2026--2027学年沪科版九年级数学上册期中模拟培优训练（第21章至22章）

九年级上学期期中模拟培优训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.范围：第21章至22章 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（     ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 3.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，连接，且交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 4.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 5.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 6.（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，D为上一点，E为的中点，与相交于点F，若，则（   ） A．3 B． C． D．4 7.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 8.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（   ）    A． B． C． D． 9.如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 12.（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点，若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为___________． 13.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，延长至，使．连接，平分交于点，则的长为________． 14.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为（分别在边上）． （1）若四边形为正方形，则___________． （2）当的长为___________时，与相似． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知二次函数． （1）当时，求该函数的顶点坐标； （2）无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 16.（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使它与关于轴对称： （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； （3）设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形中，连接，点是边上一点，连接并延长，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）如果，，，求四边形的面积． 18.（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线（m为常数）经过点． （1）求抛物线的对称轴； （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且，求n的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若的最大值为6，求直线，之间的距离． 20.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度； ②直接写出的面积． 六、解答题（本题满分12分） 21.（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） （1）已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； （2）若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； （3）在（2）的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 七、解答题（本题满分12分） 22.（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、C（C在A的左侧），与y轴交于点B． （1）若，，． ①直接写出抛物线解析式： ； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线上是否存在点M使与相似，若存在，求出点M的坐标； （2）如图2，点P和点Q在抛物线上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 八、解答题（本题满分14分） 23.如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期中模拟培优训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.范围：第21章至22章 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线．∵当时的最大值为7，当时的最大值3，∴函数的顶点在的范围内，即，．∵当时，函数图象在对称轴左侧，该范围内最大值在处取得，∴时，．∵顶点处的最大值为7，∴，∴．将代入，得，解得（负值舍去），∴．故选：D 2.（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（     ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【详解】解：∵，∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，，∴时，取最大值，即，得；当时，， ∴时，取最大值，最大值为．故选：D 3.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，连接，且交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，，，， ，，，， ．故选：A． 4.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【详解】解：∵，∴的顶点坐标为， ∵顶点在的图象上，∴将代入得，整理得， ∵当时，都有，即，将代入上式，化简得，设，∵该二次函数的二次项系数为，抛物线开口向上， ∴要使时恒成立，只需区间端点处的函数值，当时，，整理得，解得，当时，，整理得，解得， 取两个解集的交集，得．故选：D 5.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 【详解】解：由题意可得，当时，则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴，解得； 当时，则，∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，解得； 由上可得，的长为或，故选：C． 6.（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，D为上一点，E为的中点，与相交于点F，若，则（   ） A．3 B． C． D．4 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵E为的中点，∴，∴， ∴，∵，∴，∴，∴，， ∴， ∴.故选：C． 7.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵矩形中，，∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴∵设点P的运动时间是时，的面积是，∴①当点在上运动时，即：， 这是开口方向向上的二次函数；∴②当点在上运动时，即：； 这是一次函数；∴③当点在上运动时，即：，这是开口方向向下的二次函数；综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 8.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【详解】解：①，∽，， ，而，，， ，，，，，， ②设，，由图可知：，，，， ，，，即，解得，．故选：C． 9.如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：四边形是边长为6的正方形，点是的中点，，，，，，故①正确；，，，同理，， ，，，， ，，故②正确； ，，，，，， 故③正确；，，， ，，，故④正确；，， ，，，故⑤正确，故选：D． 10.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【详解】解：与直线在范围内有唯一公共点，令，即， （1）当△时，则，解得， 当时，原方程为，解得，不合题意，舍；当时，原方程为，解得满足要求， ； （2）当△时，与直线在范围内有一个根，即与x轴在范围内有一个交点， ①若与时的两个函数值异号，当时，，当时，， ，时，或，∵开口向上，则的解为， ②若与时的两个函数值中有一个为0，即为方程的根， 当是方程的根时，则，另一个根为，在范围内， 当是方程的根时，则，另一个根为，不在范围内，综上所述：或．故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 【详解】解：如图作垂直于竖直线， 设相邻两条竖格线间的距离为，∵练习纸中的竖格线平行且间距相等， ∴，， ∴，∴. ∵， ∴． 12.（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点，若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为___________． 【详解】解：∵ 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，∴ 抛物线的对称轴为直线，∵ 抛物线的对称轴为直线，∴ ，解得．∴ 抛物线解析式为．设点的坐标为，∵ 为轴上方抛物线上的点， ∴ 点到轴的距离为，点到对称轴直线的距离为，根据题意，两距离相等，列方程：， 当时，，方程化为，整理得，解得（舍去，不满足），，此时点的纵坐标为； 当时，，方程化为，整理得，解得（舍去，不满足），，此时点的纵坐标为；综上，点的纵坐标为． 13.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，延长至，使．连接，平分交于点，则的长为________． 【详解】解：过点作于，如图所示， 为正方形， ，，，， 平分，，，，， ，，，， 设，则，，，在中，． 14.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为（分别在边上）． （1）若四边形为正方形，则___________． （2）当的长为___________时，与相似． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为正方形，∴，，， ∴，，∴．设，则，， ∵，∴，即，解得．∴． （2）在中，，，，∴， ∴． 分两种情况讨论：情况一：如图，，即 ∵为公共角，∴．由折叠性质可知，因此，即为边上的高． 在中，，即，解得； 情况二：如图，，即， 由相似性质得， 由折叠性质可知，所以，又，因此，∴．同理，由相似性质得，由折叠性质可知，所以，又，因此，∴，∴∴D为中点，∴；综上，的长为或5． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知二次函数． （1）当时，求该函数的顶点坐标； （2）无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 【详解】（1）解：当时，，此时该函数的顶点坐标为； （2）解：，∴当，即时，，∴该定点坐标为； （3）解：，∴该函数顶点纵坐标为， ，，∴当时，取得最大值，最大值为． 16.（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使它与关于轴对称： （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； （3）设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 【详解】（1）所作如图所示： （2）所作如图所示； （3）解：由（2）可知：点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是；故答案为． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形中，连接，点是边上一点，连接并延长，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）如果，，，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，，，， ，． （2）解：据（1）可知，则，可得，即， 解得，，四边形为平行四边形，，， ，，，，，， ，设，则，，，，，，． 18.（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将、代入， 得，解得，∴一次函数解析式为，∵点在一次函数图象上， ∴，解得，∵点在反比例函数图象上，∴反比例函数解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、，∴，，∵点P在反比例函数第一象限图象上，∴设，，，在和中，，，∴， ∴，即，解得或（舍），∴点P的坐标为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线（m为常数）经过点． （1）求抛物线的对称轴； （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且，求n的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若的最大值为6，求直线，之间的距离 【详解】（1）解：将点代入得，，解得， ∴；∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）知，，∴抛物线与轴的交点坐标为， ①当时，结合对称轴为直线，无法满足； ②当时，∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，又∵，∴，由对称性得， 联立得，∴，把代入，得，∴； （3）解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间， ∵要使的最大值为6，为直线与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称， ∴其中一条直线经过顶点，不妨设直线经过顶点，即：时， 设最大时，另一条直线的解析式为，∴，即 ∴和为方程的两根，∴∴， 解得，∴，∴直线，之间的距离为9． 20.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度； ②直接写出的面积． 【详解】（1）证明：∵为边上的高，∴， ∴，∴，∵平分，∴， ∴； （2）解：①在中，，，∴， ∵，∴， ∴，∴，设，则，∵， ∴，∴，解得，即； ②过点作于点， ∵是的平分线，，∴，∴， 由（1）知，，∴，∴． 六、解答题（本题满分12分） 21.（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） （1）已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； （2）若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； （3）在（2）的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，，解得：，∴，∵， 当时，，解得：，，∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高，∴， 解得：，∴，∵过点，∴当时，， 解得：，∴，当时，，解得：，，∴，∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物，∴当时，，∵，∴跳弹能避开障碍物，∵暗礁的一个截面宽，， ∴，∴当时，，∵，∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标，设，∵，∴，， ∵，∴，∵要避开暗礁，∴，∴，即， ∵过点，当时，，即，∴当时，，，即， ∵，∴，解得：． 七、解答题（本题满分12分） 22.（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、C（C在A的左侧），与y轴交于点B． （1）若，，． ①直接写出抛物线解析式： ； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线上是否存在点M使与相似，若存在，求出点M的坐标； （2）如图2，点P和点Q在抛物线上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 【详解】（1）解：①将，，代入 得，解得故抛物线解析式为； ②过作轴 ∵点与点关于轴对称∴，，， 当时，∴∴，∵，∴∴   ∴ 当时，∴∴，∵，∴∴ ∴故或； （2）∵抛物线解析式为当时，∴设直线的解析式为，直线的解析式为∴，∴ ∵∴∴ ∴ （即 即点是的中点）∵∴∴∵∴∴，，∴ ∴又∵直线经过抛物线上两点、∴∴的两个根为和∴∴而 ∴∴∴为定值1． 八、解答题（本题满分14分） 23.如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 【详解】（1）解：①如图1，四边形是正方形，，， ，，，， ； ②如图2，连接．交于点． 四边形是正方形，，点、分别是、的中点， ，四边形是平行四边形，， ，，，， ，，，，； （2）证明：如图3， ，，，， ，，，， ，，，，又， ，，，， ，，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $