压轴） 1. 核心思路 设两种方案总费用： 方案①：y1=k1x+b1 方案②：y2=k2x+b2 分三步比较： 求交点：令y1=y2，解方程，求出临界x0； 分类讨论： x=x0：两种方案费用相同； x>x0：比较k大小，k越小越省钱； x<x0：基础费b小的方案更划算。 2. 实用判断口诀 k代表单价，单价低适合量大；b代表基础费，基础费低适合量小。 知识点08:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 题型一：分配方案问题 1．本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司． 2．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 3．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 题型二：最大利润问题 4．如图，购买一种苹果，所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，如果班级搞一次茶话会，一次购买26千克这种苹果需____元． 5．如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（    ） A．第24天销售量为300件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第27天的日销售利润是1250元 D．第15天与第30天的日销售量相等 6．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 100 128 足球 80 105 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了k元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润是1860元，求k的值． 题型三：行程问题 7．甲、乙、丙、丁四位同学参加“欢乐跑”活动，图中的四个点分别描述了他们跑的路程（m）与时间（h）的情况，则四人中速度最快的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 9．2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 题型四：梯度计价问题 10．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在千米以内（包括千米）起步价元，超过千米后，每多行驶千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：________． 11．自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示，若该居民本月用水量为18吨，则应交水费为（     ） A．42 B．43.2元 C．45元 D．46.8元 12．为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 题型五：其他问题 13．如图，若弹簧的长度是所挂重物的一次函数，则挂重时，弹簧的长度为__________． 14．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（     ） A．9点40分 B．10点15分 C．9点45分或9点30分 D．9点40分或10点 15．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元/双时，每天能售出双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式： (2)当降价元时，公司平均每天所获利润为________元； (3)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋降价多少元？ 题型六：一次函数与几何综合 16．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 18．已知点，，，且，为的中点． (1)如图1，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，，直线交直线于点，给出线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将点向下平移个单位长度到点，动点从点出发，同时动点从点出发，都沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，交于点，若，求的值． 题型七：已知直线与坐标轴交点求方程的解 19．如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________． 20．如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）    A． B． C． D．无法确定 21．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为_________． 题型八：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 22．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 23．已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是_______． 24．如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 题型九：利用图象法解一元一次方程 25．如图，一次函数的图像经过点，则方程的解是（     ） A．4 B．1 C．3 D．2 26．已知一次函数图像与正比例函数图像交于点（2，3）（是常数），则关于的方程的解是_____________． 27．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 解答题 28．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 29．《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 30．汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影．近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 31．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： (1)求关于的函数解析式； (2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择_____品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） (3)当_____时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 32．小明根据学习函数（如图1）的经验，自主探究函数的图象与性质． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)化简函数表达式：当时，________；当时，________； (2)请在图1同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并回答：的图象可以由的图象向______平移______个单位得到； (3)如图2，矩形的顶点，在轴上，顶点，，当“绝对值函数”（为常数）的图象有部分被矩形覆盖时，被覆盖的部分记作“图象”，点是“图象”上的一个动点． ①当的最大值为3时，求的取值范围； ②已知的最小值为，求满足条件的的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $