专题02 一元二次方程与二次函数（5大高频考点精编）2026-2027学年九年级数学上册人教版

专题02 一元二次方程与二次函数 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 一元二次方程的解法 考点03 二次函数的图象与性质 考点04 二次函数与一元二次方程的联系 考点05 一元二次方程与二次函数的实际应用 考点01 一元二次方程的概念 【方法点拨】概念定义：只含一个未知数、未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程，它的一般形式为 （），其中 、、 分别是二次项系数、一次项系数、常数项，读系数时必须带符号． 判断步骤：①去分母、去括号、移项、合并同类项，整理成一般形式；②看未知数的个数与最高次数；③看二次项系数是否确定不为 0，含字母时要分类讨论． 易错点： 未注明 不能称为一元二次方程；形如 的方程二次项会抵消，实为一元一次方程；由“有一个根为 0”求字母时，既要令常数项为 0，又要检验二次项系数不为 0． 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，紧扣“整式方程、只含一个未知数、最高次数为 2”三个条件逐一判断即可． 【详解】解：A 项中未知数 出现在分母上，是分式方程，不是整式方程，故错误； B 项中二次项系数 可能等于 0，不能确定它一定是二次方程，故错误； C 项整理得 ，即 ，未知数最高次数为 1，是一元一次方程，故错误； D 项符合 （）的形式，是一元二次方程．故选：D． 【易错】勿把“含 的方程”都当成一元二次方程，必须先看 是否成立，再看二次项是否真正保留． 2．把方程 化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．2，3，1 B．2，-3，1 C．2，-3，-1 D．-2，3，-1 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，移项时各项都要改变符号，读系数时不能遗漏负号． 【详解】解：移项得 ； 所以二次项系数为 2，一次项系数为 ，常数项为 1．故选：B． 【易错】常见错误是写成 后就地读系数，把常数项读成 ；一般形式右边必须是 0． 3．若关于 的方程 是一元二次方程，则 应满足（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义中对二次项系数的限制，只要二次项系数不为 0 即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得 ．故选：B． 【易错】这类题只需令二次项系数不为 0，与一次项系数、常数项无关，不要附加其他条件． 4．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的意义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，把根代入原方程即可得到关于 的方程． 【详解】解：把 代入方程得 ， 解得 ．故选：A． 【易错】代入时注意 要按 计算，不要漏平方． 5．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根的意义与整体代入思想，由根的意义得到 ，再把所求式子整体变形． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ； ∴ ．故选：C． 【易错】此类题不必解方程求 ，应把 当作一个整体替换，这是“降次”的核心思路． 6．若 、 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的意义与根与系数的关系，先用 满足方程把 降次，再用 整体代入． 【详解】解：∵ 是方程的根，∴ ，即 ； ∴ ； 又 ，∴ 原式 ．故选：A． 【易错】易错：把 直接换成 求解，或者把两根之和的符号记反（本题 ，不是 ）． 二、填空题 1．一元二次方程 的一般形式是                            ，其中 的值为                            ． 【答案】；1 【分析】本题考查一般形式与判别式中 、、 的取值，先化为右边为 0 的形式再代入计算． 【详解】解：移项得 ，此时 ，，； ∴ ． 【易错】计算 时 ，代入要加括号写成 ，否则容易算成 ． 2．若关于 的方程 是一元二次方程，则                             ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的定义，由“最高次数为 2”得 ，再由“二次项系数不为 0”筛选． 【详解】解：由题意得 ，解得 或 ； 又 ，即 ， ∴ ． 【易错】这类“次数含字母”的题目必须两个条件同时满足，只解绝对值方程会多出一个不合要求的答案． 3．方程 的解是                            ． 【答案】， 【分析】本题考查直接开平方法，形如 （）的方程两边开平方时右边要取正负两个值． 【详解】解：两边开平方得 ； ∴ ，． 【易错】最常见的错误是只写 ，漏掉 而丢解． 4．若 是方程 的一个根，则                             ，方程的另一个根是                            ． 【答案】；1 【分析】本题考查根的意义与根与系数的关系，先用代入法求 ，再用两根之和求另一根． 【详解】解：把 代入得 ，∴ ； 此时方程为 ，由 得另一根为 ． 【易错】也可把方程因式分解为 直接读出两根，比再解一次方程更快． 5．若 与 都是方程 的根，则 的值为                            ． 【答案】-1 【分析】本题考查根与系数的关系（韦达定理），由两根直接写出 、． 【详解】解：由根与系数的关系得 ，； ∴ ，，． 【易错】注意 中的负号， 时易误写成 ． 6．若关于 的一元二次方程 有一个根为 0，则                             ． 【答案】-1 【分析】本题考查根的意义与一元二次方程定义的联合应用：把 代入得常数项为 0，再由二次项系数不为 0 取舍． 【详解】解：把 代入得 ，解得 或 ； 又方程是一元二次方程，∴ ，即 ； ∴ ． 【易错】本题若不检验 ，会把 也写进去，这是此类题的固定陷阱． 三、解答题 1．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），二次项系数 4，一次项系数 2，常数项 ； （2），二次项系数 3，一次项系数 ，常数项 1； （3），二次项系数 1，一次项系数 ，常数项 ． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，关键是先展开、移项、合并同类项，把右边化为 0 后再读各项系数． 【详解】解：（1）移项得 ，二次项系数为 4，一次项系数为 2，常数项为 ； （2）左边展开得 ，右边展开得 ，移项合并得 ，二次项系数为 3，一次项系数为 ，常数项为 1； （3）两边展开得 ，移项合并得 ，二次项系数为 1，一次项系数为 ，常数项为 ． 【易错】（2）中左边的平方不要写成 ；读系数时若某一项缺失，其系数是 0 而不是不存在． 2．已知关于 的方程 ． （1）当 满足什么条件时，该方程是一元二次方程？ （2）当 满足什么条件时，该方程是一元一次方程？此时方程的解是多少？ 【答案】（1）；（2），此时方程的解为 ． 【分析】本题考查方程类型的判定：二次项系数不为 0 时为一元二次方程；二次项系数为 0 且一次项系数不为 0 时为一元一次方程． 【详解】解：（1）由 得 ， ∴ 当 时，该方程是一元二次方程； （2）由 且 得 ， 当 时原方程变为 ，解得 ． 【易错】（2）中必须同时保证一次项系数 ，否则未知数也被消去，方程不再是“一次”的． 3．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值． 【答案】2028 【分析】本题考查根的意义与整体代入，把 作为一个整体替换，避免解方程带来的复杂运算． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ； ∴ ． 【易错】先提公因式再看整体，若直接解出 再代入，运算量会成倍增加且易错． 4．已知关于 的方程 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根的积为 3，求 的值及这两个根． 【答案】（1）见解析；（2） 时两根为 1 和 3； 时两根为 和 ． 【分析】本题考查判别式与根与系数的关系：（1）中代数式的值恒为正即证得两不等实根；（2）中由两根之积建立关于 的方程，求出后要分别写出对应的两根． 【详解】解：（1）证明：， ∴ 不论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设两根为 、，则 ， 由题意得 ，解得 或 ； 当 时方程为 ，解得 ，； 当 时方程为 ，解得 ，． 【易错】（1）中 化简后不含 ，说明该方程的两根之差是定值（等于 2），可记住这个结论用于快速判断． 考点02 一元二次方程的解法 【方法点拨】四种解法：①直接开平方法——适用于 （）；②配方法——先把二次项系数化为 1，再在两边加上一次项系数一半的平方；③公式法——先算 ，当 时 ；④因式分解法——把一边化为 0，另一边分解为两个一次因式的积，令每个因式为 0． 判别式与根的关系： 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根．若 、 是 的两根，则 ，． 解题步骤与易错点：公式法务必先化一般形式再读 、、；因式分解时不能两边同时除以含未知数的因式，否则会丢根；含字母系数的“一次方程情形”要单独讨论（如 可能为 0）． 一、单选题 1．方程 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直接开平方法，形如 （）的方程有两个互为相反数的实数根． 【详解】解：移项得 ， 两边开平方得 ，即 ，．故选：C． 【易错】开平方必须带 ，只写 会漏掉负根； 不是 ，注意区分． 2．用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法的关键一步：把常数项移到右边，再在两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：移项得 ， 两边加上 ，得 ， 即 ．故选：A． 【易错】配方时加在左边的数必须同时加在右边，否则等式不成立； 的符号由 的符号决定，不要写成 ． 3．一元二次方程 的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查用根的判别式判断根的情况，算出 的符号即可下结论． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程没有实数根．故选：C． 【易错】判断根的情况只看 的符号，不要去尝试配方或硬解， 为负数时记得加括号再平方． 4．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查“两个不相等的实数根”与 的等价转化，得到关于 的不等式后求解． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得 ．故选：A． 【易错】本题二次项系数是 1，已确定不为 0，不必再附加 的条件；注意“有两个不相等实根”对应 而不是 ． 5．方程 的解是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解方程，移项后提公因式 ，切勿两边直接约去 ． 【详解】解：移项得 ， 提公因式得 ， ∴ 或 ，即 ，．故选：C． 【易错】若两边同除以 ，会丢掉 这个根，这是本题唯一的陷阱；同理，解方程时不要约去含未知数的因式． 6．已知 、 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，先通分把待求式化为 ，再用两根之和与两根之积整体代入． 【详解】解：由根与系数的关系得 ，； ∴ ．故选：A． 【易错】先通分再代入是这类题的通用套路；直接解方程得 、 再计算也可，但通分更具一般性． 7．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（     ） A． B． C． 且 D． 且 【答案】A 【分析】本题考查含参方程“有实数根”的讨论，必须分二次方程与一次方程两种情形，否则会漏掉 ． 【详解】解：①当 ，即 时，方程变为 ，有实数根 ，符合题意； ②当 ，即 时，由 得 ； 综上，．故选：A． 【易错】题目说的是“方程”而不是“一元二次方程”，所以 的情形必须保留；若题目改为“一元二次方程有实数根”，答案才是 C． 二、填空题 1．方程 的解是                            ． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解法，移项后提公因式，切忌两边同除以 ． 【详解】解：移项得 ， 提公因式得 ， ∴ ，． 【易错】两边同除以 只能得到 ，丢掉 ；这是因式分解法最典型的失分点． 2．用公式法解方程 时，                            ，方程的解为                            ． 【答案】17； 【分析】本题考查公式法，先确定 、、 并算判别式，再代入求根公式． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ； ∴ ． 【易错】代入时 要变号（ 得 3）， 代入 时乘积为正，这两处最容易算错符号． 3．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则                             ，此时方程的根为                            ． 【答案】； 【分析】本题考查“两个相等实根”对应 ，求出 后再回代解方程． 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根，∴ ，解得 ； 当 时方程为 ，即 ， ∴ ． 【易错】两个相等实根仍要写两个相同的根，不能只写一个 ． 4．方程 的解是                            ． 【答案】， 【分析】本题考查形如 的方程的解法：移项后用平方差公式因式分解，或直接得 ，两种思路都不丢根． 【详解】解：移项得 ， 由平方差公式得 ， 即 ， ∴ ，． 【易错】直接开平方写成 也可，但必须写 ，只取正号会漏掉一根． 5．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是                            ． 【答案】 且 【分析】本题考查含参二次方程有实数根的条件：二次项系数不为 0 且 ，两个条件缺一不可． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程，∴ ； ∵ 方程有实数根，∴ ，解得 ； ∴ 且 ． 【易错】题目已明确“一元二次方程”，所以 不能取；若只说“方程有实数根”，则还要把 （此时为一次方程）算进去． 6．已知 是方程 的一个根，则 的值为                            ． 【答案】4 【分析】本题考查根的意义与整体代入，由 得 ． 【详解】解：∵ 是方程 的根，∴ ，即 ； ∴ ． 【易错】只要所求式子中含有 这个组合，就可以整体替换，不必求出 的具体值． 三、解答题 1．解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）； （3）（用因式分解法）； （4）． 【答案】（1），；（2）； （3），；（4），． 【分析】本题考查一元二次方程四种解法的具体运用，关键在于根据方程的结构特征选择最简便的方法． 【详解】解：（1）移项得 ，两边加 4 得 ， ∴ ，∴ ，； （2）， ∴ ； （3）移项得 ，提公因式得 ， ∴ ，； （4）设 ，则 ，解得 ，， ∴ 或 ，即 ，． 【易错】（3）中把 变为 是提公因式的前提，符号写错会得到错误的根；（4）用换元法可避免展开后合并的繁琐，也可直接因式分解为 ． 2．已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一个根为 2，求 的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析； （2） 时另一根为 1； 时另一根为 3． 【分析】本题考查判别式与根的意义：（1）只需证明 恒大于 0；（2）把根代入求 ，再回代求另一根． 【详解】解：（1）证明：， ∴ 无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）把 代入得 ，整理得 ， 解得 或 ； 当 时方程为 ，另一根为 1； 当 时方程为 ，另一根为 3． 【易错】原方程可分解为 ，两根恒为 与 ，用这个结论可以直接读出另一根为 ，省去再解一次方程． 3．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根． （1）求 的取值范围； （2）若方程的两根 、 满足 ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查判别式与根与系数的综合：（1）由 求范围；（2）把 化为 后代入，最后必须用（1）的范围检验． 【详解】解：（1）∵ 方程有两个实数根，∴ ， 即 ，解得 ； （2）由根与系数的关系得 ，， ∴ ， 由 得 ，解得 ； ∵ ，∴ 取 ． 【易错】（2）求得两个值后一定要用（1）中 的条件舍去 ，否则会多写一个不合题意的答案． 4．小华解方程 的过程如下： 解：，，，， ， 所以 ，． 请判断小华的解答是否正确；若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，错在代入求根公式时把 写成了 ；正确解为 ，． 【分析】本题考查公式法中的易错点辨析，重点检查 的符号与分母 的取值． 【详解】解：小华的解答不正确，错在第三步：求根公式中分子应为 ，当 时 ，他却写成了 ； 正确解法：∵ ，，，∴ ， ∴ ， ∴ ，． 【易错】这类“纠错题”要指出具体位置（第几步、哪个式子），并说明错因；只写正确答案不得全分．本题用因式分解 也可快速验证． 5．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根． （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查判别式与两根之差的转化：由 建立起关于 的方程． 【详解】解：（1）∵ 方程有两个实数根，∴ ， 即 ，解得 ； （2）由根与系数的关系得 ，， ∵ ，∴ ， 即 ， ∴ ，即 ，解得 ； ∵ ，符合（1）的条件，∴ ． 【易错】（2）中也可直接看出 ，于是 ，运算更简洁；但必须回代检验 是否满足 ． 6．已知 、 满足 ，，且 ，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查韦达定理的逆向运用：由 、 满足同一个方程且不相等，知它们是同一元二次方程的两根，从而可用两根之和与两根之积求值． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 、 是方程 的两个不相等的实数根； ∴ ，， ∴ ． 【易错】若 ，则 、 只是同一个根，不能使用韦达定理，所以条件 是构造方程的关键，不能忽略． 考点03 二次函数的图象与性质 【方法点拨】图象与性质：（）的开口由 决定， 开口向上、 开口向下；对称轴是直线 ，顶点的纵坐标是 ．把解析式配方成 后可直接读出顶点 ，这是最常用的变形． 平移规律：把 的图象向右（左）平移 个单位得 （），再向上（下）平移 个单位得 ，口诀是“左加右减、上加下减”，加减作用在相应的位置上而不是整个式子上． 增减与最值： 时，在对称轴左侧 随 增大而减小、右侧增大，顶点处取最小值； 时相反，顶点处取最大值．求闭区间上的最值，先看顶点横坐标是否落在区间内，落在区间内就比较顶点与两端点，落在区间外则函数在区间上单调． 易错点：二次函数的二次项系数必须不为 0；比较函数值大小时不能只比横坐标，应先看开口方向，再比较各点到对称轴的距离；绕顶点旋转 只改变 的符号，顶点不变． 一、单选题 1．下列函数中， 是 的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的概念：形如 （）的函数叫二次函数，其中右边必须是整式、自变量最高次数为 2． 【详解】解：A 项中自变量最高次数为 1，是一次函数； B 项中自变量在分母上，不是整式，属于反比例函数的变形； C 项符合 （）的形式，是二次函数； D 项中自变量最高次数为 3．故选：C． 【易错】判断时要同时看“整式”和“最高次数为 2”两个条件，像 这种含 的式子并不是二次函数． 2．抛物线 的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查顶点式 与顶点 的对应关系，注意括号内是减号时 取正． 【详解】解：∵ 已是顶点式，其中 ，， ∴ 顶点坐标为 ．故选：A． 【易错】顶点式中 的符号与括号内相反： 对应 ， 才对应 ． 3．抛物线 的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查对称轴公式 ，代入时注意 、 都带符号． 【详解】解：∵ ，， ∴ 对称轴为直线 ．故选：B． 【易错】分母是 而不是 ；本题配方得 后可直接读出，但 时分母为负，符号最容易算错． 4．二次函数 的图象的开口方向和顶点坐标分别是（     ） A．向上， B．向下， C．向上， D．向上， 【答案】A 【分析】本题考查开口方向与顶点坐标的求法： 开口向上，配方后即可读出顶点． 【详解】解：∵ ，∴ 开口向上； ∵ ， ∴ 顶点坐标为 ．故选：A． 【易错】配方时 加 1 减 1，得 ，不要错写成 ． 5．将抛物线 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”：左右平移改变括号内的符号，上下平移改变常数项． 【详解】解：把 向右平移 2 个单位得 ， 再向下平移 3 个单位得 ．故选：B． 【易错】向右平移对应 减 2（不是加 2），向下平移对应常数项减 3，这两个方向最容易同时写反． 6．若点 、、 都在二次函数 的图象上，则 、、 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的纵坐标大小比较，开口向上时，点离对称轴越近函数值越小；也可直接代入计算． 【详解】解：∵ ，∴ 对称轴为直线 ，开口向上； 三点到对称轴的距离分别为 ，，， ∵ 开口向上，距离越小函数值越小，∴ ．故选：B． 【易错】也可直接代入得 ，，，结果一致；用“距离对称轴远近”判断时必须先确认开口方向． 7．已知二次函数 的图象开口向下，且经过点 、，则它的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称性：纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，对称轴是这两点连线的垂直平分线． 【详解】解：∵ 点 与 的纵坐标相同， ∴ 它们关于对称轴对称，对称轴为直线 ．故选：B． 【易错】只要两个点的纵坐标相等，它们的横坐标的平均值就是对称轴，与开口方向无关；题目给出的“开口向下”只是多余条件，用来排除其他可能性． 8．若抛物线 与 轴两个交点之间的距离为 4，则 的值为（     ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与 轴两交点间距离与判别式的关系：． 【详解】解：设两交点横坐标为 、，则 ，； 由题意得 ，两边平方得 ， ∴ ，解得 ．故选：A． 【易错】也可由 得 ，即 ，同样得 ；注意 时 ，两交点确实存在． 二、填空题 1．二次函数 的图象开口                            ，对称轴是                            ，顶点坐标是                            ，当                             时， 有最                            值． 【答案】向下；直线 ；；1；大； 【分析】本题考查二次函数图象的基本性质，先配方化为顶点式，再由 的符号判断开口方向与最值类型． 【详解】解：∵ ，， ∴ 开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； ∴ 当 时， 有最大值 ． 【易错】配方时提出 后括号内要变号：，常数项容易算成 或 ． 2．抛物线 与 轴的交点坐标是                            ，与 轴的交点坐标是                            ． 【答案】、； 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点求法：与 轴的交点令 ，与 轴的交点令 ． 【详解】解：令 得 ，即 ，解得 ，， ∴ 与 轴的交点为 、； 令 得 ，∴ 与 轴的交点为 ． 【易错】与 轴的交点纵坐标就是常数项 ，可快速核对；答案要写成坐标形式，只写 、 不完整． 3．若抛物线 的顶点是 ，则                             ，                            ． 【答案】； 【分析】本题考查顶点坐标与系数的关系：由对称轴为 求出 ，再由顶点在图象上求出 ． 【详解】解：∵ 顶点为 ，∴ 对称轴为直线 ，即 ，∴ ； 把 代入 得 ，解得 ． 【易错】也可直接写顶点式 ，展开后对应系数更直观，且不易出错． 4．将抛物线 绕它的顶点旋转 后，所得抛物线的解析式为                            ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线绕顶点旋转 的变换规律：顶点不变，开口方向相反，即 变为 ． 【详解】解：抛物线 的顶点为 ，开口向上，； 绕顶点旋转 后顶点仍为 ，开口向下且形状不变， 变为 ， ∴ 所得抛物线为 ． 【易错】绕顶点旋转 不是关于 轴翻折（那会使顶点变为 ），顶点必须保持不变，这是判断题的关键． 5．已知二次函数 的最小值为 2，则 的值为                            ． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的最值与系数的关系，配方后令顶点纵坐标等于 2 即可． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ 当 时取得最小值 ； 由题意得 ，解得 ． 【易错】注意最小值是顶点的纵坐标 ，而不是 ；如果 ，则函数有最大值，结论要相应改变． 三、解答题 1．已知二次函数 ． （1）写出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （3）当 取何值时， 随 的增大而减小？ 【答案】（1）开口向上，对称轴为直线 ，顶点 ； （2）与 轴交于 、，与 轴交于 ； （3）当 时， 随 的增大而减小． 【分析】本题考查二次函数的基本性质，配方是核心步骤，开口方向、对称轴、顶点、增减性都由配方结果直接读出． 【详解】解：（1）∵ ，， ∴ 开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； （2）令 得 ，解得 ，，与 轴交于 、； 令 得 ，与 轴交于 ； （3）∵ 开口向上，对称轴为直线 ， ∴ 当 时， 随 的增大而减小． 【易错】（3）的答案必须写成不等式 ，只写“对称轴左侧”不够规范；若开口向下，减小区间就变为 ． 2．已知抛物线 经过点 、、． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求它的顶点坐标和对称轴； （3）当 时，求 的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）顶点 ，对称轴为直线 ； （3）最大值为 5，最小值为 ． 【分析】本题考查用待定系数法求解析式及闭区间上的最值：与 轴的两个交点已知时用交点式最简便；求区间最值要先判断顶点是否在区间内． 【详解】解：（1）∵ 抛物线与 轴交于 、， ∴ 设 ， 把 代入得 ，解得 ， ∴ ； （2）∵ ，∴ 顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； （3）∵ ，且 ，∴ 当 时 取最小值 ； 当 时 ，当 时 ， ∴ 最大值为 5，最小值为 ． 【易错】（3）中若忽略“顶点是否在区间内”，直接用两个端点比较，就会漏掉最小值 ；比较端点时要注意 才是取最大值的位置． 3．已知二次函数 （ 为常数）． （1）用含 的式子表示该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象经过原点，求 的值； （3）当 时，若 ，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 或 ；（3）． 【分析】本题考查含参二次函数的顶点、图象过定点的条件以及闭区间上的值域，配方后含参问题就化为具体问题． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ 顶点坐标为 ； （2）∵ 图象经过原点，∴ 把 代入得 ，解得 或 ； （3）当 时，，对称轴为直线 ，开口向上， ∵ ，∴ 当 时 取最小值 ； 当 时 ，当 时 ， ∴ 的取值范围是 ． 【易错】（2）中把原点代入只需令常数项为 0，含参时不要漏掉负值；（3）中顶点恰在区间端点处，最小值就是顶点值． 4．已知二次函数 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该函数的图象与 轴总有交点； （2）若该函数图象的顶点在 轴上，求 的值及顶点坐标． 【答案】（1）见解析；（2），顶点坐标为 ． 【分析】本题考查二次函数与 轴有交点的条件（）以及顶点在 轴上等价于对称轴为 ． 【详解】解：（1）证明：， ∴ 不论 取何值，该函数的图象与 轴总有交点； （2）∵ 顶点在 轴上，∴ 对称轴为直线 ， 即 ，解得 ； 当 时，， ∴ 顶点坐标为 ． 【易错】（1）中 是完全平方式，当 时 ，此时图象与 轴只有一个公共点，仍算“有交点”，所以用 ；若题目要求“两个交点”，则须 ． 5．已知抛物线 （ 为常数），当 时， 的最小值为 ，求 的值． 【答案】 或 【分析】本题考查闭区间上二次函数最值的分类讨论：顶点横坐标 相对区间 的位置有三种情形，必须逐一讨论． 【详解】解：∵ ，∴ 对称轴为直线 ，开口向上，顶点纵坐标为 ； ①当 时，函数在 上单调递增，最小值为 时的值， 即 ，解得 ，结合 得 ； ②当 时，最小值为顶点值 ，与 矛盾，此情形不成立； ③当 时，函数在 上单调递减，最小值为 时的值， 即 ，整理得 ，解得 或 ，结合 得 ； 综上， 或 ． 【易错】分类讨论的三个区间必须覆盖全体实数且互不重叠；每种情形求出的 都要回到该情形的前提条件中去检验，不符合的必须舍去． 6．已知二次函数 的图象经过点 、，且函数的最大值为 4，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法与最值的结合：由两个零点设交点式，再由最大值确定 与顶点纵坐标． 【详解】解：∵ 图象经过 、，∴ 设 ； ∵ 函数有最大值 4，∴ ，且顶点的纵坐标为 4； 对称轴为直线 ，把 代入得 ， ∴ ，解得 ， ∴ ． 【易错】“有最大值”隐含 ，若求出 说明假设有误；本题若设一般式代入三点，计算量会大很多． 7．已知二次函数 ． （1）求它的图象的顶点坐标； （2）当 时，求 的取值范围； （3）将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过原点，且顶点在 轴上，写出一种平移方法． 【答案】（1）；（2）； （3）把抛物线向左平移 1 个单位长度、再向下平移 4 个单位长度（得 ）． 【分析】本题考查二次函数的顶点、闭区间值域与平移变换，第（3）问要注意“顶点在 轴上”意味着平移后解析式为 的形式． 【详解】解：（1）∵ ，∴ 顶点坐标为 ； （2）∵ ，对称轴为直线 ，且 ， ∴ 当 时 取最大值 4； 当 时 ，当 时 ， ∴ 的取值范围是 ； （3）平移后顶点在 轴上，设新抛物线为 ， ∵ 它经过原点，∴ ，解得 ，即新抛物线为 ； ∴ 把原抛物线向左平移 1 个单位长度、向下平移 4 个单位长度即可（答案不唯一）． 【易错】（2）中开口向下时最大值在顶点处，最小值在离对称轴较远的端点处，必须把两个端点都算出来再比较；（3）的答案不唯一，只要平移后解析式确为 均可． 考点04 二次函数与一元二次方程的联系 【方法点拨】核心联系：抛物线 与 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 的根．交点个数由判别式决定： 有两个交点， 有一个交点（顶点在 轴上）， 没有交点． 常见题型与步骤：①判断交点个数——算 的符号；②由交点求参数——把交点坐标代入或由 列方程、不等式；③解不等式 ——先求两根，再结合开口方向写解集，口诀是“大于取两边、小于取中间”（）；④直线与抛物线的交点——联立消元后看所得一元二次方程的 ． 易错点： 只能判断与 轴的交点，与直线 的交点要联立后重新判断；“两个交点都在正半轴”需同时满足 、、 三个条件；由图象写不等式解集时不要忽略开口方向． 一、单选题 1．抛物线 与 轴的交点个数是（     ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查交点个数与判别式的对应关系，只需计算 的符号． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ 抛物线与 轴有两个交点．故选：C． 【易错】也可直接因式分解 看出两个交点 、，比算判别式更快． 2．若二次函数 的图象与 轴没有交点，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“与 轴没有交点”对应 ，由此得到关于 的不等式． 【详解】解：∵ 图象与 轴没有交点，∴ ， 即 ，解得 ．故选：B． 【易错】注意“没有交点”对应 （严格小于），若写成 就把“只有一个交点”的情形也算进去了． 3．已知二次函数 的图象经过点 、，则方程 的解是（     ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查图象与方程的联系：抛物线与 轴交点的横坐标就是对应方程的根，无需解方程． 【详解】解：∵ 抛物线经过 、， ∴ 方程 的解为 ，．故选：A． 【易错】交点的 坐标为 0，其横坐标即方程的根；不要被选项中的对称轴 干扰，对称轴不是方程的根． 4．抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，则 的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与坐标轴交点构成的三角形面积，先求出三个交点坐标，再以 为底、点 到 轴的距离为高计算． 【详解】解：令 得 ，解得 ，，∴ ，，； 令 得 ，∴ ，点 到 轴的距离为 3； ∴ ．故选：A． 【易错】底边 的长度是两交点横坐标之差，不是它们的和；点 到 轴的距离应取纵坐标的绝对值． 5．已知抛物线 的对称轴是直线 ，它与 轴的一个交点是 ，则它与 轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性：与 轴的两个交点关于对称轴对称，两个横坐标的平均值等于对称轴的值． 【详解】解：设另一个交点为 ，由对称性得 ， 解得 ， ∴ 另一个交点为 ．故选：A． 【易错】也可由两根之和 ，得 ；用对称性做更快，且不必知道 、． 6．已知二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，且经过点 ，则当 时， 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】本题考查由图象解不等式：先由对称性求出另一交点，再结合开口方向确定图象在 轴下方的范围． 【详解】解：∵ 对称轴为直线 ，一个交点为 ， ∴ 另一个交点为 ； ∵ 开口向上，∴ 图象在 轴上方的部分是 或 ，在 轴下方的部分是 ， ∴ 当 时，．故选：C． 【易错】本题是“ 取两根之间、 取两根之外”，前提是 ；若开口向下，结论正好相反． 二、填空题 1．抛物线 与 轴的交点个数是                            ． 【答案】0 个 【分析】本题考查交点个数与判别式的关系，算出 的符号即可判断． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ 抛物线与 轴没有交点，即交点个数为 0． 【易错】若先配方得 ，也能看出顶点在 轴上方且开口向上，同样没有交点． 2．若抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为                            ． 【答案】1 【分析】本题考查“与 轴只有一个公共点”对应 ，即方程有两个相等的实数根． 【详解】解：∵ 抛物线与 轴只有一个公共点，∴ ， 即 ，解得 ． 【易错】此时 ，公共点就是顶点 ；若题目改为“有两个公共点”，则需 ． 3．已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是                            ． 【答案】 【分析】本题考查由函数值小于 0 转化为解一元二次不等式，先求与 轴的交点，再结合开口方向写解集． 【详解】解：令 得 ，即 ，解得 ，； ∵ ，图象开口向上， ∴ 当 时，． 【易错】解集的两个端点要与两根对应，且必须用“”连接；若写成 或 ，那是 的解集． 4．已知方程 的两根为 ，，则二次函数 的图象与 轴的交点坐标是                            ． 【答案】、 【分析】本题考查方程根与图象交点的对应关系：方程的根就是交点的横坐标，纵坐标恒为 0． 【详解】解：∵ 方程 的根为 ，， ∴ 抛物线 与 轴的交点为 、． 【易错】答案必须写成点的坐标，只写 和 会被扣分，因为题目问的是“交点坐标”． 5．若二次函数 的图象经过点 、，则方程 的两根之和为                            ． 【答案】2 【分析】本题考查函数值相等与对称性的联系：纵坐标相同的两点关于对称轴对称，而方程 的两根正是这两点的横坐标． 【详解】解：∵ 点 、 的纵坐标相同，都在抛物线上， ∴ 它们是方程 的两个根， ∴ 两根之和为 ． 【易错】不必求出 、、：把 代回即得 ，其两根就是这两点的横坐标，两根之和可由对称轴得到． 6．直线 与抛物线 的交点个数是                            ． 【答案】2 个 【分析】本题考查直线与抛物线的交点问题，需联立消元后判断所得一元二次方程的判别式，不能直接用抛物线的 判断． 【详解】解：联立得 ，整理得 ， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，即直线与抛物线有 2 个交点． 【易错】常见错误是直接算 的 就下结论，那只是与 轴的交点个数，与本题所问不是同一件事． 三、解答题 1．已知二次函数 ． （1）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （2）直接写出方程 的解； （3）直接写出不等式 的解集． 【答案】（1）与 轴交于 、，与 轴交于 ； （2），；（3） 或 ． 【分析】本题考查二次函数与方程、不等式三者之间的联系，求出与 轴的交点后，方程的解与不等式的解集都可直接读出． 【详解】解：（1）令 得 ，即 ，解得 ，， ∴ 与 轴的交点为 、； 令 得 ，∴ 与 轴的交点为 ； （2）由（1）知方程 的解为 ，； （3）∵ ，图象开口向上，且与 轴交于 、， ∴ 当 或 时图象在 轴上方，即 的解集为 或 ． 【易错】（3）中 时“大于取两边”，解集用“或”连接，不能写成 这种不存在的形式． 2．已知关于 的函数 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该函数的图象与 轴总有两个不同的交点； （2）求该函数图象与 轴两个交点之间的距离． 【答案】（1）见解析；（2）1． 【分析】本题考查图象与 轴交点个数与判别式的关系，以及两交点间距离的计算：． 【详解】解：（1）证明：， ∴ 不论 取何值，该函数的图象与 轴总有两个不同的交点； （2）设两交点横坐标为 、，则 ，， ∴ ， ∴ 两交点之间的距离为 1． 【易错】由（1）知 ，距离直接为 ，与 无关；也可因式分解为 看出两交点为 、． 3．已知二次函数 的图象经过点 ，且对称轴为直线 ． （1）求 、 的值； （2）求该图象与 轴的另一个交点坐标； （3）若直线 与该图象只有一个公共点，求 的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题考查由对称轴与图象上一点确定系数、由对称性求另一交点，以及“直线与抛物线只有一个公共点”即相切于顶点． 【详解】解：（1）∵ 对称轴为直线 ，∴ ，得 ； 把 代入 得 ，解得 ； （2）设另一交点为 ，由对称性得 ，解得 ， ∴ 另一个交点为 ； （3）∵ ，∴ 顶点坐标为 ， ∵ 直线 与抛物线只有一个公共点，∴ 该直线必过顶点， ∴ ． 【易错】（3）要注意区分： 是水平直线，与抛物线只有一个公共点等价于 等于顶点的纵坐标；若是斜线 ，则需联立后令 ． 4．已知二次函数 ，解决下列问题： （1）当 取何值时，？当 取何值时，？ （2）若直线 与该函数的图象有两个公共点，求 的取值范围； （3）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围． 【答案】（1） 或 时 ； 或 时 ； （2）；（3）． 【分析】本题考查二次函数与方程、不等式、直线交点之间的相互转化，核心是把问题归结为判别式或顶点的纵坐标． 【详解】解：（1）令 得 ，即 ，解得 ，； ∵ ，图象开口向上，∴ 当 或 时 ； （2）∵ ，顶点为 ，开口向上， ∴ 当直线 在顶点上方时有两个公共点，即 ； （3）方程 有两个不相等的实数根， ∴ ，解得 ． 【易错】（2）中 时只有一个公共点，所以不能取等号；（3）与（2）本质相同： 就是直线 的纵坐标，两问结论一致，可互相验证． 5．已知关于 的函数 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该函数的图象与 轴总有交点； （2）若图象与 轴的两个交点都在 轴的正半轴上，求 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 且 ． 【分析】本题考查判别式与根与系数的联合运用：（1）证 ；（2）两交点都在正半轴需同时满足 、两根之和为正、两根之积为正． 【详解】解：（1）证明：， ∴ 不论 取何值，该函数的图象与 轴总有交点； （2）∵ ， ∴ 两交点横坐标恒为 ，； ∵ 两个交点都在正半轴上，∴ 且 ， ∴ 且 ． 【易错】（2）若只用 、 判断，还需补上 ；本题因式分解后直接看到一根恒为 2，只需讨论另一根，效率最高； 时两根重合为一个交点，必须舍去． 6．已知抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． （1）求 、、 三点的坐标及 的面积； （2）点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标． 【答案】（1），，，面积为 6； （2）． 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、三角形面积，以及利用对称求线段和最小（“将军饮马”模型）：把 转化为 ，使 最小． 【详解】解：（1）令 得 ，解得 ，， ∵ 点 在点 的左侧，∴ ，，； 令 得 ，∴ ； ∴ ； （2）∵ 的周长 ，其中 为定值， ∴ 只需 最小； ∵ 对称轴为直线 ，点 关于它的对称点为 ， ∴ ，，当 为直线 与对称轴的交点时取最小值； 设直线 为 ，把 、 代入得 ，，即 ， 当 时 ，∴ ． 【易错】（2）的关键是把“”转化为“”，用的是对称轴垂直平分 这一性质；点 必须在对称轴上，所以最后要把 代回直线 求纵坐标． 考点05 一元二次方程与二次函数的实际应用 【方法点拨】增长率（降低率）模型：设平均增长（下降）率为 ，经过两次变化后 ；若变化前后相差两次，注意“两次”“相同”这两个关键词，列出的是平方关系而不是 ． 几何与面积模型：矩形中修等宽通道、剪去等宽边条一类问题，用“平移法”把通道移到边上，剩余部分仍构成矩形，面积可写成 ，比逐块相加简便得多． 利润模型：（售价 成本） 销量，销量随售价线性变化时 是关于售价的二次函数；求最大利润要先配方或求顶点，再检验顶点横坐标是否落在自变量允许的范围内，不在范围内则取端点值． 解题步骤与易错点：①设未知数并写清单位；②找出等量关系列方程或函数；③求解后按实际意义取舍（长度为正、人数为正整数、百分率 、售价不低于成本）；④作答时补上单位，并注意“让顾客受益”“利润不低于”等附加条件对答案的筛选作用． 一、单选题 1．某商品原价为 200 元，经过连续两次降价后售价为 128 元．若每次降价的百分率都是 ，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查降低率问题的模型：连续两次降价，每次降价后的价格是上一次的 倍，两次后为原来的 倍． 【详解】解：第一次降价后的价格为 元， 第二次降价后的价格为 元， ∴ 可列方程 ．故选：B． 【易错】降价用 ，涨价才用 ； 是“两次共降 ”的错误理解， 更不符合“逐次按比例”的规律． 2．九年级（1）班同学毕业时，每人都将自己的照片向本班其他同学各送一张作留念，全班共送出 2070 张照片．若设该班有 名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“互赠”类计数问题：每人要送给除自己外的其他同学，人数为 ，共有 人送出． 【详解】解：每人送出 张照片， 名同学共送出 张， ∴ 可列方程 ．故选：B． 【易错】要区分“互赠”与“握手（只算一次）”：互赠是 ，握手是 ； 则错误地把“送给自己”也算了一次． 3．一个直角三角形的两条直角边的和为 14，面积为 24，则它的斜边长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查以面积关系列一元二次方程求直角边，再用勾股定理求斜边． 【详解】解：设两条直角边分别为 、，则 ，，即 ； ∴ 、 是方程 的两根，解得 ，， ∴ 两条直角边为 6 和 8，斜边长为 ．故选：B． 【易错】不必分别求出 、 的大小顺序，用“和为 14、积为 48”构造方程即可；斜边要用勾股定理算，不能直接取 14． 4．将一个小球竖直向上抛出，小球离地面的高度 （单位：m）与时间 （单位：s）满足 ，则小球能达到的最大高度是（     ） A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 【答案】B 【分析】本题考查二次函数最值在实际问题中的应用， 是关于 的二次函数，开口向下，顶点的纵坐标即最大高度． 【详解】解：∵ ， ∴ 当 时， 取得最大值 20， ∴ 小球能达到的最大高度是 20 m．故选：B． 【易错】最大值是顶点的纵坐标而不是 的值（2 s 是达到最大高度的时刻）；注意单位要写成 m． 5．某商品每件成本 40 元，售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件．若售价每降低 1 元，每月可多售出 20 件．设售价降低 元，每月获得的利润为 元，则 与 之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利润与售价、销量之间的二次函数关系：单件利润 售价 成本，销量随降价而增加． 【详解】解：售价降低 元后，每件利润为 元； 销量为 件； ∴ ．故选：A． 【易错】单件利润里减去的是成本 40 而不是售价 60（D 项就把售价当成了利润）；降价则销量增加，所以是 而不是 ． 二、填空题 1．某商品经过连续两次降价，售价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为                            ． 【答案】 【分析】本题考查降低率模型 的求解，注意开方后要舍去不合题意的值． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为 ，由题意得 ， ∴ ， ∴ ，解得 或 ； ∵ ，∴ ． 【易错】开方后得到的两个值必须用 检验， 显然不合实际；答案要写成百分数，且不要漏掉“平均”“每次”的表述． 2．两个连续偶数的积是 288，则这两个连续偶数是                            ． 【答案】16 和 18，或 和 【分析】本题考查连续偶数的表示与一元二次方程的求解：设较小的偶数为 ，则较大的为 ． 【详解】解：设这两个连续偶数为 与 ，由题意得 ， 整理得 ， ∴ ，解得 或 ； ∴ 这两个连续偶数为 16 和 18，或 和 ． 【易错】题目没有限定“正偶数”，两组答案都要保留；若设成 与 之外的表示（如 与 ）结果相同，但要注意两组解不要写重． 3．若一个直角三角形的两条直角边相差 3，斜边长为 ，则这个直角三角形的面积是                            ． 【答案】9 【分析】本题考查用勾股定理列一元二次方程求直角边，再由面积公式计算结果． 【详解】解：设较短的直角边为 ，则另一条为 ，由勾股定理得 ， 整理得 ，即 ， ∴ ，解得 或 （舍去）， ∴ 两条直角边为 3 和 6，面积为 ． 【易错】负根必须舍去，因为边长不能为负；面积不要忘记乘 ，这是本题最常见的失分点． 4．一座抛物线形拱桥，当水面宽为 4 m 时，拱顶离水面 2 m．以拱顶为原点、以水平方向为 轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线的解析式为                            ． 【答案】 【分析】本题考查用顶点式（此处顶点为原点）求抛物线解析式：顶点在原点时设 ，再代入一个已知点求 ． 【详解】解：∵ 抛物线的顶点为原点，∴ 设 ； ∵ 水面宽 4 m、拱顶离水面 2 m，∴ 水面与抛物线的交点为 与 ， 把 代入得 ，解得 ， ∴ ． 【易错】建立坐标系后水面在 轴下方，所以交点纵坐标是 而不是 2；若设错符号， 会算成正数，图象就开口向上了． 5．某工厂第一季度的产量为 100 万件，第三季度的产量为 144 万件．若第二、第三季度产量的平均增长率相同且都为 ，则可列方程为                            ． 【答案】 【分析】本题考查增长率模型：从第一季度到第三季度经历两次增长，每次在上一次的基础上乘以 ． 【详解】解：第二季度的产量为 万件， 第三季度的产量为 万件， ∴ 可列方程 ． 【易错】不能列成 ，增长率是“逐期按比例”叠加的，两次增长后应是平方关系；单位“万件”在方程中可以省略，但作答时要写清． 三、解答题 1．一块长 40 m、宽 30 m 的矩形空地，要在其中修建两条同样宽且互相垂直的小路，其余部分种花．若种花部分的面积为 1064 m²，求小路的宽． 【答案】小路的宽为 2 m 【分析】本题考查等宽通道问题的“平移法”：把两条小路分别平移到矩形的边上，种花部分就合成一个长为 、宽为 的矩形． 【详解】解：设小路的宽为 m， 把两条小路平移到边上后，种花部分是一个长为 m、宽为 m 的矩形， 由题意得 ， 整理得 ， ∴ ，解得 或 ； ∵ 小路的宽必须小于矩形的宽 30 m，∴ 不合题意，舍去， ∴ 小路的宽为 2 m． 【易错】若不用平移法而逐块求面积，容易漏算或重算两条小路的交叉部分；求得结果后必须检验 ，否则 会被误留． 2．某商店销售一种商品，进价为每件 30 元，当售价为每件 50 元时，每月可卖出 200 件．市场调查表明：售价每降低 1 元，每月可多卖出 20 件．若商店希望每月获得的利润为 4320 元，且尽可能让顾客受益，则售价应定为每件多少元？ 【答案】售价应定为每件 42 元 【分析】本题考查由利润列一元二次方程，并用“让顾客受益”这一条件在两个根中作出选择． 【详解】解：设售价降低 元，则每件利润为 元，销量为 件， 由题意得 ， 整理得 ， ∴ ，解得 或 ； ∵ 要尽可能让顾客受益，∴ 取降价较多的 ， ∴ 售价为 （元）． 【易错】两个根都满足利润要求，取舍标准是“顾客受益”即售价更低；“每件利润”必须用售价减进价，不要用原售价 50 元作被减数． 3．一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 8 m，拱顶高出水面 4 m． （1）以拱顶为原点、以水平方向为 轴建立平面直角坐标系，求这条抛物线的解析式； （2）当水位上升 1 m 时，水面宽度为多少米？ 【答案】（1）；（2） m 【分析】本题考查抛物线的建模与求值：顶点在原点时设 ，代入水面端点求 ；水位变化后只需把新的水面高度代入解析式求横坐标． 【详解】解：（1）∵ 抛物线的顶点为原点，∴ 设 ； ∵ 水面宽 8 m、拱顶高出水面 4 m，∴ 水面端点坐标为 、， 把 代入得 ，解得 ， ∴ ； （2）水位上升 1 m 后，水面所在直线为 ， 把 代入得 ，即 ，解得 ， ∴ 水面宽度为 （m）． 【易错】（2）中求出的 是半宽，水面宽度要乘以 2；坐标系的纵轴向上为正，水面在 轴下方，所以水位上升后是 而不是 ． 4．某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长 24 m），另外三边用长 36 m 的篱笆围成．设与墙垂直的一边长为 m． （1）若养鸡场的面积为 144 m²，求 的值； （2）养鸡场的面积能否达到 180 m²？请说明理由． 【答案】（1） 或 ；（2）不能，理由见解析． 【分析】本题考查“靠墙围矩形”问题：三边篱笆总长为 36 m，与墙平行的边长为 m，且该边不能超过墙长 24 m，这是最容易漏掉的隐含条件． 【详解】解：由题意，与墙平行的边长为 m，其中 ，即 ； （1）由 得 ， ∴ ，解得 或 ，均在 内， ∴ 或 ； （2）由 得 ， ∵ ， ∴ 该方程没有实数根，即养鸡场的面积不能达到 180 m²． 【易错】（1）中若忽略“平行于墙的边不超过 24 m”，会误删正确答案 （此时平行边恰为 24 m）；判断“能否达到”实质是判断一元二次方程是否有实数根，不必硬求． 5．某公司 2024 年的营业额为 1000 万元，2026 年的营业额为 1440 万元，且这两年营业额的增长率相同． （1）求这两年营业额的年平均增长率； （2）若增长率保持不变，预计 2027 年该公司的营业额是多少万元？ 【答案】（1）；（2）1728 万元 【分析】本题考查增长率模型 及在此基础上的一次预测，注意“2024 到 2026 是两年”这一点． 【详解】解：（1）设年平均增长率为 ，由题意得 ， ∴ ， ∴ ，解得 或 ； ∵ ，∴ ，即年平均增长率为 ； （2）2027 年的营业额为 （万元）． 【易错】从 2024 到 2026 只经历两次增长（2025、2026 各一次），列 而不是 ；（2）是在 2026 年基础上再增长一次． 6．某网店销售一种文具，每件成本 20 元，当售价为每件 30 元时，每天可售出 100 件．售价每上涨 1 元，每天少售出 5 件．设售价为 元（），每天获得的利润为 元． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（）； （2）售价定为 35 元时利润最大，最大利润为 1125 元． 【分析】本题考查二次函数在利润问题中的建模与最值：销量随售价上涨而减少，单件利润随售价上涨而增加，两者相乘得到开口向下的二次函数． 【详解】解：（1）售价为 元时，销量为 件， ∴ （）； （2）∵ ， ∴ 当 时 取最大值 1125，且 符合条件， ∴ 售价定为每件 35 元时利润最大，最大利润为 1125 元． 【易错】销量表达式写成 时注意括号，直接写成 会把基础销量算错（30 元对应的是 100 件）；求出顶点后要检验是否满足 ． 7．某商品的成本为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每月可售出 300 件．售价每降低 1 元，每月可多售出 50 件，但售价不得低于成本．设售价降低 元，每月获得的利润为 元． （1）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围； （2）售价定为每件多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（）； （2）售价定为 53 元时利润最大，最大利润为 8450 元． 【分析】本题考查含自变量取值范围的利润最值问题：先按“单件利润 销量”建模，再由“售价不低于成本”确定范围，最后判断顶点是否落在范围内． 【详解】解：（1）售价降低 元后，每件利润为 元，销量为 件， ∴ ； ∵ 售价不得低于成本，∴ ，即 ，又 ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ 当 时 取最大值 8450，且 ， ∴ 售价为 元时利润最大，最大利润为 8450 元． 【易错】本题顶点恰好落在范围内，所以最大值就是顶点值；若顶点在范围外（例如要求 ），则应在端点 处取最大值，这是“实际问题中最值不一定在顶点”的典型考点． 8．一名运动员在距篮筐水平距离 4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．球在距地面 2 m 处出手，当球运行的水平距离为 2.5 m 时达到最大高度 3.5 m．已知篮筐距地面的高度为 3.05 m． （1）以出手点所在的竖直直线为 轴、地面为 轴建立平面直角坐标系，求球运行路线的解析式； （2）这次投篮能否命中？请通过计算说明理由． 【答案】（1）（或 ）； （2）不能命中，理由见解析． 【分析】本题考查抛物线建模：由顶点坐标设顶点式，再由出手点确定 ；判断能否命中就是把篮筐的水平距离代入解析式，比较所得高度与篮筐高度． 【详解】解：（1）∵ 当水平距离为 2.5 m 时达到最大高度 3.5 m，∴ 顶点为 ， 设 ， ∵ 出手点在 轴上，坐标为 ，∴ ，解得 ， ∴ ； （2）篮筐的水平距离为 4 m，当 时， ， ∵ ，即球到达篮筐所在竖直位置时的高度低于篮筐高度， ∴ 这次投篮不能命中． 【易错】（1）中顶点横坐标 2.5 是相对出手点的水平距离，与坐标系的原点设置必须一致；（2）不能只看球是否会到达 3.05 m（它在 附近确实超过了 3.05 m），必须比较“篮筐正上方”处的高度． 9．某小区有一块长为 40 m、宽为 26 m 的矩形空地，计划在其中修建三条同样宽的通道（两条纵向、一条横向，且均与矩形的边平行），其余部分种草．若种草部分的面积为 864 m²，求通道的宽． 【答案】通道的宽为 2 m 【分析】本题考查等宽通道问题：三条通道平移后，种草部分仍是矩形，其长为 、宽为 ，注意纵向有两条所以减 ． 【详解】解：设通道的宽为 m，把三条通道分别平移到矩形的边上， 则种草部分的长为 m、宽为 m， 由题意得 ， 整理得 ，即 ， ∴ ，解得 或 ； ∵ 且 ，∴ 不合题意，舍去， ∴ 通道的宽为 2 m． 【易错】纵向两条通道共占宽度 ，横向一条只占 ，减法不同；若两条都减 （写成 ）就重复计算了交叉部分，结果会出错． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程与二次函数 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 一元二次方程的解法 考点03 二次函数的图象与性质 考点04 二次函数与一元二次方程的联系 考点05 一元二次方程与二次函数的实际应用 考点01 一元二次方程的概念 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．把方程 化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．2，3，1 B．2，-3，1 C．2，-3，-1 D．-2，3，-1 3．若关于 的方程 是一元二次方程，则 应满足（     ） A． B． C． D． 4．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．若 、 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 7．一元二次方程 的一般形式是                            ，其中 的值为                            ． 8．若关于 的方程 是一元二次方程，则                             ． 9．方程 的解是                            ． 10．若 是方程 的一个根，则                             ，方程的另一个根是                            ． 11．若 与 都是方程 的根，则 的值为                            ． 12．若关于 的一元二次方程 有一个根为 0，则                             ． 13．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）． 14．已知关于 的方程 ． （1）当 满足什么条件时，该方程是一元二次方程？ （2）当 满足什么条件时，该方程是一元一次方程？此时方程的解是多少？ 15．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值． 16．已知关于 的方程 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根的积为 3，求 的值及这两个根． 考点02 一元二次方程的解法 1．方程 的解是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程 的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 且 5．方程 的解是（     ） A． B． C．， D．， 6．已知 、 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D．1 7．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（     ） A． B． C． 且 D． 且 8．方程 的解是                            ． 9．用公式法解方程 时，                            ，方程的解为                            ． 10．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则                             ，此时方程的根为                            ． 11．方程 的解是                            ． 12．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是                            ． 13．已知 是方程 的一个根，则 的值为                            ． 14．解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）； （3）（用因式分解法）； （4）． 15．已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一个根为 2，求 的值及方程的另一个根． 16．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根． （1）求 的取值范围； （2）若方程的两根 、 满足 ，求 的值． 17．小华解方程 的过程如下： 解：，，，， ， 所以 ，． 请判断小华的解答是否正确；若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解答过程． 18．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根． （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值． 19．已知 、 满足 ，，且 ，求 的值． 考点03 二次函数的图象与性质 1．下列函数中， 是 的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线 的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线 的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．二次函数 的图象的开口方向和顶点坐标分别是（     ） A．向上， B．向下， C．向上， D．向上， 5．将抛物线 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．若点 、、 都在二次函数 的图象上，则 、、 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．已知二次函数 的图象开口向下，且经过点 、，则它的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．若抛物线 与 轴两个交点之间的距离为 4，则 的值为（     ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 9．二次函数 的图象开口                            ，对称轴是                            ，顶点坐标是                            ，当                             时， 有最                            值． 10．抛物线 与 轴的交点坐标是                            ，与 轴的交点坐标是                            ． 11．若抛物线 的顶点是 ，则                             ，                            ． 12．将抛物线 绕它的顶点旋转 后，所得抛物线的解析式为                            ． 13．已知二次函数 的最小值为 2，则 的值为                            ． 14．已知二次函数 ． （1）写出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （3）当 取何值时， 随 的增大而减小？ 15．已知抛物线 经过点 、、． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求它的顶点坐标和对称轴； （3）当 时，求 的最大值和最小值． 16．已知二次函数 （ 为常数）． （1）用含 的式子表示该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象经过原点，求 的值； （3）当 时，若 ，求 的取值范围． 17．已知二次函数 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该函数的图象与 轴总有交点； （2）若该函数图象的顶点在 轴上，求 的值及顶点坐标． 18．已知抛物线 （ 为常数），当 时， 的最小值为 ，求 的值． 19．已知二次函数 的图象经过点 、，且函数的最大值为 4，求这个二次函数的解析式． 20．已知二次函数 ． （1）求它的图象的顶点坐标； （2）当 时，求 的取值范围； （3）将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过原点，且顶点在 轴上，写出一种平移方法． 考点04 二次函数与一元二次方程的联系 1．抛物线 与 轴的交点个数是（     ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无法确定 2．若二次函数 的图象与 轴没有交点，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数 的图象经过点 、，则方程 的解是（     ） A．， B．， C．， D． 4．抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，则 的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．已知抛物线 的对称轴是直线 ，它与 轴的一个交点是 ，则它与 轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，且经过点 ，则当 时， 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 或 7．抛物线 与 轴的交点个数是                            ． 8．若抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为                            ． 9．已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是                            ． 10．已知方程 的两根为 ，，则二次函数 的图象与 轴的交点坐标是                            ． 11．若二次函数 的图象经过点 、，则方程 的两根之和为                            ． 12．直线 与抛物线 的交点个数是                            ． 13．已知二次函数 ． （1）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （2）直接写出方程 的解； （3）直接写出不等式 的解集． 14．已知关于 的函数 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该函数的图象与 轴总有两个不同的交点； （2）求该函数图象与 轴两个交点之间的距离． 15．已知二次函数 的图象经过点 ，且对称轴为直线 ． （1）求 、 的值； （2）求该图象与 轴的另一个交点坐标； （3）若直线 与该图象只有一个公共点，求 的值． 16．已知二次函数 ，解决下列问题： （1）当 取何值时，？当 取何值时，？ （2）若直线 与该函数的图象有两个公共点，求 的取值范围； （3）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围． 17．已知关于 的函数 （ 为常数）． （1）求证：不论 取何值，该函数的图象与 轴总有交点； （2）若图象与 轴的两个交点都在 轴的正半轴上，求 的取值范围． 18．已知抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． （1）求 、、 三点的坐标及 的面积； （2）点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标． 考点05 一元二次方程与二次函数的实际应用 1．某商品原价为 200 元，经过连续两次降价后售价为 128 元．若每次降价的百分率都是 ，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．九年级（1）班同学毕业时，每人都将自己的照片向本班其他同学各送一张作留念，全班共送出 2070 张照片．若设该班有 名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．一个直角三角形的两条直角边的和为 14，面积为 24，则它的斜边长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．将一个小球竖直向上抛出，小球离地面的高度 （单位：m）与时间 （单位：s）满足 ，则小球能达到的最大高度是（     ） A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 5．某商品每件成本 40 元，售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件．若售价每降低 1 元，每月可多售出 20 件．设售价降低 元，每月获得的利润为 元，则 与 之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．某商品经过连续两次降价，售价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为                            ． 7．两个连续偶数的积是 288，则这两个连续偶数是                            ． 8．若一个直角三角形的两条直角边相差 3，斜边长为 ，则这个直角三角形的面积是                            ． 9．一座抛物线形拱桥，当水面宽为 4 m 时，拱顶离水面 2 m．以拱顶为原点、以水平方向为 轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线的解析式为                            ． 10．某工厂第一季度的产量为 100 万件，第三季度的产量为 144 万件．若第二、第三季度产量的平均增长率相同且都为 ，则可列方程为                            ． 11．一块长 40 m、宽 30 m 的矩形空地，要在其中修建两条同样宽且互相垂直的小路，其余部分种花．若种花部分的面积为 1064 m²，求小路的宽． 12．某商店销售一种商品，进价为每件 30 元，当售价为每件 50 元时，每月可卖出 200 件．市场调查表明：售价每降低 1 元，每月可多卖出 20 件．若商店希望每月获得的利润为 4320 元，且尽可能让顾客受益，则售价应定为每件多少元？ 13．一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 8 m，拱顶高出水面 4 m． （1）以拱顶为原点、以水平方向为 轴建立平面直角坐标系，求这条抛物线的解析式； （2）当水位上升 1 m 时，水面宽度为多少米？ 14．某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长 24 m），另外三边用长 36 m 的篱笆围成．设与墙垂直的一边长为 m． （1）若养鸡场的面积为 144 m²，求 的值； （2）养鸡场的面积能否达到 180 m²？请说明理由． 15．某公司 2024 年的营业额为 1000 万元，2026 年的营业额为 1440 万元，且这两年营业额的增长率相同． （1）求这两年营业额的年平均增长率； （2）若增长率保持不变，预计 2027 年该公司的营业额是多少万元？ 16．某网店销售一种文具，每件成本 20 元，当售价为每件 30 元时，每天可售出 100 件．售价每上涨 1 元，每天少售出 5 件．设售价为 元（），每天获得的利润为 元． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 17．某商品的成本为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每月可售出 300 件．售价每降低 1 元，每月可多售出 50 件，但售价不得低于成本．设售价降低 元，每月获得的利润为 元． （1）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围； （2）售价定为每件多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18．一名运动员在距篮筐水平距离 4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．球在距地面 2 m 处出手，当球运行的水平距离为 2.5 m 时达到最大高度 3.5 m．已知篮筐距地面的高度为 3.05 m． （1）以出手点所在的竖直直线为 轴、地面为 轴建立平面直角坐标系，求球运行路线的解析式； （2）这次投篮能否命中？请通过计算说明理由． 19．某小区有一块长为 40 m、宽为 26 m 的矩形空地，计划在其中修建三条同样宽的通道（两条纵向、一条横向，且均与矩形的边平行），其余部分种草．若种草部分的面积为 864 m²，求通道的宽． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $