精品解析：江苏盐城市东台市第三教育联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

江苏省盐城市东台市第三教育联盟2026-2027学年 九年级上学期10月阶段检测 数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程的一次项为，则一次项系数为． 2. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】分二次项系数为0和不为0两类讨论，分别求解后合并范围． 【详解】解：当，即时，方程为，是一元一次方程，有实数根，符合条件． 当，即时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 此时的取值范围为且． 综上，的取值范围是． 3. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：方程中，，， ，是方程的两个实数根， ． 4. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这两年藏书的年均增长率是x，先表示出2024年底的藏书量、再表示出2025年底的藏书量，最后根据2025年底的藏书量为万册列出方程即可． 【详解】解：设这两年藏书的年均增长率是x， ∵2023年底藏书为5万册， ∴2024年底藏书量为万册， ∴2025年底藏书量为万册， ∵2025年底藏书为万册， ∴． 5. 下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数标准形式为（k为常数，），也可以写成的形式，逐个对照选项，判断式子能不能化成这个形式，是，属于正比例函数，因此它不是反比例函数． 【详解】解：A选项、B选项、D选项均为反比例函数； C选项是正比例函数，不是反比例函数，故选C． 6. 如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 7. 如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A. 的外心 B. 的外心 C. 的外心 D. 的外心 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， ， 所以点是△的外心． 8. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：根据题意把代入方程得：， 解得： 10. 方程的解为______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：移项得：， 因式分解得：， 两个因式的乘积为时，至少其中一个因式的值为， 或 ， 解得：，． 11. 若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据反比例函数定义，需满足自变量的次数为，且比例系数不为，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数， ∴ 且， 解得或， 经检验，或均符合题意， 故或. 12. 如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 【答案】 3 【解析】 【分析】联立直线与反比例函数解析式得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，证明，得出线段与的数量关系； 【详解】解：过点B，C分别作轴于点E，轴于点F， 设，， 则， 联立直线与反比例函数得，整理得， 则方程的两个根为， 根据根与系数的关系，得， 对于直线，令，得，即点的横坐标， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， 13. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得 ． 【详解】解：如图，连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 15. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】 ##164度 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数.  【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴.  16. 如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得上（除端点外）所有的点都落在的内部，的度数记为x，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，弧在内部，需考虑弧与三角形边界的临界位置．临界情况包括弧与边或相切，以及弧经过点．分别计算这两种情况下的圆心角度数，结合除端点外所有的点都落在内部的条件确定的范围． 【详解】解：设弧所在圆的圆心为，半径为，则.要使弧（除端点外）在内部，圆心应在的垂直平分线上，且位于的右侧， 当弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即， ， ， ， ， 此时； 弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即. ， ， . . 此时. 弧必定存在，. 综上所述，的取值范围是. 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 用合适的方法解一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，. 【小问3详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问4详解】 解：， ，，， ， ， 解得，. 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，再代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 19. 一款服装每件进价为元，售价为元时，每天可售出件．为了扩大销量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． （1）在尽可能让顾客受益的情况下，每件服装的售价定为多少元时，商家平均每天能盈利元？ （2）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明理由． 【答案】（1）每件服装的售价定为元． （2）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下： 设每件服装降价元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 由题意，得， 整理，得， ， 方程无解，商家不能达到平均每天盈利元． 【解析】 【分析】（1）设每件服装降价元，根据总利润单件利润日销售量的关系，列出一元二次方程求解； （2）设每件服装降价元，根据总利润单件利润日销售量的关系，列出一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实根求解． 【小问1详解】 解：设每件服装降价元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 由题意，得， 整理，得， 解得，， 需要尽可能让顾客受益， ． 每件服装售价定为（元）． 每件服装降价元时，即售价定为元时，能尽可能让顾客受益并且商家平均每天能盈利元． 【小问2详解】 略 20. 已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式． （2）当时，求的值． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，则，联立方程组求出的值，即可得到与的函数关系式； （2）将代入函数解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设，，则， 根据题意得， 解得， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 将代入得． 21. 在力（单位：）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示． （1）写出关于的函数解析式； （2）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将图象上点的坐标代入公式，直接计算功即可； （2）根据位移小于列出不等式，结合的隐含条件求解出力的取值范围即可． 【小问1详解】 小题详解：由且为定值，得，即是的反比例函数， 图象过点，代入得，所以． 故，自变量取值范围为（力是正数）． 【小问2详解】 小题详解：由题意，即， 因为，两边同乘不变号：，所以． 即在做功相同（都是）的情况下，要使位移小于，所施加的力应大于． 【点睛】注意：反比例函数中，所以解不等式时可以直接去分母；若忽略这个隐含条件，容易得出错误的“或”． 22. 如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． （1）求证： （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵直径于P， ∴， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证； （2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 24. 如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“倍邻根方程”． （2）若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值． （3）若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：． 【答案】（1）是“倍邻根方程”，判断如下： 解得，， ∵，符合“倍邻根方程”定义， ∴方程是“倍邻根方程”； （2） （3）证明：设方程的两根为、，且， 由根与系数的关系得，，， 将代入得，， ∴， 将代入得，， ∴， 把代入上式得， ． 【解析】 【分析】（1）先进行解方程，再根据新定义进行求解即可； （2）设方程的两根为、，根据新定义可得，再根据根与系数的关系得，将代入进行求解即可； （3）设方程的两根为、，根据新定义可得，由根与系数的关系得，，，将分别代入两式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为、，且， 由根与系数的关系得， ∴ 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 25. 已知反比例函数 的图象经过点． （1）求的值，并判断点是否在这个函数的图象上； （2）当时，随的增大而增大还是减小？请说明理由． 【答案】（1），点在这个函数的图象上 （2）当时，随的增大而减小，理由如下： ∵， ∴图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小． 【解析】 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴． ∴函数的表达式为． 当时，，与点的纵坐标相同， ∴点在这个函数的图象上． 【小问2详解】 略 26. 某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，已知人和木板对湿地地面的压力合计为，木板面积为，人和木板对地面的压强为． （1）求p与S的函数表达式； （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，其中F是压力，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）根据题意可得该函数图象在第一象限内，且p随S的增大而减小，再求出当时，S的值，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：p与S的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即压强是； 【小问3详解】 解：∵， ∴该函数图象在第一象限内，且p随S的增大而减小， 当时，，此时， ∴当时，， 即要求压强不超过，木板面积至少要． 27. 杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易秤杆，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总重量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当杆秤平衡时，有． （1）若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至秤杆平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 （2）在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 （3）秤杆可用总长度，为了保证杆秤最大刻度不小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2）；是一次函数，刻度均匀 （3） 【解析】 【分析】（1）由，得求解即可； （2）把代入杠杆关系式，整理得到关于的一次函数，根据一次函数自变量均匀增减时因变量增量恒定，判定刻度线均匀； （3）求得，由时随着的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【小问1详解】 解：，代入杠杆等式得， , , 即零刻度位置． 【小问2详解】 解：代入原式得， ， ， 是关于的一次函数；自变量每增加相等数值，增加固定值，杆秤刻度均匀． 【小问3详解】 解：砣最远可以移动到点，砣最大力臂，此时对应最大称重，， ， 整理得， ， 随着的增大而减小， 当最大刻度是时， 令，得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第三教育联盟2026-2027学年 九年级上学期10月阶段检测 数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A. B. C. D. 7. 如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A. 的外心 B. 的外心 C. 的外心 D. 的外心 8. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为______． 10. 方程的解为______． 11. 若是反比例函数，则m的值为_______． 12. 如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 13. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 14. 如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 15. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 16. 如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得上（除端点外）所有的点都落在的内部，的度数记为x，则x的取值范围是_____． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 用合适的方法解一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 19. 一款服装每件进价为元，售价为元时，每天可售出件．为了扩大销量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． （1）在尽可能让顾客受益的情况下，每件服装的售价定为多少元时，商家平均每天能盈利元？ （2）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明理由． 20. 已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式． （2）当时，求的值． 21. 在力（单位：）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示． （1）写出关于的函数解析式； （2）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 22. 如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． （1）求证： （2）若，且，求的长． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求的值． 24. 如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“倍邻根方程”． （2）若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值． （3）若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：． 25. 已知反比例函数 的图象经过点． （1）求的值，并判断点是否在这个函数的图象上； （2）当时，随的增大而增大还是减小？请说明理由． 26. 某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，已知人和木板对湿地地面的压力合计为，木板面积为，人和木板对地面的压强为． （1）求p与S的函数表达式； （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 27. 杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易秤杆，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总重量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当杆秤平衡时，有． （1）若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至秤杆平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 （2）在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 （3）秤杆可用总长度，为了保证杆秤最大刻度不小于，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $